Leibniz超代數的非交換張量積

劉貴來, 王 涵, 張慶成

(東北師范大學 數學與統計學院, 長春 130024)

李代數是一類典型的非結合代數, 李超代數是李代數的推廣. 目前, 關于李代數和李超代數的研究已有很多結果. 文獻[1-2]先后給出了李代數的非交換張量積和李超代數的非交換張量積的概念. 當李代數不必滿足反對稱性時其即成為Leibniz代數[3-6], Leibniz代數在代數K理論中應用廣泛, 文獻[7-11]給出了Leibniz超代數的概念及相關性質. Gnedbaye[12]研究了Leibniz代數的非交換張量積. 本文將文獻[12]的結果推廣到Leibniz超代數上, 使其應用范圍更廣.

1 Leibniz超代數的作用和半直積

[x,[y,z]]=[[x,y],z]-(-1)|y||z|[[x,z],y],

則稱(L,[-,-])為Leibniz超代數.

例11) 對任意一個Leibniz超代數L, 若其滿足超反對稱性, 即?x,y∈L, [x,y]=-(-1)|x||y|[y,x], 則L是一個李超代數.

定義2[4]設(L,[-,-])和(L′,[-,-]′)是兩個Leibniz超代數, 若f: (L,[-,-])→(L′,[-,-]′)是一個偶的Leibniz超代數線性映射, 且對?x,y∈L, 滿足：

f([x,y])=[f(x),f(y)]′,

則稱f: (L,[-,-])→(L′,[-,-]′)是一個Leibniz超代數的同態映射.

定義3[8]設L是一個Leibniz超代數, 若存在L的一個2-階化線性子空間H, 使得對?x,y∈H, 有[x,y]∈H, 則稱H是一個Leibniz超子代數.

如果H是L的一個2-階化線性子空間, 且對?x∈H,y∈L, 有[x,y]∈H, [y,x]∈H, 則稱H是L的階化Leibniz理想. 此時L/H繼承了Leibniz超代數的結構, 稱為Leibniz超商代數.

定義5[9]令L是一個Leibniz超代數, 其超子空間Z(L)={x∈L|[x,y]=[y,x]=0, ?y∈L}稱為L的中心.

定義6設L和M是兩個Leibniz超代數, 若存在一個對偶的雙線性映射λ:L?M→M使得λ(x?m)=xm及ρ:M?L→M使得ρ(x?m)=mx, 對任意齊次元素x,y∈L和m,m′∈M, 下列條件成立：

1)m[x,y]=(mx)y-(-1)|x||y|(my)x；

2)[x,y]m=(-1)|m||y|(xm)y-(-1)|m||y|x(my)；

3)x(ym)=-(-1)|m||y|x(my)；

4)x[m,m′]=[xm,m′]-(-1)|m||m′|[xm′,m]；

5) [m,m′]x=(-1)|x||m′|[xm,m′]+[m,m′x]；

6) [m,xm′]=-(-1)|x||m′|[m,m′x].

則稱其為從L到M的Leibniz作用.

在上述條件下, 如果對?x∈L,m∈M, 有xm=0=mx, 則稱Leibniz作用是平凡的.

例21) 令L和H分別是Leibniz超代數K的Leibniz超子代數和階化Leibniz理想, 定義括積為K中的括積運算, 則存在一個從L到H的Leibniz作用.

(1)

(2)

則存在從L到M的Leibniz作用.

定義8設L和M是兩個Leibniz超代數, 存在L到M上Leibniz作用及一個同態映射?:M→L, 如果對任意齊次元素x∈L和m,m′∈M, 滿足下列條件：

1) ?(xm)=[x,?(m)]；

2) ?(mx)=[?(m),x]；

3)?(m)m′=[m,m′]；

4)m?(m′)=[m,m′].

則稱該同態映射為Leibniz超代數的交叉模.

2) 設L和M是兩個Leibniz超代數, 存在L到M的Leibniz作用, 則平凡映射0:M→L是Leibniz超代數交叉模.

定理1設L和M是兩個Leibniz超代數, ?:M→L是一個Leibniz超代數交叉模, 則下列結論成立：

1) Ker ??Z(M)；

2) Im ?是L的一個階化Leibniz理想；

3) Leibniz超代數Im ?平凡地作用于Z(M)和Ker ?.

證明： 1) 對?m∈Ker ?, 有?(m)=0, 則由定義8中3)和4)知, 對?m′∈M, 有

?(m)m′=[m,m′]=0,m′?(m)=[m′,m]=0,

所以m∈Z(M), 于是結論成立.

2) 對?x∈Im ??L及?y∈L, 存在m∈M, 使得?(m)=x, 則有

[x,y]=[?(m),y]=?(my)∈Im ?, [y,x]=[y,?(m)]=?(ym)∈Im ?,

結論成立.

3) 對?x∈Im ?, 存在m∈M, 使得?(m)=x; ?m′∈Z(M), 有

xm′=?(m)m′=[m,m′]=0,m′x=m′?(m)=[m′,m]=0,

于是Leibniz超代數Im ?平凡地作用于Z(M), 又由1)知, Leibniz超代數Im ?也平凡地作用于Ker ?.

2 主要結果

則稱Leibniz作用是相容的.

例4設H和H′是Leibniz超代數L的階化Leibniz理想, 則H和H′之間的相互Leibniz作用是相容的.

則稱(L,h1,h2)是一個Leibniz超對.

例5設M和N是Leibniz超代數L的兩個階化Leibniz理想, 令A=M∩N, 且定義雙線性映射h1:M×N→A和h2:N×M→A, 滿足h1(m,n)=[m,n],h2(n,m)=[n,m], 則(A,h1,h2)是一個Leibniz超對.

如果存在廣泛的Leibniz超對, 則在同構意義下唯一確定. 下面刻畫Leibniz超代數的非交換張量積.

定義12設M和N是域K上的兩個Leibniz超代數, 且彼此有Leibniz作用, 令V是所有形如m*n和n*m的元素生成的2-階化向量空間, 其中且|m*n|=|m|+|n|. 若對?下列條件成立：

1)λ(m*n)=λm*n=m*λn,λ(n*m)=λn*m=n*λm;

2) (m+m′)*n=m*n+m′*n,n*(m+m′)=n*m+n*m′,

m*(n+n′)=m*n+m*n′, (n+n′)*m=n*m+n′*m;

3)m*[n,n′]=mn*n′-(-1)|n||n′|mn′*n,n*[m,m′]=nm*m′-(-1)|m||m′|nm′*m,

[m,m′]*n=(-1)|m′||n|mn*m′-(-1)|m′||n|m*nm′,

[n,n′]*m=(-1)|m||n′|nm*n′-(-1)|m||n′|n*mn′;

4)m*m′n=-(-1)|m′||n|m*nm′,n*n′m=-(-1)|m||n′|n*mn′;

5)mn*m′n′=[m*n,m′*n′]=mn*m′n′,mn*n′m′=[m*n,n′*m′]=mn*n′m′,

nm*n′m′=[n*m,n′*m′]=nm*n′m′,nm*m′n′=[n*m,m′*n′]=nm*m′n′.

其中:m,m′的階相同;n,n′的階相同. 則V是一個Leibniz超代數, 并將其重新定義為Leibniz超代數M和N的非交換張量積M*N.

注1若Leibniz超代數的非交換張量積滿足反對稱性m*n=-(-1)|m||n|n*m, 則其為李超代數的非交換張量積.

定理2若Leibniz超代數M和N彼此平凡作用, 則M*N是一個交換Leibniz超代數, 且存在一個同構映射：

M*N?(Mab?Nab)⊕(Nab?Mab),

其中:Mab=M/[M,M];Nab=N/[N,N].

m*[n,n′]=[m,m′]*n=[n,n′]*m=n*[m,m′]=0,

于是M*N與(Mab?Nab)⊕(Nab?Mab)同構, 結論成立.

f(nm)=g(n)f(m),f(mn)=f(m)g(n),g(mn)=f(m)g(n),g(nm)=g(n)f(m),

則存在一個Leibniz超代數的同態： f*g: M*N→M′*N′, 滿足

(f*g)(m*n)=f(m)*g(n), (f*g)(n*m)=g(n)*f(m).

證明： 顯然g*idN是一個滿同態, 且Im(f*idN)?Ker(g*idN).而Im(f*idN)是所有形如f(m1)*n,n*f(m1)的元素生成的, 其中齊次元素m1∈M, n∈N. 由于對任意齊次元素m1∈M1, m2∈M2, n1,n2∈N, 均有

則Im(f*idN)是M2*N的一個階化Leibniz理想. 因此g*idN誘導了一個Leibniz超代數同態：

ξ: (M2*N)/Im(f*idN)→M3*N,

ξ-1:M3*N→(M2*N)/Im(f*idN),

定理4設L是一個Leibniz超代數, M是其階化Leibniz理想, 則存在一個Leibniz超代數短正合列：

τ′: (L/M)*(L/M)→(L*L)/Im(σ),

定理5設M和N是兩個Leibniz超代數, 且彼此的Leibniz作用相容, 則有：

1) 存在Leibniz超代數的同態映射：

2)Ker(ψM)?Z(M*N),Ker(ψN)?Z(M*N).

則ψM[m1*n1,m2*n2]=[ψM(m1*n1),ψM(m2*n2)]； 又有

則ψM[m1*n1,n2*m2]=[ψM(m1*n1),ψM(n2*m2)]； 又有

則ψM[n1*m1,m2*n2]=[ψM(n1*m1),ψM(m2*n2)]； 又有

則ψM[n1*m1,n2*m2]=[ψM(n1*m1),ψM(n2*m2)]； 又有

則ψN[m1*n1,m2*n2]=[ψN(m1*n1),ψN(m2*n2)]； 又有

則ψN[m1*n1,n2*m2]=[ψN(m1*n1),ψN(n2*m2)]； 又有

則ψN[n1*m1,m2*n2]=[ψN(n1*m1),ψN(m2*n2)]； 又有

則ψN[n1*m1,n2*m2]=[ψN(n1*m1),ψN(n2*m2)]. 綜上可得結論.

若n1*m1∈Ker(ψM), 即ψM(n1*m1)=n1m1=0, 則對?m2*n2,n2*m2∈M*N, 有

因此Ker(ψM)?Z(M*N).

若m1*n1∈Ker(ψN), 即ψN(m1*n1)=m1n1=0, 則對?m2*n2,n2*m2∈M*N, 有

因此Ker(ψN)?Z(M*N).