基于對偶模型的公司最優紅利數值模擬

鄧 麗

（韶關學院 數學與統計學院，廣東 韶關512005）

隨著金融、保險、股東制度的盛行，公司的現金流優化問題也越發受到重視，即制定最優紅利策略使得股東的期望收益值最大.如果公司只考慮股東的最優紅利，就會加速公司破產；如果只考慮破產概率最小，就會使股東利益受損，挫傷其投資積極性，因此公司最優紅利問題通常結合風險模型進行討論.1957年De Finetti［1］討論了離散經典風險模型的最優紅利策略，從而提出了風險理論的分紅問題.目前關于Barrier 策略［2-3］和 Threshold 策略［4-6］的討論較多，也有學者討論復合二項對偶模型的最優分紅［7-8］和隨機利率下相依索賠的離散風險模型的分紅問題［9］.本文討論對偶模型下公司紅利的最優分配方法，運用壓縮映射理論和Berman遞歸算法在R軟件中進行數值模擬，得出最優的紅利策略是Threshold策略，數值模擬的結果說明結合風險模型討論的公司最優紅利更有意義.

1 最優值函數

討論紅利問題的對偶模型為：

其中c∈N+表示公司在時間區間(t-1,t］內的投資，S(t)表示公司直到時刻t的累積收益.

在考慮隨機投資的復合二項模型中，假設任意(t-1,t］內最多有一次收入Xt(i.i.d.)，其概率函數f(x)=Pr(Xt=x)用εtct=1(或0)表示在(t-1,t］內支出為Ct的條件下有一次收入（或沒有收入），{εtct}(i.i.d.)與{Xt}相互獨立，滿足：

任意的時刻t，Θ表示可行的分紅策略Φ的集合，則Φ是關于盈余x的函數［7］.與實際結合，假設在t=0時不考慮分紅，每個時刻分紅的上界為.在Φ控制下破產時刻Γ前全部紅利的期望貼現值為［7］：

其中0

定理1 假設0

且對?Φ∈Θ，u∈N，值函數V(u)最優當且僅當：

記最優的 Φ 為 ΦV［7］.

2 Berman遞歸算法

定義1 對?X,Y∈H，d(X,Y)=‖x(u)-y(u)‖為H(N上的全體有界實值函數組成的集合)上的一個距離，顯然?Φ∈Θ，相應的值函數V(u)∈H，H=(H,d)是一個Banach空間.定義H上的算子T：則在0

根據式（4）和式（6），任意給定函數V(u)的一個初始值V0(u)，運用Berman遞歸算法可由式（7）計算序列{V1(u),V2(u),…,Vn(u)…}：

由定義1知V*(u)是T的一個固定點，則，估計的精度為：

3 數值模擬

V*(u)的方程中的x取值可趨于無窮，計算機編程計算有困難，因此，本文考慮V*(u)的近似值.定義2 ?u,n0∈N，則：

由文獻［8］知：

計算得誤差的上限為：控制n0的值可確定估計的精度，即可要求d(V1*,V2*)→0.在數值計算中，當n0足夠大時(可給定誤差來確定)，可以用V1*(u)或V2*(u)的值作為V*(u)的近似值.

對?∈N，根據定義1給出兩個滿足壓縮映射的算子T1和T2分別變換V1*(u)和V2*(u)，運用不動點原理和遞歸算法，在R軟件中就可以編程計算出V1*(u)或V2*(u)的值，本文給出了V1*(u)和V2*(u)的部分值，并給出相應結論.

例1 假設單位時間內支出Ct和對應的收入概率Pci的分布列如表1所示，收入均值為μ=17.5，要求=7.

表 1 Ct和 Pci的分布列

（2）假設收入是泊松分布.

（3）假設收入是離散的均勻分布U(1,34).

給定誤差（8）、（12）的上限為0.001，貼現因子r=0.96,0.97,0.98.在R軟件中計算出3種分布下最優紅利策略都為門檻策略，門檻值分別為：b1=22,26,32；b2=18,21,25；b3=20,23,28.符合分布的特點.因為均勻分布的概率不受收入的影響，混合幾何分布的概率隨著收入的增加逐漸減少，而泊松分布在收入均值17.5附近的概率值較大，在相同的模型、收入均值、誤差上限和利率等條件下，混合幾何分布的門檻值略高于泊松分布，泊松分布的門檻值又略高于均勻分布.又因為這里收入均值不大，因此它們之間的門檻值差距也不大，符合實際.

（1）假設收入是混合幾何分布，概率函數如下：

表2 3種分布下V1*和V2*的最優分紅策略Φ*(u)

當r=0.97時混合幾何分布V1*(u)和V2*(u)的部分值見表3，可看到V1*(u)和V2*(u)值非常接近，最優值函數V*(u)可通過V1*(u)或V2*(u)近似，這也說明了Berman遞歸算法的可行性.當資金較小時，每增加一單位，最優紅利總值增加較明顯，后期增長幅度逐漸下降，在分紅有上界的限定下，V*(u)是增幅逐漸遞減的遞增函數.也可根據不同的問題設定合理的誤差上限來提高精度.

表3 混合幾何分布下V1*(u)和V2*(u)的部分值(r=0.97)

當r=0.97時離散均勻分布下的部分數值見表4.其他條件不變的前提下，當u較小時貼現因子的變動對總紅利影響較顯著，因為總注資過低公司的運營受外界影響因素波動較大，公司的資金大部分投入生產和避風險，分紅量不夠穩定，貼合實際.

表4 均勻分布下的部分值(r=0.97)

4 結論

對偶模型是經典風險模型的一個延伸，本文討論了隨機投資下對偶模型的數值模擬，得出幾種常用的離散分布的最優紅利策略為門檻策略，在均值相同的時候得出的門檻值相差不大，與收入分布又有密切的聯系，說明文中模型的可行性.實際問題中可以根據不同的情況確定收入分布，應用到公司的紅利優化中.后期的研究還可考慮在公司破產前注資，隨機利率等馬氏優化決策方法.