地球靜止衛星電推進軌道保持策略優化

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1. 中國科學技術大學 精密機械與精密儀器系，合肥 230026 2. 西安衛星測控中心 宇航動力學國家重點實驗室，西安 710043

地球靜止衛星(Geostationary Satellites，GEO)被廣泛應用于通信、氣象等諸多領域，其工作特點決定了它在整個飛行生命內必須保持在特定的經度和緯度位置上。但是在自然攝動力的作用下，GEO衛星會逐漸偏離其標稱位置，所以，需要一個合適的軌道保持策略來抵消自然攝動力的作用。

早期的GEO衛星大多配置化學推力器，運用的是一個等待式的保持策略：只在衛星將超出位置保持死區時進行控制，對應的軌道要素修正量由位置死區的大小確定。這個策略只粗略地將必要控制次數減少，從減少地面對衛星的操作這一角度來看效果是顯著的。為了抵消軌道要素的變化，推力器通常每兩周點火一次，每次持續數十分鐘，提供數十牛的推力。由于點火時長和GEO軌道周期的比率很小，化學推力器的推力可以視為脈沖推力。文獻[1]給出了一套系統的靜止軌道定點控制和多星共軌控制的策略、模型和算法，在中國靜止軌道衛星管理工作中發揮著巨大的作用，取得了顯著的成果。文獻[2-3]也都給出了經過工程檢驗的經典脈沖控制方法。

近年來，電推進技術逐漸成熟，由于其具有節約速度增量(燃料消耗)、提高長期定位精度等顯著優點，已經逐漸取代化學推進在GEO衛星軌道保持上的應用[4]，電推進平臺已經成為商用通信GEO衛星的標配。但是，由于電推進推力器只能提供很小的推力(通常小于100 mN)，要達到和化學推力器同樣的軌道保持目標，必須運用一個預防式的策略，除了滿足位置保持死區的約束，還要阻止航天器位置超出單一小推力能夠修正的范圍。在這種情況下，電推進推力器可能需要每天開機數小時，脈沖假設不再成立，傳統控制策略也不再適用，所以需要設計新的方法來求解這個控制問題。

文獻[5-6]用非線性規劃技術來優化求解電推進GEO軌道保持策略。文獻[7]首先將動力學模型在靜止衛星定點位置處線性化，然后分兩步求解控制策略：1)利用微分包含方法求解推力連續變化的保持策略；2)將推力連續變化的策略轉化為開關控制。

然而這些方法或者沒有考慮東西控制和南北控制的耦合，或者沒有考慮東西控制和南北控制的時刻沖突問題。為了減少地面控制次數，本文假設在一天之內推力器只開機一次，并且兩次開機之間要保持一定的時間間隔。動力學模型參考文獻[7-8]的線性化方法，在此基礎上又進一步將模型擬平均化，得到線性時變模型。基于無控條件下模型的預報和軌道要素的控制約束，用序列二次規劃方法對控制量和控制時間進行最優化求解。對于長期軌道保持問題，采用閉環思路，在滿足狀態約束的較短周期內(周期時長由衛星定點位置的攝動條件和控制死區的大小確定)，對控制進行規劃，將結果帶入模型預報下一個周期的軌道修正量，以此類推，從而在較長時間內實現燃料消耗和地面對衛星操作次數的最優化。文章利用仿真驗證了策略和優化計算方法的可行性。

1 動力學與控制模型

和化學推力器相比，電推進推力器能夠提供的推力很小，在GEO衛星位保機動中開機時長和次數都大大增加。這時，脈沖位保控制策略中的一些針對攝動長期項設計的“控制環”不再適用，電推進控制序列的規劃應當基于包含長期項和長周期項的平根軌道外推。為了提高序列優化求解的計算效率，本文將攝動矩陣進一步線性化[9]。

1.1 動力學方程

對于一條理想的地球靜止軌道，傾角i=0°，偏心率e=0，半長軸a為地球靜止軌道半徑，而升交點赤經Ω、近地點幅角ω和平近點角M的值只是數學意義上的奇異值。為了避免在軌道計算中出現奇異值，本文采用文獻[3]定義的春分點軌道要素：

(1)

式中：l=ω+M+Ω-Θ，Θ=Θ0+ωet，Θ0為t=0時刻格林尼治恒星時角，ωe為地球自轉角速度；ey=esin(ω+Ω)，ex=ecos(ω+Ω)；iy=isinΩ，ix=icosΩ。

在歷元真赤道坐標系(True of Date，TOD)下，考慮地球非球型引力攝動(四階主項)、日月引力攝動、太陽光壓攝動，建立微分方程：

(2)

(3)

式中：R為攝動函數，推導見參考文獻[1]，由于軌道保持考慮的是長期操作，只需要控制軌道平根在一定范圍內即可，因此將式(3)中的短周期項忽略，僅保留半月及以上的周期項和長期項，具體形式限于篇幅這里不再列出。

fG(x,t)為推力作用方程，由高斯行星方程可得：

(4)

從而建立狀態變量方程

(5)

衛星在空間中相對地球的真實位置角度由真經度λ、真緯度φ反映：

λ=l+2exsin(l+Θ)-2eycos(l+Θ)

(6)

φ=ixsin(λ+Θ)-iycos(λ+Θ)

(7)

1.2 解析控制方程

在優化求解過程中，由動力學模型積分計算推力作用效果難以實現，所以需要一個合適的解析形式的控制方程來近似計算推力作用效果。

在連續小推力的條件下，平經度增量不僅僅由徑向加速度引起，切向加速度也會引起漂移率的變化，在一次控制中，推力對平經度的作用方程變成：

(8)

式中：VS為地球靜止軌道標稱速度；Tf為控制計算周期的終點時刻；T為連續推力開始時刻；Δt為連續推力持續時長；ar，at分別為徑向和切向加速度。推力對其他要素的作用方程參考文獻[1]，統一的形式如下：

(9)

(10)

2uTksinLk)

(11)

2uTkcosLk)

(12)

(13)

(14)

式中：K為總開機次數；tk和τk為第k次開機的中點時刻和時長；Lk為第k次控制中點時刻的衛星平赤經；uRk，uTk，uNk分別為第k次控制徑向，切向和法向推力大小。

2 軌道保持策略

2.1 策略設計

電推進GEO衛星軌道保持需要頻繁開關機，所以通常采用多天多次控制的整體優化策略[10]。根據定軌數據、控制周期、位置死區和動力學模型的無控預報，求解控制序列(包括推力器組合、對應的控制時刻和時長)，然后將序列發送至衛星，由衛星按照序列自主進行軌道保持控制，當前控制周期完成后，由測控網重新確定軌道數據，如圖1所示。

圖1 電推進GEO衛星軌道保持控制流程Fig.1 Station keeping control flow of GEO satellites by electric propulsion

通過這樣的策略，將控制計算問題歸結為多次控制序列的求解[11]。式(8)中有線性項，所以在進行非線性規劃時，如果控制周期內存在多組東西控制，控制時刻最早的一組收益最大，序列中將只有第1組非零(在不進行偏心率控制時，僅第一組中的1個非零)，導致軌道要素變化路徑無法滿足狀態約束。所以，在進行較長周期序列計算時，需要考慮衛星定點位置的漂移率和控制死區的大小，將一個控制周期劃分為若干子周期，每個子周期內包含一組東西控制和數次南北控制。

2.2 控制序列的最優化求解

設計變量為開機時刻和開機時長，分別有n個，一一對應。

性能指標為總的速度增量最小，電推進推力器推力恒定，所以等價于總的開機時間最短：

(15)

式中：nk為第k次開機使用的推力器個數；τk為開機時長。

約束條件為：

1)推力器本身的開關機約束：單次開機時長不超過4 h；后一次開機時刻比前一次關機時刻至少推遲15 min。

2)控制目標約束：軌道傾角約束，偏心率約束，平經度約束。通過對這3個軌道要素的約束，就能將GEO衛星的位置限制在相應的死區內。

3)序列本身數學約束：最后一次關機時間不超出控制周期終點時刻。

3 仿真分析

3.1 模型無控預報

衛星質量4 500 kg，面質比0.02，光壓系數1.5，推力器推力恒定0.045 N，假設衛星質量恒定，初始軌道平根數(TOD)為：歷元時刻2016年12月1日00:00:00，半長軸42 165.7 km，偏心率0.000 194 58，軌道傾角0.01°，升交點赤經293.219°，近地點幅角359.949°，平近點角180°。

在相同初始條件下(對應的瞬根和平根輸入)，本文建立的平根外推模型MEPP和STK軟件HPOP模型4周軌道外推結果對比情況如圖2所示。

由MEPP的平根和HPOP的瞬根外推結果比對可知，平根半長軸變化趨勢呈線性且位于瞬根震蕩的中心處，傾角變化趨勢完全重合，偏心率變化趨勢同樣位于瞬根偏心率震蕩的中心處，真經度平根和瞬根的比對也基本重合。所以，通過MEPP模型能夠高效地獲取GEO衛星軌道要素的平均變化趨勢，且精度滿足控制設計的精度需求。

圖2 模型無控預報與HPOP外推對比Fig.2 Comparison between model of this paper and HPOP

3.2 控制序列的最優化求解

本文研究的衛星推力器配置方式參照文獻[3]，為二推力器配置，如圖3所示。3種推力組合的加速度分量如表1所示。

圖3 衛星電推進推力器配置Fig.3 Thruster configuration of satellites by electric propulsion

推力組合加速度分量徑向切向法向推力器1bRbTbN推力器2-bR-bTbN推力器1+2002bN

衛星質量4 500 kg，面質比0.02，光壓系數1.5，推力器推力恒定為0.045 N，假設衛星質量恒定，初始軌道要素同第3.1節。

線性模型無控和按照優化求解的序列控制情況下的軌道外推對比情況如圖4所示。4周一天一控優化序列結果如表2所示。

按照第2.1節的策略，首先進行東西控制序列規劃，將4周均分為7個子周期，每個子周期內包含一組東西控制項(一東一西兩次控制)，總計14次東西控制。由表2可知，規劃得到的非零東西控制項有9個，其中第5、7子周期的一組東西控制項都非零。將這9次控制的時刻和時長加入約束，進行南北控制序列規劃。由表2顯示的序列可知，南北序列規劃結果近似于bang-bang控制，每次控制時長相同，傳統的脈沖南北位保固定在升降交點進行控制[12]，而序列規劃會以燃料最優為目標搜索出控制周期內傾角向量的最佳控制方向，所以南北控制序列中每天的控制時刻也相近。

圖4 無控-受控對比Fig.4 Comparison between controlled and uncontrolled

控制次序推力組合控制時長/h開始時刻/d控制次序推力組合控制時長/h開始時刻/d11+23.4300.169151+23.43014.13121+23.4301.1661620.72815.33931+23.4302.1631710.10216.000421.4033.2201821.20517.35051+23.4304.158191+23.43018.12061+23.4305.155201+23.43019.11771+23.4306.153211+23.43020.114821.3987.179221+23.43021.11291+23.4308.147231+23.43022.109101+23.4309.1442421.21223.350111+23.43010.1422510.21024.8891221.09511.319261+23.43025.101131+23.43012.1362720.46126.380141+23.43013.133281+23.43027.095

圖4中前7個圖顯示了受控(一天一次開關電推進控制)和無控兩種情況下的4周軌道要素變化情況。在控制序列的優化求解中，軌道要素約束設置為i≤0.01°，e≤1.8×10-4，-0.01°≤l-lS≤0.01°，可見，求解得到的控制序列滿足要求。圖4中最后一個圖顯示了兩天一次控制時，真經度和真緯度無控-受控變化情況，14個控制項中有4個東西控制項和10個南北控制項，減少控制次數限制了控制能力，軌道參數變化路徑也波動更大，所以也要相應地增大控制死區、放松參數約束條件。圖5顯示了推力器1、2的開關機時間。

圖5 4周一天一控推力器開關機時刻Fig.5 Thrusters switch time under once a day control

由上述仿真結果可知，文章提出的GEO衛星軌道保持控制策略能夠通過優化求解得到精確、平穩的電推進控制序列，控制結果滿足約束條件，軌道參數演化路徑滿足控制死區要求，且控制時刻分布均勻(一天一次)。相比而言，文獻[7]的控制策略中總的控制次數很多，且頻繁時一天數次開關機，優化求解和工程應用的復雜度都大大增加。

4 結束語

本文研究了電推進地球靜止衛星的軌道保持問題。針對現有方法的優缺點，建立了攝動和開關型連續小推力條件下的線性模型，給出了離散條件下的解析形式推力作用方程，提出了考慮工程適用性的長期軌道保持控制策略，給出了對應優化求解問題的數學模型和求解方法。按照本文的方法，對二推力器配置下的電推進GEO衛星28天軌道保持控制序列進行求解，并仿真驗證了序列的可行性和準確性。結果表明，相比現有的方法，本文提出的電推進GEO衛星軌道保持策略燃料消耗近似最優、控制頻次自主可控、軌道參數變化穩定，有一定的工程實用價值。