基于中心復合設計的RSM邊坡可靠度研究

孫開暢，尹志偉，李 權

(三峽大學水利與環境學院，湖北宜昌443002)

0 引 言

邊坡穩定是巖土工程研究的重點內容。邊坡穩定性分析一般采用安全系數作為評價指標，傳統安全系數法未能考慮對坡體穩定有影響的因素的不確定性[1- 2]，如巖土體參數本身的變異性、計算模型及滑動面的確定是否合理、勘探取樣和試驗方法造成的誤差等，得到的結果可能與實際情況存在偏差[3- 4]，不能真實反映邊坡安全程度。基于概率統計理論的可靠度分析[5- 6]將邊坡穩定性影響因素(巖土特性參數、滲透系數、地震荷載、結構荷載等)視為隨機變量，能有效地考慮邊坡系統內部實際存在的不確定性和相關性。邊坡可靠度分析計算方法主要有Monte Carlo(MC)法、一次二階矩法、隨機有限元法(Stochastic Finite Element Method，SFEM)、響應面法(Reponse Surface Method，RSM)等。桂勇、羅文強[7- 8]提出建立安全系數與可靠性相耦合的二元評價體系。吳振君[9]介紹了一種優化算法。MC法受問題限制小，得到的結果相對準確，但計算量大，需要樣本數巨大，收斂速度較慢。RSM是一種高效的邊坡可靠度計算方法，迭代效率受響應面函數的形狀和試驗點的選取的影響較大。

本文基于RSM的基本思想，在響應面函數形狀上采用不含交叉項的二次多項式，在試驗樣本點的選取上對比了拉丁超立方抽樣(LHS)和中心復合設計(CCD)這2種試驗設計，邊坡不確定性上主要考慮土體強度參數c、φ的不確定性，同時考慮邊坡穩定計算模型的不確定性，編寫了相應的可靠求解的Matlab程序，與MC基準解對比，并在托巴110 kV施工變電站邊坡工程中進行了驗算。

1 邊坡穩定和響應面

1.1 邊坡穩定性分析方法

3種穩定模型(Bishop、Spencer、Morgenstern-Price)安全系數Fs的求解理論見參考文獻[1]。由邊坡穩定安全系數建立邊坡功能函數Z=Fs-1，Z<0表示邊坡失效，Z>0表示邊坡穩定，Z=0表示邊坡處于極限狀態。Fs、Z均屬于非線性的隱式函數，采用傳統方法無法直接計算其可靠度。

1.2 RSM函數

RSM是統計學的綜合試驗技術，用于處理復雜系統的輸入(基本變量)和輸出(系統響應)之間的轉換關系。是用近似的功能函數來代替真實的功能函數。為兼顧效率與精度，研究認為[10- 11]，響應面函數表達式采用二次多項式比較合適。對比二次多項式中帶交叉項的和不帶交叉項的，二者的精度有一些差異但很小。因此，在一般情況下，響應面函數采用不帶交叉項的二次多項式，既有靈活性，又滿足計算精度要求。

(1)

式中，λ0，λi，λii(i=1，2，…，n)為待定系數，總計2n+1個。

1.3 可靠度求解流程

由RSM得到邊坡的近似功能函數后，還需結合一定的可靠度分析方法。本文采用可靠度計算的一次二階矩法，計算流程見圖1。借助Matlab強大的數學功能以提高迭代求解效率，編寫相應程序得到可靠指標和驗算點。

圖1 可靠度計算流程

2 試驗設計

2.1 拉丁超立方抽樣(LHS)

LHS是由McKay等于1980年專門為仿真試驗提出的一種試驗設計類型，是一種使輸入組合相對均勻地填滿整個試驗區間的設計，每個試驗變量使用水平只使用1次。與均勻、正交試驗設計相比，LHS抽樣對均值和方差的估計在效果上有顯著改善[12]。

2.2 中心復合設計(CCD)

CCD具有序貫、高效、靈活的特點[13]。在二水平因子設計點的基礎上，通過增加軸向點和中心點來完善響應面的模擬。在2個標準正態分布自變量下，中心復合設計取樣點包括二水平因子點(1，1)、(1，-1)、(-1，1)、(-1，-1)以及中心點(0，0)和軸向點(0，α)、(0，-α)、(α，0)、(-α，0)(見圖2)。對于含有q個自變量的q維向量空間，使用二水平因子設計點+中心點+軸向點時，取樣點數量為2q+2q+1個。

圖2 CCD樣本點

取樣點數量和軸向點到設計中心點距離α是CCD試驗設計的2個重要參數?？紤]到二次響應面法僅在中心點附近具有較好的近似，試驗點應位于自變量附近。軸向點反映了模擬區域大小，中心復合設計的沿Xi軸的軸向取樣點應為xi=μXi±ασXi，其中，μXi、σXi分別表示自變量均值和標準差。α的取值取決于設計要求和包含因素的數量，若α的取值太大，在真實設計點附近的局部精度可能得不到滿足；若取太小，在真實設計點附近的大范圍近似程度得不到滿足。一般|α|>1。α的取值可采用α=2q/4計算[14]。其中，q為自變量個數。

3 算例分析

3.1 基本二層土坡可靠度分析

非均質二層土坡剖面幾何形狀見圖3。各土層的粘聚力c及內摩擦角φ均為相互獨立的正態隨機變量，上、下2層土的重度均為19 kN/m3，不考慮其變異性。土體強度參數及統計特性見表1。

圖3 非均質二層土坡剖面(單位：m)

表1 土體強度參數及統計特征

首先，采用LHS和CCD分別獲取15組初始樣本，借助巖土極限平衡Slide程序獲取Bishop、Spencer、Morgenstern-Price等3種穩定模型的樣本功能函數，得出樣本及對應功能函數的響應值，見表2，3。根據響應面函數，構建邊坡功能函數顯式表達式，編寫相應的Matlab程序。

以MC 106次直接模擬的計算結果2.20作為近似精確解，可靠度計算結果與MC法對比見表4。從表4可知，Bishop、Spencer、Morgenstern-Price這3種穩定分析模型下，相對于LHS，CCD求解得到的可靠度指標更為接近MC基準解。以Morgenstern-Price穩定模型為例，LHS求解得到的可靠指標為2.021 8，相對誤差為8.1%，CCD求解得到的可靠指標為2.181 9，相對誤差僅為0.82%。分析原因，LHS和CCD驗算點相近，但CCD更接近真實驗算點。

表2 LHS的15組樣本及功能函數

表3 CCD的15組樣本及功能函數

3.2 托巴邊坡可靠度分析

托巴110 kV施工變電站邊坡位于云南迪慶州維西縣瀾滄江托巴水電站左岸，起止樁號為K1+385～K1+480，高程1 748 m。邊坡地層巖性主要由塊石、碎石及粉質粘土組成，片理產狀N30°～45°W，NE∠72°～85°。邊坡實際斷面見圖4。

表4 可靠度計算結果對比

圖4 邊坡實際斷面

邊坡共2階。上土層坡度1∶1，坡高20 m，土體重度γ1=21 kN/m3；下層坡度1∶1.25，坡高25 m，土體重度γ2=23.5 kN/m3。對試驗原始數據采用適用于小樣本數據的K-S檢驗法進行假設驗證[15]，確定參數變量的分布類型，克服傳統意義上人為假設其分布的誤差。土層物理力學參數見表5。邊坡地質坡面典型斷面模型均值狀態下Slope/W穩定性計算結果為1.38。LHS和CCD分別得到的初始樣本數據及其相應的功能函數值見表6、7。依據響應面思想，采用編寫的Matlab程序求解可靠指標，以MC 106次直接模擬的計算結果2.075作為近似精確解，不同方法計算結果對比見表8。

表5 土層物理力學參數

從表8可知，3種穩定分析模型下，CCD都較LHS可靠度指標計算結果更為接近MC基準解。以Morgenstern-Price穩定模型為例，LHS求解得到的可靠指標為1.88，相對誤差為9.32%，CCD求解得到的可靠指標為1.963 8，相對誤差僅為5.36%。對托巴110 kV施工變電站邊坡，采用RSM的2種不同試驗設計的結果均滿足精度要求。相對傳統的MC法，CCD更為精確，可大大提高計算效率，更加滿足工程需求。

表6 LHS的30組樣本及功能函數值

4 結 語

本文基于RSM的思想，在響應面函數形狀上采用不含交叉項的二次多項式，兼顧效率與精度，樣本數據選取LHS與CCD這2種試驗設計。與MC基準解相比，Bishop、Spencer、Morgenstern-Price等3種穩定模型下，CCD可靠指標計算結果都較LHS更為準確，排除了穩定分析模型的影響。需要指出，本文邊坡穩定分析模型僅考慮了物理力學參數c、φ的不確定性，對復雜邊坡體穩定性分析，還需全面考慮邊坡穩定性控制的相關因素，構建更為準確的數學模型。

表7 CCD的25組樣本及功能函數值

表8 可靠度計算結果對比