弱鞅的一類Marshall型極大值不等式

馮德成, 王 英, 李琴社

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

1 引言與預備知識

設{Xn,n≥1}或{Sn,n≥1}是定義在概率空間(Ω,F,P)上的隨機變量序列. 記S0=0,IA是集合A的示性函數.

定義1[1]設{Sn,n≥1}是L1下的隨機變量序列, 如果對任意的1≤i

E[(Sj-Si)f(S1,…,Si)]≥0,

(1)

則稱{Sn,n≥1}是一個弱鞅(demimartingale), 其中f是任意使式(1)中期望存在且對每個變元均非降的函數. 若進一步設f是一個非負函數, 則稱{Sn,n≥1}是一個弱下鞅(demisub-martingale).

Newman等[1]證明了均值為零的PA(positively associated)序列的部分和序列是一個弱鞅. 目前, 關于弱(下)鞅及其一些概率不等式應用的研究已有很多結果[2-14]. 一般地, 對均值為零的平方可積隨機變量X, 有

?ε>0.

(2)

Marshall[15]將式(2)中的不等式推廣到如下形式:

?ε>0,

(3)

?ε>0,

其中α是下列函數的最大值:

h(x)=1-x+(1-x)2-qxq-1,x∈[0,1].

胡舒合等[17]將文獻[16]中的若干結論推廣到了弱鞅的情形下, 同時得到了弱鞅的Marshall型不等式. 受文獻[16-17]啟發, 本文將文獻[17]中關于弱鞅{Sn,n≥1}的Marshall型不等式推廣到{g(Sn),n≥1}的情形, 這里g是上的不減凸函數. 本文結果推廣并改進了文獻[17]的結果.

2 弱鞅的Marshall型不等式

引理2[11]設{Sn,n≥1}是一個弱下鞅,g是上的不減凸函數, 且滿足g(Si)∈L1(i≥1), 則對任意的ε>0, 有

(4)

由于弱鞅是弱下鞅, 因此有如下推論.

推論1設{Sn,n≥1}是一個弱鞅,g是上的不減凸函數, 且滿足g(Si)∈L1(i≥1), 則對任意的ε>0, 有式(4).

引理3設{Sn,n≥1}是一個弱鞅,g是上的不減凸函數, 且滿足Eg(Sn)≤0(n≥1). 若存在p>1, 使得E<∞(n≥1), 則對任意的ε>0, 有

(5)

證明: 由于對所有的n≥1, 均有Eg(Sn)≤0, 因此若令Y=IΛ, 則由引理1和推論1得

顯然

(7)

故結合式(6)和式(7), 可得結論.

定理1設{Sn,n≥1}是一個弱鞅,g是上的不減凸函數, 且滿足Eg(Sn)≤0(n≥1). 若存在p>1, 使得對任意的n≥1, 均有00, 有

這里M是下列方程的正解:

(8)

證明: 顯然方程(8)只有一個正解.

2) 當P(Λ)>0時, 由引理3得

(9)

將式(9)兩邊同除以P(Λ)q, 有

令u(x)=xq-(β-1)x-β,M為式(8)的正解. 由于u″(x)=q(q-1)xq-2>0,x∈(0,+∞), 故u(x)在[0,∞)上是一個凸函數. 因此對任意的x∈(0,M), 有

由于u(0)=-β<0,u(M)=0, 故對任意的x∈(0,M), 均有u(x)<0, 因此M是使式(5)成立的最小值, 故結論成立.

這里M是下列方程的正解:

證明: 由于{Sn,n≥1}是一個弱鞅, 故當ES1≤0時, 對所有的n≥1, 均有ESn=ES1≤0. 若令g(x)=x, 則g(x)是不減凸函數, 且對所有的n≥1, 均有Eg(Sn)≤0. 從而由定理1可得結論.

注1推論2即為文獻[17]中的定理2.1, 因此本文定理1推廣了文獻[17]中定理2.1的結果.

定理2設{Sn,n≥1}是一個弱鞅,g是上的不減凸函數, 且滿足Eg(Sn)≤0(n≥1). 若存在p≥2, 使得對任意的n≥1, 均有E<∞, 則對任意的ε>0, 有

(10)

這里α是下列函數的最大值:

h(x)=1-x+(1-x)2-qxq-1,x∈[0,1].

特別地, 當p=2時, 不等式(10)即為Marshall型不等式.

證明: 當p≥2時, 有1

利用不等式(5), 得

(11)

將式(11)兩邊同時除以P(Λ)1/q, 有

(12)

在式(12)兩邊同時取p次方, 有

故式(10)成立.

定理3設{Sn,n≥1}是一個弱鞅,g是上的不減凸函數, 且滿足Eg(Sn)≤0(n≥1). 若存在δ>0, 使得對任意的n≥1, 均有E<∞, 則對任意的ε≥E|g(Sn)|, 有

(13)

證明: 令

[g(Sn)]+=g(Sn)I[g(Sn)≥0], [g(Sn)]-=-g(Sn)I[g(Sn)<0].

由于

E|g(Sn)|=E[g(Sn)]++E[g(Sn)]-≤0,

從而

此外

則有

在式(5)中令p→1, 可得

(1-P(Λ))E|g(Sn)|≥εP(Λ).

故式(13)成立.

在定理2和定理3中取g(x)=x, 則有下列兩個推論.

這里α是下列函數的最大值:

h(x)=1-x+(1-x)2-qxq-1,x∈[0,1].

注2推論3和推論4即為文獻[17]中的定理2.3和定理2.4. 因此本文定理2和定理3推廣了文獻[17]中的定理2.3和定理2.4.