求解一類分數階微分方程終值問題的混合配置法

王林君, 吳 燕, 劉夢雪, 孟義平, 曹明鈺

(1. 江蘇大學 理學院, 江蘇 鎮江 212013； 2. 江蘇科技大學 理學院, 江蘇 鎮江 212003；3. 吉林大學 數學學院, 長春 130012)

分數階微分方程廣泛應用于自然界中各種現象的建模和分析中[1-2]. 不同于整數階微分算子, 分數階微分算子是非局部的[3], 因此, 分數階微分方程能更好地模擬自然界的物理現象和動態過程. 例如, 溶質在天然多孔或斷裂介質中的平流和分散[4], 在外部影響下模擬黏彈性材料的行為[5], 在數學心理學領域使用分數階系統模擬人類的行為[6]等. 分數階微分方程終值問題目前已有很多有效的數值方法： Ford等[7]通過將分數階微分方程邊值問題轉化為Fredholm積分方程, 提出了非多項式配置法； Pedas等[8]利用樣條配置法求解了一類分數階微分方程邊值問題. 本文針對一類分數階微分方程終值問題, 給出一種混合配置算法.

考慮如下分數階微分方程終值問題：

方程(3)-(4)等價于具弱奇核的Volterra積分方程[7]

(5)

在此基礎上, 文獻[9]結合不動點技巧給出了求解方程(3)-(4)的混合配置格式. 當a>0時, 方程(1)-(2)是終值問題, Ford等[7]證明了其可轉化為等價的Fredholm積分方程:

(6)

并給出了其解的存在性定理與唯一性定理.

本文假設方程(1)-(2)滿足文獻[7,9]的條件, 給出方程(1)-(2)的混合配置解法.

首先, 基于打靶法將方程(1)-(2)轉化為初值問題(3)-(4), 步驟如下：

1) 假設初值條件(4)中的初值y0已知, 則用求解分數階初值問題的混合配置法[9]進行計算便可得到一個含有y0的解y(t,y0)；

2) 根據初值問題的解必經過點(a,ya)從而有y(a,y0)=ya, 故可選用適當的迭代法求解得到y0；

3) 根據得到的y0, 將方程(1)-(2)轉化為初值問題(3)-(4).

其次, 在求解初值問題(3)-(4)過程中, 先將方程(3)-(4)轉化為方程(5), 然后采用文獻[9]中的混合配置法. 令N0表示非負整數集, 對于0<α<1和正整數m, 定義C[0,1]上有限維非多項式子空間[10]

Wα,m={i+jα:i,j∈N0,i+jα

t0j=t0+h0cj,j=1,2,…,l,

其中cj是配置參數, 且滿足0≤c1

tik=ti+hidk,k=1,2,…,m,

其中0≤d1

由于方程(5)的解在原點附近具有奇性, 因此混合配置法就是在區間σ0上使用非多項式基底, 而在其他區間使用多項式基底. 定義一個有限維空間

令

z(t)∶=f(t,y(t)),

(7)

將式(7)代入方程(5)得

(8)

將式(8)代入式(7)可得z滿足非線性方程

(9)

最后把結果代入式(8)即得方程(5)的解.

注1[9]方程(10)-(11)的性質由f(t,y(t))確定, 當f(t,y(t))關于t和y(t)是線性時, 則得到的方程也是線性的.

例1考慮如下線性分數階微分方程終值問題[7]：

其真解為

基于打靶法, 首先將其轉化為初值問題：

其等價于Volterra積分方程：

表1 例1的數值結果

例2考慮如下非線性分數階微分方程終值問題:

其真解是y(t)=1-t2.

同理, 首先將其轉化為初值問題

(12)

令

(13)

則有

(14)

將式(14)代入式(13)可得

(15)

使用混合配置法求解方程(15), 將得到的解代入式(14), 所得終值問題的數值結果列于表2.

表2 例2的數值結果

表1和表2列出了當m=2, 選取不同的N值時得到的初值條件y0值、誤差及收斂階. 由表1和表2可見, 用混合配置方法求解分數階微分方程終值問題更有效.