基于有限差分離散的模方法定價美式債券期權

甘小艇, 徐登國, 豆銓煜

(1. 楚雄師范學院 數學與統計學院, 云南 楚雄 675000; 2. 同濟大學 數學科學學院, 上海 200092)

隨著金融市場的不斷發展和完善, 期權作為一種能有效規避風險的金融衍生產品越來越受到廣大投資者的關注. 近年來, 諸如債券期權等利率衍生品的定價與對沖已吸引很多研究者的廣泛關注[1]. 與股票衍生產品不同, 債券期權的標的資產為債券, 其價格取決于利率和時間兩方面, 使得對債券期權的定價和對沖極具挑戰性. 與歐式期權定價不同, 美式債券期權定價問題在數學上可歸結為自由邊界問題或線性互補問題, 因此必須借助數值方法進行求解[2-3]. 目前, 針對該類問題已有許多不同的數值算法, 例如: 顯示方法[4]、投影超松弛迭代(PSOR)方法[5]、懲罰函數方法[6]和擬合有限體積方法[7-10]等.

數值方法定價美式期權的核心任務是針對離散后的線性互補問題進行快速求解[11], 而模系矩陣分裂迭代法是求解線性互補問題的一種有效方法[12]. 文獻[13]通過將線性互補問題轉化成隱式的不動點方程, 提出了模迭代方法. 文獻[14-15]通過引入不同的參數, 分別提出了非定常外推模算法和改進的模迭代方法, 并在系數矩陣為對稱正定的情形下證明了算法的收斂性. 基于矩陣分裂的思想, 文獻[16]提出了模系矩陣分裂迭代法, 該方法不但包含模方法, 而且利用適當的矩陣分裂還可得到一系列新的迭代方法, 如模系Jacobi迭代法、模系Gauss-Seidel迭代法、模系超松弛迭代法和模系加速松弛迭代法等. 由文獻[16]可知, 當合理選取參數時, 模系矩陣分裂迭代法比其他線性互補問題的數值方法(如投影方法、原始模方法和改進的模迭代法)收斂速度更快、計算效率更高. 文獻[17-18]討論了加速的模系矩陣分裂迭代法, 并給出系數矩陣為H+情形下的收斂性分析. 針對非線性互補問題, 文獻[19]考慮了加速的模系矩陣分裂迭代法; 文獻[20-22]給出了模系矩陣分裂迭代法在美式期權定價中的應用. 本文借鑒文獻[20-22]的思想, 考慮有限差分法結合模系矩陣分裂迭代法定價美式債券期權. 首先, 構造全隱式的有限差分格式, 并給出格式的穩定性證明; 其次, 針對離散后得到的線性互補問題, 采用模系矩陣分裂迭代法進行求解, 并建立相應的收斂性定理. 數值實驗驗證了本文方法是穩健且高效的.

1 美式債券期權模型

考慮基于純貼現美式債券期權的定價模型. 假設利率期限結構由CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型確定, 即短期利率r由如下均值回歸平方根過程確定:

其中: dW是一個Wiener過程增量;θ表示短期利率的長期水平;κ>0表示回歸速度;σ2r是在σ>0條件下的方差. Cox等[23]研究表明, 面值為1美元的純貼現債券在其到期日s的價格P(r,t,s)為

P(r,t,s)=α(t,s)exp{-β(t,s)r},

其中:

ζ表示市場風險溢價.

假設v(r,t)為歐式債券期權的價值, 則歐式債券期權定價的數學模型可表示為如下的偏微分方程:

(1)

其中,L為偏微分算子. 通過引入時間轉換τ=T-t(t表示當前時刻,T表示期權合約的到期日), 則式(1)可變為

(2)

由于美式債券期權可在到期日前執行, 則其定價的數學模型通常可表示為如下形式的線性互補問題:

(3)

其中,Λ(r,τ)表示持有者在到期日T的收益. 當合約為看跌期權時, 問題(3)的初始條件為

v(r,0)=Λ(r,0)=max{K-P(r,T,s),0},K為執行價格;

(4)

邊界條件為

(5)

為了在數值上求解美式債券期權的定價問題, 需將r限制在一個有限的區域[0,R]上(R的選取要足夠大). 因此, 邊界條件(5)可變為

(6)

2 有限差分離散

下面考慮美式債券期權定價模型(3)的有限差分離散, 并針對離散矩陣的性質和差分格式的穩定性進行分析.

首先, 對計算區域[0,R]×[0,T]進行一致網格剖分, 記M+1和N分別是r方向和τ方向的網格剖分數. 將

vij≈v(ri,τj)=v(ih,jΔτ),i=0,1,…,M+1,j=0,1,…,N

(7)

其次, 在空間方向上采用二階中心差分格式逼近

(8)

并將式(8)代入偏微分方程(2)中, 則可得

(9)

其中i=1,2,…,M. 當指標i取遍i=1,2,…,M時, 可得半離散方程組

(10)

其中, 半離散矩陣S=tridiag{αi,βi,γi}, 即

這里端點值v0j和vM+1,j已知, 且

(11)

為便于理論分析, 本文在時間方向上采用隱式Euler格式, 即

(12)

將式(12)代入式(9), 可得全隱式的有限差分格式:

Δταivi-1,j+1+(1+Δτβi)vi,j+1+Δτγivi+1,j+1=vij.

(13)

當指標i取遍i=1,2,…,M時, 得到線性方程組

(I+ΔτS)v(j+1)=v(j)+Δτf,

(14)

其中: I表示單位矩陣; v(j)=(v1j,v2j,…,vMj)T; 且

在式(14)中令B=I+ΔτS和C=I, 則經有限差分離散后, 美式債券期權定價問題(3)可變為如下線性互補問題:

(15)

其中:j=1,2,…,N; 向量g包含了收益函數Λ在網格點處的函數值.

特別地, 令z∶=v(j)-g, A∶=B, q∶=Bg-Cv(j-1)-Δτf, 則可得標準的線性互補問題(簡記為LCP(q,A)):

(16)

定理1令S和I+ΔτS分別是有限差分離散方程(2)得到的半離散和全離散矩陣. 當網格剖分h充分小, 且模型參數滿足

(17)

時, 則矩陣S和I+ΔτS均為H+-矩陣.

證明: 由S=tridiag{αi,βi,γi}易知

(18)

由模型參數假設式(17), 可知

(19)

(20)

此外, 由式(11)顯然有αi+βi+γi=ih>0, 故有βi>-αi-γi, 即|βi|>|αi|+|γi|成立. 綜上可知, 離散矩陣S具有正的對角元且嚴格對角占優, 于是由文獻[20]可知, 半離散矩陣S為H+-矩陣, 從而全離散矩陣I+ΔτS也是H+-矩陣. 證畢.

定理2有限差分離散格式(13)具有穩定性, 即

‖v(j)‖∞≤max{‖v(0)‖∞,c1,c2},

(21)

證明: 由式(13),(18)～(20)以及三角不等式, 可得

(22)

若‖v(j+1)‖∞=|vl,j+1|, 0

(1+Δτβl)‖v(j+1)‖∞≤‖v(j)‖∞+Δτ(-αl-γl)‖v(j+1)‖∞,

從而有

(23)

若l=0或l=M+1, 則有

‖v(j+1)‖∞=|v0,j+1|或‖v(j+1)‖∞=|vM+1,j+1|.

(24)

由式(23)可知

‖v(j+1)‖∞≤‖v(j)‖∞≤‖v(j-1)‖∞≤…≤‖v(0)‖∞,

(25)

又由式(24),(25)可知, 式(21)成立. 因此, 全離散格式(13)是穩定的.

3 模系矩陣分裂迭代法

下面簡單介紹求解線性互補問題的模系矩陣分裂迭代法, 并給出相應的收斂性定理.

引理1[16]令A=M-N是矩陣A∈n×n的一種分裂, Ω1和Ω2是n階的對角陣, Ω和Γ是n階的正對角陣, 且滿足Ω=Ω1+Ω2. 則對LCP(q,A)問題如下結論成立:

(MΓ+Ω1)x=(NΓ-Ω2)x+(Ω-AΓ)|x|-q

(26)

的解;

2) 如果x滿足不動點方程(26), 則

z=Γ(|x|+x), w=Ω(|x|+x)

(27)

是LCP(q,A)問題的解.

(M+Ω)x=Nx+(Ω-A)|x|-λq.

(28)

引理1表明, LCP(q,A)問題(16)等價于一個不動點迭代問題, 因而可通過求解一系列不動點迭代方程組得到問題的解. 基于不動點方程(28), 可建立如下求解LCP(q,A)問題的基于矩陣分裂的模方法.

方法1(模系矩陣分裂迭代法)[16]令A=M-N是矩陣A∈n×n的一種分裂, 對給定的初始向量x0∈n, x(k+1)可由迭代方程

(M+Ω)x(k+1)=Nx(k)+(Ω-A)|x(k)|-λq

(29)

計算得到, 從而

其中Ω為正的對角陣.

令A=D-L-U, 其中D,-L,-U分別為A的對角陣、嚴格下三角矩陣和嚴格上三角矩陣. 在迭代方程(29)中取不同的M和N時, 可獲得下列一系列模系矩陣分裂方法.

1) 當M=(1/α)D-L, N=(1/α-1)D+U,λ=1時, 方法1稱為模系超松弛迭代法(MSOR):

(D+Ω-αL)x(k+1)=[(1-α)D+αU]x(k)+(Ω-αA)|x(k)|-αq,k=0,1,…,

(30)

從而z(k+1)=|x(k+1)|+x(k+1); 當α=1時, MSOR變為模系Gauss-Seidel迭代法(MGS).

2) 當M=(1/α)(D-βL), N=(1/α)[(1-α)D+(α-β)L+αU],λ=1時, 方法1稱為模系加速的松弛迭代法(MAOR):

從而z(k+1)=|x(k+1)|+x(k+1).

下面給出MAOR算法, MSOR算法類似. 其中: tol表示容許誤差; it表示迭代步數; MAXIT表示最大迭代步數.

算法1MAOR算法.

給定x,Ω,α,tol,MAXIT;

Forit=1,2,…,MAXIT

z=|x|+x;

b=[(1-α)D+(α-β)L+αU]x+(Ω-αA)|x|-αq;

Res=‖min(Az+q,z)‖2;

If Res

break;

End If

Solve(D+Ω-βL)x=b;

End For

引理2[16]令A∈n×n是一個H+-矩陣, 且A=M-N是A的一個H相容分裂, 即〈A〉=〈M〉-|N|. 假設Ω是一個正對角矩陣, 如果參數矩陣Ω滿足則對任意的初始向量x0∈n, 模系矩陣分裂迭代法中的迭代序列?均收斂到LCP(q,A)問題的唯一解

4 數值實驗

下面利用數值實驗驗證本文方法求解美式債券期權的有效性. 數值實驗中, CIR模型下美式純貼現債券期權的模型參數為

κ=0.1,θ=0.08,σ=0.1或0.2,ζ=0,E=100,K=60,T=1,s=5,R=2,

(32)

為便于比較, 數值實驗中MSOR和MAOR算法的參數矩陣均取Ω=D, PSOR,MSOR和MAOR三種算法中的松弛因子均選取使得迭代步數最少的情形, 且收斂準則定義為

‖min{Az+q,z}‖2

(33)

其中, ‖·‖2表示向量的2范數. 數值解的相對誤差定義為

(34)

其中: v表示數值解; v*表示參考精確解. 所有實驗均在CPU為2.4 GHz及內存為4.00 GB的個人電腦, 編程語言為MATLAB R2010a的計算環境下進行. 設m和n分別表示空間和時間方向的網格剖分數.

為了計算出數值解的相對誤差, 在精細網格(m,n)=(3 200,1 600)上, 采用有限差分格式并結合MSOR算法求解美式債券期權作為參考精確解. 表1和表2分別列出了不同σ取值下PSOR,MSOR和MAOR三種算法的平均迭代步數(IT)、所需的CPU時間(CPU, 單位s)和誤差(Error)的數值結果.

表1 當σ=0.1時, PSOR,MSOR和MAOR算法數值方法的計算結果

由表1和表2可見, 3種算法均隨著網格剖分的加密數值解變得越來越精確, 表明算法是有效的. 此外, MSOR和MAOR算法所需的CPU時間均少于PSOR算法, 其中MAOR算法耗時最少, 而MSOR算法的平均迭代步數略高于其他兩種算法. 因此有限差分方法結合模系矩陣分裂迭代法定價美式債券期權的效率高于投影方法, 其中MAOR算法的計算效率最高. 圖1和圖2分別為不同σ取值下， 基于網格剖分(m,n)=(400,200), 采用MSOR算法給出的美式債券期權曲面圖和最佳實施邊界以及τ=T時刻的期權值. 由圖1和圖2可見, 本文方法求得的數值解性態優良, 沒有振蕩和跳躍發生, 表明數值方法是穩健的.

表2 當σ=0.2時, PSOR,MSOR和MAOR算法數值方法的計算結果

圖1 當σ=0.1時, 美式債券期權曲面和最佳實施邊界(A)以及τ=T(t=0)時刻的期權值(B)Fig.1 Surface of American bond option and optimal exercise boundary (A) and option value at τ=T(t=0) (B) when σ=0.1

圖2 當σ=0.2時, 美式債券期權曲面和最佳實施邊界(A)以及τ=T(t=0)時刻的期權值(B)Fig.2 Surface of American bond option and optimal exercise boundary (A) and option value at τ=T(t=0) (B) when σ=0.2

綜上, 本文主要研究了基于CIR模型下美式債券期權的數值解法. 首先, 構造了美式債券期權模型的全隱式有限差分格式, 并從理論上證明了滿足一定參數假設下離散矩陣為H+-矩陣, 有限差分格式具有穩定性; 其次, 針對有限差分離散得到的一系列時間層上的線性互補問題, 采用模系矩陣分裂迭代法進行求解, 并給出了收斂性定理. 數值實驗驗證了本文方法的有效性, 模方法的計算效率高于投影方法, 其中MAOR的計算效率最高.