基于高斯分布的尾流模型研究*

（作者單位：張忠偉：國(guó)網(wǎng)新疆烏魯木齊供電公司；姚秀萍，常喜強(qiáng)：新疆電力調(diào)度控制中心；王海云：教育部可再生能源發(fā)電與并網(wǎng)控制工程技術(shù)研究中心）

隨著人類工業(yè)快速發(fā)展和人口不斷增長(zhǎng)，整個(gè)社會(huì)對(duì)能源的需求越來(lái)越大，而這種不可再生能源（像煤炭、石油、天然氣）用一點(diǎn)就少一點(diǎn)，最終人類將要面對(duì)能源短缺的問(wèn)題；并且開(kāi)發(fā)和消費(fèi)化石能源帶來(lái)了諸多方面的矛盾，像破壞原有生態(tài)、產(chǎn)生溫室效應(yīng)給人類生產(chǎn)和生活帶來(lái)嚴(yán)重的威脅，人類開(kāi)始將視線轉(zhuǎn)向可再生和清潔能源的開(kāi)發(fā)和利用上。在我們所依賴生存的環(huán)境中，風(fēng)能是一種源源不斷儲(chǔ)藏龐大的潔凈能源。風(fēng)電場(chǎng)的自然來(lái)流風(fēng)流過(guò)上游風(fēng)電機(jī)組后，上游風(fēng)電機(jī)組吸收部分風(fēng)能，帶動(dòng)上游風(fēng)電機(jī)組機(jī)輪的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)將風(fēng)能改變?yōu)闄C(jī)械能。當(dāng)?shù)竭_(dá)下游風(fēng)電機(jī)組時(shí)，風(fēng)的速度下降，引起下游風(fēng)電機(jī)組產(chǎn)生的電量減少。并且在風(fēng)電場(chǎng)中風(fēng)電機(jī)組的間距越小，尾流效應(yīng)就越明顯，可以利用的風(fēng)能就越少。為了更好、更方便、更經(jīng)濟(jì)地做研究，研究學(xué)者提出通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)模擬實(shí)際的問(wèn)題，并且該方法在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用。數(shù)值模擬這種簡(jiǎn)單、有效、經(jīng)濟(jì)的預(yù)估計(jì)方法在科研探索的道路上起著至關(guān)重要的作用。

目前在風(fēng)工程項(xiàng)目中普遍采用的Jensen模型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、對(duì)計(jì)算機(jī)的性能要求不高的優(yōu)點(diǎn)。但使用中發(fā)現(xiàn)Jensen尾流模型與真實(shí)流場(chǎng)存在一定誤差，并且該模型過(guò)于粗略，計(jì)算精度有限。研究模型認(rèn)為尾流區(qū)域的速率分布形態(tài)為流向風(fēng)電機(jī)組距離的函數(shù)，在尾流橫截面上速度呈現(xiàn)常數(shù)分布，和實(shí)際流場(chǎng)的真實(shí)情況是不符合的。本文根據(jù)真實(shí)流場(chǎng)中徑向速度呈現(xiàn)高斯函數(shù)分布和多項(xiàng)式分布，提出一種擬合徑向分布的高斯模型分布。并將其與實(shí)測(cè)值及其他模型計(jì)算值進(jìn)行比較。結(jié)果表明，本研究提出的高斯尾流模型能夠更加合理準(zhǔn)確地描述風(fēng)電場(chǎng)尾流效應(yīng)，對(duì)風(fēng)電場(chǎng)微觀選址和風(fēng)電機(jī)組布局優(yōu)化具有指導(dǎo)意義。

尾流模型的建立

一、半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ图案倪M(jìn)Jensen模型

Jensen模型普遍應(yīng)用于平坦地形上的風(fēng)電機(jī)組，該模型不探討湍流效應(yīng)，模型簡(jiǎn)單、計(jì)算方便。該模型假設(shè)：（1）尾流開(kāi)端的范圍是風(fēng)電機(jī)組風(fēng)輪直徑；（2）尾流半徑變化呈線性關(guān)系；（3）尾流區(qū)域橫截面各個(gè)點(diǎn)上的速率是相同的。尾流模型如圖1所示。

圖1中，x是下游距風(fēng)電機(jī)組的距離，u是來(lái)流風(fēng)速流經(jīng)輪轂高度處的風(fēng)速，v0是上游來(lái)流風(fēng)速，r0是風(fēng)電機(jī)組葉片半徑，v、r分別為下游x位置處的風(fēng)電機(jī)組輪轂處的風(fēng)速與尾流橫切面半徑。由質(zhì)量守恒得：

Jensen 模型假設(shè)尾流區(qū)域橫截面的半徑遵循一次函數(shù)，則尾流半徑表示為：

圖1 Jensen尾流模型

式中a為軸流誘導(dǎo)因數(shù)，和風(fēng)電機(jī)組推力系數(shù)有關(guān)系。將公式（4）帶入公式（1）和公式（2），得到改進(jìn)后的Jensen模型為：

軸流誘導(dǎo)因子a可表示為：

式中CT為風(fēng)電機(jī)組推力系數(shù)。

一般k的計(jì)算可表示為：

式中z表示風(fēng)電機(jī)組輪轂處的高度，z0為風(fēng)電場(chǎng)周圍地表不光滑度。

二、Jensen尾流模型高斯化

根據(jù)Jensen尾流模型演算過(guò)程我們可以看出，認(rèn)為尾流區(qū)域的速率分布形態(tài)為流向距離x的函數(shù)并在尾流截面處的速率為常數(shù)，即取值為尾流中心線上的平均風(fēng)速，屬于一維模型。然而大量的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬顯示，尾流速度在尾流橫截面上的假設(shè)與實(shí)際尾流流場(chǎng)不符，而且尾流速率在橫切面處的速度分布呈現(xiàn)為高斯和多項(xiàng)式形態(tài)，針對(duì)Jensen模型的缺陷本文提出高斯分布的尾流模型，模型如圖2所示。通過(guò)尾流速度在尾流橫截面呈現(xiàn)為高斯分布，提出選用高斯分布函數(shù)擬合尾流速度在徑向上的分布，使尾流模型更加接近實(shí)際流場(chǎng)。

對(duì)尾流場(chǎng)做出假設(shè)：1.尾流初始半徑為風(fēng)電機(jī)組半徑；2.尾流區(qū)域的速度呈現(xiàn)非線性分布；3.在風(fēng)電機(jī)組下游位置x處的尾流呈現(xiàn)高斯分布。

風(fēng)電機(jī)組尾流模型如圖2所示，假定所選取的流場(chǎng)中不存在粘性剪切力的作用并且是定常的，圖中v0、v分別表示無(wú)限遠(yuǎn)處的來(lái)流風(fēng)速、距離為下游位置x處尾流速度。r0和r分別表示風(fēng)電機(jī)組風(fēng)輪半徑和位于風(fēng)電機(jī)組下游x位置處的尾流半徑。

建立三維坐標(biāo)系，x方向表示風(fēng)的來(lái)流方向，y方向表示尾流橫切面的水平方向，z方向表示尾流橫切面的垂直方向，Δv表示尾流橫切面的速度折減。若控制體中因速度折減引起的空氣質(zhì)量流量的損失值與總空氣質(zhì)量流量之間的比值可以表示為：

由尾流橫切面速度折減呈現(xiàn)高斯分布可得：

由式（10）、（11）式可知線性擴(kuò)張模型的質(zhì)量損失和高斯模型的質(zhì)量損失相等，可得：

將（8）代入（9）式可得：

根據(jù)高斯分布圖像關(guān)于期望值對(duì)稱的特點(diǎn)，則μ＝0，使用（-2σ，2σ）為高斯二維模型的有效分布范圍，則高斯分布有效面積為95.446%，因此可得2σ＝r。

圖2 高斯模型

不考慮風(fēng)切變的影響，在尾流橫截面處同一半徑內(nèi)的尾流速度應(yīng)該相同，所以可以將其轉(zhuǎn)換為二維尾流模型，即：

計(jì)算結(jié)果

為保證實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性，研究采用Garrad Hassan工程實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿?shù)據(jù)，對(duì)修正模型進(jìn)行計(jì)算，并與風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做對(duì)比。

一、NIBE風(fēng)電機(jī)組參數(shù)與尾流比較

為與前人做比較，研究選用NIBE風(fēng)電機(jī)組，NIBE風(fēng)電機(jī)組參數(shù)為：風(fēng)輪直徑40m、輪轂處的高度45m、額定功率630kW、切入風(fēng)速6m/s、切出風(fēng)速25m/s、額定風(fēng)速13m/s。并選取和前人相同的來(lái)流風(fēng)速u＝8.5m/s，湍流強(qiáng)度i＝10%，風(fēng)力發(fā)電機(jī)組在三個(gè)葉尖速比λ＝2.9，λ＝4.0，λ＝5.1對(duì)應(yīng)的推力系數(shù)為CT＝0.62，CT＝0.79，CT＝0.85。將上下游風(fēng)電機(jī)組間距為5D、7.5D、10D（D為風(fēng)輪直徑）的風(fēng)速與前人做的數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

二、中心線軸向速度分布

圖3 不同葉尖速比下的軸向速度分布

圖4 尖速比2.9時(shí)徑向速度分布

判斷一個(gè)尾流預(yù)測(cè)模型的好壞是看它能否準(zhǔn)確計(jì)算尾流區(qū)域的軸向速度折減。圖3中給出了在三種不同葉尖速比下，中心線軸向速度輪廓圖。由于Jensen模型在兩倍風(fēng)輪直徑后才有效果，因此文章為保持一致性也選用兩倍風(fēng)輪直徑后的距離對(duì)兩種模型進(jìn)行比較。通過(guò)圖中曲線變化規(guī)律能夠發(fā)現(xiàn)越靠近前一排風(fēng)電機(jī)組，下游風(fēng)電機(jī)組風(fēng)速下降得就越明顯，相反隨著距離的增加這種下降會(huì)逐漸減小，并在遠(yuǎn)后方恢復(fù)到來(lái)流的風(fēng)速。并且葉尖速比不斷擴(kuò)大，風(fēng)電機(jī)組推力系數(shù)也會(huì)隨之?dāng)U大，相應(yīng)的尾流效應(yīng)就越顯著。在下游7倍風(fēng)輪直徑之前，Jensen模型和本文的高斯尾流模型都與實(shí)際值有較大偏差，這是由于兩種模型均未探究風(fēng)電機(jī)組葉片旋轉(zhuǎn)作用。在實(shí)際的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中，風(fēng)電機(jī)組的葉片旋轉(zhuǎn)是不能忽視的，旋轉(zhuǎn)會(huì)造成風(fēng)電機(jī)組的下游產(chǎn)生湍流和尾流。

圖5 尖速比5.1時(shí)徑向速度分布

在下游7～16倍風(fēng)輪直徑之間本研究的高斯尾流模型計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合得較好，而Jensen模型總體計(jì)算數(shù)據(jù)偏大。這也說(shuō)明了本研究數(shù)值模擬的合理性。

在下游16倍風(fēng)輪直徑后，Jensen模型演算值仍舊略大于實(shí)際值，而本研究提出的模型演算結(jié)果和實(shí)際值吻合得較好。

三、徑向速度分布

圖4、圖5中分別提供了不同葉尖速比下，位于風(fēng)電機(jī)組不同距離下的風(fēng)輪徑向速率分布。從圖中可以直觀發(fā)現(xiàn)尾流效應(yīng)，并且隨著葉尖速比增大，尾流效應(yīng)越大。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，Jensen模型和本研究提出的高斯尾流模型計(jì)算結(jié)果在近尾跡區(qū)都大于實(shí)驗(yàn)結(jié)果。這是由于在風(fēng)電機(jī)組下游的一段位置之后，壓強(qiáng)不在全部尾流中起全局影響，而是湍流強(qiáng)度和尾在全部流場(chǎng)中起主要作用，在實(shí)際狀況下，風(fēng)電機(jī)組下游的尾流會(huì)慢慢損失，造成能量的減少，以此造成風(fēng)速減小。在下游風(fēng)電機(jī)組處能夠看見(jiàn)高斯尾流模型和實(shí)驗(yàn)值較好地吻合。在整個(gè)計(jì)算結(jié)果中高斯尾流模型的計(jì)算簡(jiǎn)單，并且高斯尾流模型在尾流的計(jì)算上也有相當(dāng)?shù)木龋虼烁咚刮擦髂Ｐ驮诠こ躺系膽?yīng)用有很大的意義：（1）葉尖速比越大風(fēng)電機(jī)組推力系數(shù)越大；（2）在徑向速度分布上本研究提出的尾流模型在近尾跡區(qū)略大于真實(shí)值，但在遠(yuǎn)尾流區(qū)和實(shí)驗(yàn)值相比表現(xiàn)出較好的擬合性。

結(jié)論

研究發(fā)現(xiàn)Jensen模型雖然使用較為廣泛，但它在尾流橫截面方向的速度分布為平均速度，與真實(shí)情況有較大誤差。推導(dǎo)建立三維高斯尾流模型，發(fā)現(xiàn)高斯尾流模型在真實(shí)流場(chǎng)中尾流區(qū)域的速度分布特性描述更加確切。提出的高斯模型，和Jensen模型以及測(cè)得的實(shí)際數(shù)據(jù)比較發(fā)現(xiàn)，高斯模型精度較好，計(jì)算簡(jiǎn)單方便更加適用于工程預(yù)測(cè)。同時(shí)也印證了葉尖速比越大，風(fēng)電機(jī)組的推力系數(shù)越大。

本文主要以均勻直流條件作研究，并以此提出修正模型。在未來(lái)的研究中為了能夠更近一步地提高風(fēng)電場(chǎng)中尾流計(jì)算精度，應(yīng)考慮加入風(fēng)切變指數(shù)和湍流強(qiáng)度這些因素。