基于加權鑒別函數的二進制偏移載波信號跟蹤方法

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中國空間技術研究院 西安分院，西安 710100

作為全球定位系統(Global Positioning System, GPS)信號現代化的重要成果，二進制偏移載波(Binary Offset Carrier, BOC)信號能與傳統的二進制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying, BPSK)信號保持高度的譜分離，同時實現更高的碼跟蹤精度與抗多徑性能[1]。因此，BOC信號在現代化全球衛星導航系統(Global Navigation Satellite System, GNSS)中得到了廣泛應用。GPS的M碼信號采用了正弦BOC(10,5)信號，而中國的北斗系統(BeiDou System, BDS)設計了BOC(14,2)與BOC(15,2.5)信號[2]。

BOC信號具有出色的性能，然而，當使用傳統的延遲鎖定環(Delay Lock Loop, DLL)進行跟蹤時，采用非相干超前減滯后功率(Noncoherent Early minus Late Power, NELP)鑒別函數，BOC信號的多峰自相關函數將引起跟蹤模糊問題[3]，即跟蹤環路可能鎖定錯誤的位置，引入無法容忍的跟蹤偏差。目前主要有三類方法處理這一問題，第一類是將BOC信號的每個主瓣當成BPSK信號處理，包括BSPK-like方法[4]及其改進方法[5]，雖解決了跟蹤模糊問題，但也損失了BOC信號的優良性能。第二類是通過檢測或者校正的方式避免誤鎖，包括峰跳法(Bump-Jump, BJ)[6]、雙估計方法(Double Estimation Technique, DET)[7]以及DET的改進方法[8-9]，由于并未移除模糊，這類方法通常在低載噪比條件下不可靠[10]。第三類是構造一個無副峰的組合相關函數或無誤鎖點的鑒別函數，可以完全解決模糊問題，是目前研究的主流方向。基于組合相關函數的方法包括子載波相位消除技術(SCPC)[11]、基于偽相關函數的無模糊延遲鎖定環(Pseudo correlation function based Unambiguous Delay Lock Loop, PUDLL)方法[12]、對稱脈沖模糊移除(Symmetrical Pulse Ambiguity Removing, SPAR)方法[13]以及文獻[14-16]的方法等；構造鑒別函數方法在文獻[17-19]中給出。這類方法通常需要構造特殊的本地參考波形，在移除模糊的同時，造成碼跟蹤性能的明顯下降。

NELP鑒別函數能實現高的碼跟蹤性能，但存在模糊問題，而SCPC鑒別函數是無模糊的，但碼跟蹤精度低。在研究NELP和SCPC方法的基礎上，提出將兩者鑒別函數進行線性加權，能夠在實現無模糊的同時保持高的碼跟蹤精度，在實際低載噪比環境中具有更強的適應性。

1 信號模型與問題描述

1.1 BOC信號

BOC信號是由偽隨機噪聲(Pseudo Random Noise, PRN)碼與一個方波子載波相乘得到的，表示為sB(t)=c(t)sc(t)。其中，c(t)為PRN碼波形，sc(t)=sgn[sin(2πfst+φ0)]為子載波，fs為子載波頻率，φ0為子載波初相。在GNSS中，只使用了正弦BOC信號(φ0=0)與余弦BOC信號(φ0=-π/2)。BOC信號由子載波頻率fs=m×1.023 MHz和PRN碼速率Rc=n×1.023 兆碼片/s確定，記為BOC(m,n)。

1.2 跟蹤模糊問題

BOC信號的跟蹤模糊問題產生的原因是其自相關函數存在多個副峰，正弦BOC信號的歸一化自相關函數為[10]：

(1)

相應的，可以得到余弦BOC信號歸一化自相關函數Rc ,c(τ)。圖1(a)給出了BPSK(5)、sin-BOC(10,5)與cos-BOC(10,5)信號的歸一化自相關函數，可以看到，BPSK(5)信號存在一個主峰，而正弦BOC(10,5)除主峰外還有2m/n-1=6個副峰，余弦BOC(10,5)除主峰外還有2m/n+1=8個副峰。

GNSS信號碼跟蹤環通常基于延遲鎖相環(DLL)，碼環鑒別函數采用非相干超前減滯后功率(NELP)鑒別函數，鑒別函數表示為：

DN,d(τ)=|R(τ-d/2)|2-|R(τ+d/2)|2

(2)

圖1 自相關函數與NELP鑒別函數Fig.1 Auto-correlation functions and NELP discriminator functions

式中:R(τ)為相關函數；d為超前減滯后間隔。將式(1)代入式(2)可得sin-BOC信號的NELP鑒別函數，如圖1(b)所示。圖1(b)中同時給出了BPSK(5)、sin-BOC(10,5)與cos-BOC(10,5)信號的鑒別函數，d=0.1Tc。可以看到，BPSK信號只在原點處存在一個正的過零點，而BOC信號的多峰自相關函數導致其鑒別函數存在多個正過零點，除原點外的正過零點稱為誤鎖點，一旦DLL鎖定到了誤鎖點上，將引入大的跟蹤偏差，這就是BOC信號的跟蹤模糊問題。

2 SCPC方法

SCPC方法是一種BOC信號無模糊捕獲、跟蹤方法，在SCPC方法中，接收機要同時復現正弦BOC信號與余弦BOC信號，采用的擴頻碼與所接收的BOC信號相同。

以正弦BOC為例，對于正弦BOC(10,5)信號，圖2(a)給出了不帶限以及40.92 MHz帶限下，SCPC方法得到的相關函數。可以看到，當不帶限時，SCPC方法的組合相關函數具有多個峰；而帶限后，其組合相關函數基本保持三角形特征。對應的SCPC鑒別函數表示為：

(3)

在SCPC方法中，當選取合適的相關器間隔時，能夠保證鑒別函數無誤鎖點。圖2(b)給出了sin-BOC(10,5)信號40.92 MHz帶限下，不同相關器間隔的SCPC的鑒別函數，可以看到，當相關間隔取為0.2、0.3、0.7個碼片時，鑒別函數是無誤鎖點的。

圖2 SCPC方法的組合相關函數與鑒別函數Fig.2 Combined correlation functions and discriminator functions of SCPC method

與同碼速率的BPSK信號相比，BOC信號的自相關函數主峰更尖銳，因此，BOC信號的潛在碼跟蹤性能更高。然而，SCPC方法破壞了BOC信號的尖峰特性，雖然解決了跟蹤模糊問題，但是卻損失了BOC信號具有的高的碼跟蹤性能。

3 BOC信號跟蹤方法

3.1 加權鑒別函數

在移除BOC信號的跟蹤模糊問題時，為了降低碼跟蹤性能的損失，選取合適的加權系數與相關器間隔，將NELP和SCPC兩鑒別函數進行加權，獲得無模糊的鑒別函數。以sin-BOC信號為例，加權鑒別函數表示為：

Dw(τ)=DN,d1(τ)+wDS,d2(τ)=

(4)

式中:w為加權系數；d1為NELP鑒別函數采用的相關器間隔，d2為SCPC鑒別函數采用的相關器間隔，d2可與d1相同或不同。考慮到SCPC鑒別函數的跟蹤精度低，所以w的設計原則是：在保證加權鑒別函數無誤鎖點的前提下盡量小。圖3(a)和圖3(b)分別給出了sin-BOC(10,5)和cos-BOC(10,5)信號40.92 MHz帶限下，不同相關器間隔的加權鑒別函數。

圖3 不同相關器間隔下的加權鑒別函數Fig.3 Weighted discriminator function with different correlator spacings

傳統的捕獲過程是碼相位和載波多普勒頻率的二維搜索過程[20]，而碼相位搜索間隔受到線性牽引范圍的制約。加權鑒別函數是NELP和SCPC鑒別函數的加權和，其線性牽引范圍與NELP相當。這意味著，在實際應用中，由捕獲階段轉入跟蹤時，對捕獲精度的要求也與NELP相當。

3.2 碼跟蹤方法

圖4給出了基于加權鑒別函數的碼跟蹤環示意，接收機需同時產生sin-BOC和cos-BOC本地參考信號，與接收的sin-BOC信號相關。當接收sin-BOC信號時，以相關間隔d1和d2分別生成本地sin-BOC信號的超前與滯后復現信號，以相關間隔d2生成本地cos-BOC信號的超前與滯后復現信號，接收cos-BOC信號與此類似。本方法共需要采用12個相關器，I、Q支路各6個，所需相關器資源是NELP和SCPC方法的和，一定程度上增加了實現復雜度。但需指出的是，當d2=d1時，只需要8個相關器即可。

圖4 基于加權鑒別函數方法的碼跟蹤環路Fig.4 Code tracking loop based on weight discriminator function

圖4中，rB(t)表示接收到的下變頻后的BOC信號，當載波頻率已準確移除時，其基帶表示為[15]：

nc(t)+jns(t)

式中：C為載波功率；D(t)為導航電文，由于采用非相干鑒別函數，電文符號影響可忽略；τ0為傳播延遲；θ0為載波初相位；nc(t)、ns(t)為獨立同分布的高斯噪聲，均值為0，雙邊功率譜密度N0。

各個相關器歸一化輸出為：

(5)

式中：H(f)為濾波器傳遞函數；Gs ,s(f)=F[Rs ,s(τ)]為sin-BOC信號的功率譜；Gs ,c(f)=F[Rs ,c(τ)]為sin-BOC信號與cos-BOC信號的互功率譜；F[·]為傅里葉變換。

根據式(4)，加權鑒別函數表示為：

(6)

3.3 碼跟蹤誤差

碼跟蹤誤差的計算式為[17]：

(7)

相關器輸出滿足聯合高斯分布，考慮到Δθ≈0，當τ=0時，由式(5)可得，IE1、IL1、IE2、IL2、IE3、IL3滿足分布：

(IE1,IL1,IE2,IL2,IE3,IL3)T～N(μ,Σ)

(8)

μ和Σ分別為：

(9)

式中：d3=d2-d1，d4=d2+d1。同理，QE1、QL1、QE2、QL2、QE3、QL3滿足分布N(0,Σ)，且I支路輸出與Q支路輸出不相關。基于式(6)～(8)可以得到碼跟蹤誤差的結果。

4 仿真結果

本文以sin-BOC(10,5)信號為例，對本文提出的加權鑒別函數方法的碼跟蹤性能、抗多徑性能進行分析，仿真參數為：信號帶寬40.92 MHz，環路帶寬BL=1 Hz，相干積分時間Tp=1 ms。

4.1 碼跟蹤誤差

在本文加權鑒別函數方法中，加權系數的w值由相關器間隔d1和d2共同確定，如圖5所示。圖5(a)給出了不同d1和d2的下的權值w，圖5(b)是對應的碼跟蹤誤差，C/N0=35 dB-Hz，可以看到，碼跟蹤誤差并不是隨d1和d2線性變化，當d1=0.13Tc，d2=0.4Tc，w=0.8具有最小的碼跟蹤誤差。

圖6給出了碼跟蹤誤差的蒙特卡羅仿真結果，對于每個載噪比值，鑒別器輸出標準差通過10 000個獨立值統計得到，相關器間隔為d1=0.1Tc,d2=0.3Tc,w=1.1。從圖6中可以看到，對于sin-BOC(10,5)信號，加權鑒別函數方法基本保持了BOC信號的碼跟蹤性能。與其他無模糊跟蹤方法SCPC、PUDLL、SPAR相比，加權鑒別函數方法的碼跟蹤誤差最小。進一步給出定量的結果，將SCPC、PUDLL、SPAR方法與WDF方法的碼跟蹤誤差求比值[15]，結果如圖7所示。

可以看到，相比于SCPC、PUDLL、SPAR方法，WDF方法的碼跟蹤精度至少改善了2.5 dB、5.5 dB與8.3 dB，隨著載噪比增加，改善越顯著，當C/N0=45 dB-Hz時，改善達到10 dB以上。

圖5 碼跟蹤誤差隨相關間隔的變化Fig.5 Code tracking error versus correlator spacing

圖6 不同載噪比下的碼跟蹤誤差Fig.6 Code tracking error versus C/N0

圖7 相對于加權鑒別函數方法的碼跟蹤誤差方差比值Fig.7 Ratio of code tracking error variance with respect to WD

4.2 抗多徑性能

多徑會引起相關函數的失真，從而導致鑒別曲線過零點偏移，引入跟蹤偏差。與文獻[3]一樣，考慮有一條多徑的情況，多徑信號相對于直達信號有延遲，其信號強度有衰減。在仿真中，多徑直達比(Multipath to Direct Ratio, MDR)為-10 dB。圖8(a)給出了sin-BOC(10,5)信號的多徑誤差包絡，此時，相關器間隔為d1=0.1Tc,d2=0.3Tc,w=1.1。圖8(b)給出了對應的多徑誤差包絡曲線1.5個碼片內的面積，可以看到，相比于NELP，加權鑒別函數方法的抗多徑性能略優，也就是說，能夠保持BOC信號的抗多徑性能優勢。相比于SCPC、PUDLL、SPAR，加權鑒別函數方法的多徑誤差僅為它們的60.4%、32.8%與38.0%。

圖8 抗多徑性能Fig.8 Anti-multipath performance

5 結束語

相比于BPSK信號，理論上BOC信號能夠達到更高的碼跟蹤精度，然而，其跟蹤模糊問題限制了BOC信號的實際性能。目前解決模糊問題的主要思路是基于組合相關函數或者加權鑒別函數，雖能實現無模糊跟蹤，但容易導致碼跟蹤性能的明顯惡化。

本文在分析BOC信號的跟蹤模糊問題基礎上，提出了一種基于加權鑒別函數的無模糊跟蹤方法，采用高精度卻有模糊的NELP鑒別函數，與無模糊卻精度低的SCPC鑒別函數進行加權，解決了BOC信號的跟蹤模糊問題。本文方法的主要優點包括：1)該方法同時適用于與sin-BOC信號和cos-BOC信號；2)不需要額外設計特殊的本地參考波形；3)能夠消除模糊威脅，同時保留了BOC信號的跟蹤性能與抗多徑性能方面的優勢。相比于已有的無模糊跟蹤方法SCPC、PUDLL與SPAR，在碼跟蹤誤差方面，加權鑒別函數改善了至少2.5 dB、5.5 dB與8.3 dB；在抗多徑性能方面，加權鑒別函數多徑誤差僅有60.4%、32.8%與38.0%。因此，在較低載噪比和多徑環境下，加權鑒別函數方法具有更大的應用前景。此外，加權鑒別函數還存在有待解決的問題：一方面為達到最佳的碼跟蹤性能，相關器間隔選取需要滿足一定的約束，降低了靈活性；另一方面，需要更多的相關器資源，增加了實現復雜度。在解決BOC信號跟蹤模糊問題時，如何在保持碼跟蹤精度的同時，進一步降低實現復雜度是下一步需要解決的問題。