基于L型陣列酉變換矩陣重構的二維DOA估計

王秀，常青，王耀力

?

基于L型陣列酉變換矩陣重構的二維DOA估計

王秀，常青，王耀力

（太原理工大學，山西 太原 030024）

二維空間信號波達方向（DOA）的估計是陣列信號處理的一個關鍵研究問題。經典的二維MUSIC算法固然精度高，但此算法需要二維譜峰搜索，運算較為復雜。提出一種用于L型陣列的二維DOA估計算法，通過矩陣重構使得陣列輸出矩陣變為中心對稱矩陣，再利用酉變換矩陣將其由復值矩陣變為實值矩陣。該方法可以直接得到目標參數，不需要譜峰搜索，使得運算量大大降低。相比于L型陣列適用的增廣矩陣束（MEMP）算法，該算法可以估計更多信源的DOA，并能獲得較高的分辨率。計算機仿真結果表明，該算法具有較高的DOA估計精度。

波達方向；L型陣列；酉變換矩陣；特征值；增廣矩陣束算法

1 引言

波達角（direction of arrival，DOA）估計是陣列信號處理中的重要研究內容，在無線通信、聲吶以及雷達等領域均有廣泛應用[1-2]。一維（one-dimensional，1D）DOA估計目前已經發展相對成熟，最為經典的是多重信號分類（multiplesignal classification，MUSIC）算法和旋轉不變子空間（estimating signal parameters via rotational in variance techniques，ESPRIT）算法[3]。近年來，二維（two-dimensional，2D）DOA 估計開始受到越來越多的關注和研究，許多陣列如 L 型陣列[4]、面陣[5]、均勻圓陣[6]和平行陣列[7]等被用來進行有效的2D參數估計。

L型陣列由于具有結構簡單、易于傳統算法移植以及更高 DOA 估計精度等優點[8]，使得對于L型陣列的研究應用越來越多。與普通的線陣相比，L型陣列可提供全方位360°的DOA 估計并能達到較高精度的估計結果。與圓陣相比，除了數據處理方便，需要的運算量和存儲量都較小，還可提高感興趣方向的陣列孔徑，在實際工程應用中具有較大的優勢。金梁等[9-10]提出了時空DOA矩陣法，通過空時處理結合來進行DOA估計，該方法可用于其他陣列形狀的二維DOA中。Tayem和Kwon[11]提出一種修正傳播方法（modified propa-gate method，MPM）用于L型陣列的2D DOA估計，該方法克服了相位模糊問題，但參數匹配有效性差。Kikuchi等[12]提出了一種通過構造Toeplitz矩陣，利用交叉相關矩陣解決仰角匹配問題的方法，但該方法在角度過大時無法匹配。

Wei[13]提出一種新的多相干信號方位角和仰角的配對方法，利用兩個信號源協方差矩陣構造的最小化代價函數實現，但估計性能還需要進一步改善。Ye等[14]提出了一種基于稀疏信號的L型陣列的DOA估計算法，該方法不需要角度配對也能實現較高的分辨率和估計精度。Yilmazer[15]將增廣矩陣束（matrix enhancement and matrix pencil，MEMP）算法引入均勻矩形陣列的二維DOA估計中，通過對陣列接收信號構造增廣矩陣來估計，只需要少量的采樣數據就能得到較高精度的計算結果，但此算法陣元的利用率有所降低，且抑制噪聲的能力較差。針對二維DOA估計的實用性問題，陳建[16]提出基于增廣矩陣束的L型陣列二維DOA估計算法，該算法估計速度快、精度高、參數配對算法簡單，具有較強的實用性。

本文分析了L型陣列的特點，提出了一種可用于L型陣列的二維DOA估計算法。該算法通過分析L型陣列的數據結構，利用反向單位矩陣重構方向矩陣，通過酉變換矩陣使得數據處理由復數域轉換為實數域，通過特征分解得到信源的方位角和仰角，參數自動配對、運算量低。通過與MEMP算法和2D-MUSIC算法的仿真結果進行對比，驗證了本文算法的有效性和優越性。

2 陣列信號模型

如圖1所示為本文中所討論的L型陣列，該陣列由分別位于軸和軸的陣元個數為的均勻線陣垂直構成，陣元間距為，假設有個不同方位的遠場窄帶信號源入射到該陣列上，入射角為（θ，ф），=1,2,...,，其中θ和ф分別為第個信源的方位角和仰角。假定文中涉及的噪聲均為與信號不相關的加性高斯白噪聲。

圖1　L型陣列結構

陣列接收到的信源個數為，軸與軸上傳感器個數均為，則軸和軸的接收信號分別為：

3 算法推導

L型陣列重構的輸出矩陣0定義為：

其中，為反向單位矩陣，此時的L型陣列輸出矩陣為非對稱矩陣，令：

X為0的自相關矩陣，構造矩陣X：

其中，X為X的共軛矩陣，X為中心對稱矩陣，應用酉變化矩陣的思想，將X從復數域轉換到實數域，酉變換矩陣Q（為反向單位矩陣）定義如下：

根據酉變化矩陣Q的定義，可以得到Q矩陣的性質如下：

（10）

從而，有式（11）成立：

X與其共軛相等，由此證明X為實矩陣，虛部為零。因此，陣列輸出矩陣重構為，定義如下：

選擇矩陣J、J定義如下：

分別選擇矩陣的前-1項和后-1項。

現考慮一個信源，軸的方向矩陣可以表示為A，則有：

令：

則有：

同樣地，關于軸的方向矩陣A，在一個信源時，有：

擴展到個信源時，則有：

其中：

同樣地，軸：

擴展到個信源時，則有：

定義：

結合式（24）和式（28）：

由于ψ和ψ有相同的矩陣，將ψ和ψ合并為：

最后對得到的矩陣進行特征值分解，有：

可以得到入射角的方位角和俯仰角的估計值分別為：

步驟1 計算陣列接收矩陣X并根據式（7）得到重構陣列的接收矩陣X；

步驟2 將得到的陣列接收矩陣X按照式（12）轉換為實矩陣并構造矩陣；

步驟3 根據式（13）計算矩陣的協方差矩陣R，通過特征值分解得到信號子空間E；

步驟4 按式（33）和式（34）計算ψ、ψ，構造矩陣F=ψ+jψ；

步驟5 對矩陣作特征值分解，得到特征值為λ（=1，2，…，）；

步驟6 根據式（38）和式（39）計算入射角的估計值。

4 實驗仿真與性能分析

4.1 仿真實驗

仿真參數：=8，即天線陣由軸和軸的8元均勻線陣構成，假設快拍數=200，信源數=3，信噪比為15 dB，3個入射角分別為（10°，15°）、（30°，35°）、（50°，55°），入射信號均為窄帶不相關平面波。

（1）實驗1

二維MUSIC算法是二維DOA估計的經典算法，此方法通過構造空間譜和二維譜峰搜索來實現信源估計，實驗1通過2D-MUSIC算法對L型陣列進行DOA估計，其估計性能如圖2所示。從圖2中可以看出，3 個譜峰指示的入射角分別為（10°，15°）、（30°，35°）、（50°，55°），可見2D-MUSIC算法的估計精度很高，但此算法的計算量相當大，不適用于陣元數過大的情況。

數據結果采用SPSS 19.0進行統計分析，所得結果以“平均值±標準差”表示。運用LSD和Duncan's法檢驗進行多重比較。P＜0.05認為有顯著差異。

圖2 2D-MUSIC算法下DOA估計結果

（2）實驗2

分別采用增廣矩陣束算法和本文算法估計入射角，蒙特卡洛試驗次數設為500，仿真結果分別如圖3、如圖4所示?？梢钥闯?，兩種算法都能估計出3個信源的入射角方向，但本文算法的計算結果較為集中，精度高于增廣矩陣束算法，圖5為入射角DOA估計的局部放大散點對比。從圖5可以更為直觀地看出本文算法性能遠優于增廣矩陣束算法。

圖3 增廣矩陣束算法下DOA估計結果

圖4　本文算法下DOA估計結果

4.2 性能分析

定義進行500次蒙特卡洛實驗后方位角和仰角的聯合均方根誤差（root mean square error，RMSE）為：

圖5　兩種算法DOA估計的局部放大散點圖

圖7表示在SNR=0 dB的條件下，令快拍數以步長100在區間[100 1 000]內取值，3種算法下二維DOA估計的均方根誤差與快拍數變化的關系曲線。

從圖6和圖7可以看出，在信噪比和快拍數相同的情況下，本文算法的估計精度均高于MEMP算法。隨著信噪比和快拍數的不斷增大，本文算法的RMSE與2D-MUSIC算法的估計精度逐漸接近，這說明本文算法具有較強的頑健性。

圖6　RMSE隨信噪比的變化曲線

圖7　RMSE隨快拍數的變化曲線

5 運算結果分析

由算法推導過程可知，算法運算時間區別主要由信源數和陣元數決定，與快拍數和信噪比無關。假定信源數為3，3種算法單次運算時所需時間隨陣元數的變化情況見表1。

由表1可知，陣元數<20時，增廣矩陣束和本文算法的計算時間較為接近，當陣元數>20以后，增廣矩陣束和本文算法的計算時間差距逐漸增大，本文算法由于輸出陣列矩陣重構，運算時間略大于增廣矩陣束算法，但總體來說，本文算法通過酉變換矩陣將協方差矩陣由復數域變為實數域，在達到較高精度的基礎上，運算量也遠小于傳統2D-MUSIC算法。

表1 各種方法下DOA估計耗時隨陣元數的變化（單位：s）

6 結束語

L型陣列是二維DOA估計重要研究內容。傳統實值矩陣處理要求信號陣列模型必須為中心對稱陣列，多適用于均勻圓陣和面陣。本文通過反向單位矩陣和自相關矩陣重構，得到變為中心對稱矩陣的陣列輸出矩陣，通過酉變換矩陣將輸出矩陣由復值轉為實值，降低了運算復雜度，突破了信號陣列模型必須為中心對稱陣列的局限性，其計算精度高于增廣矩陣束算法并接近傳統的2D-MUSIC 算法。但此算法目前只適用于軸和軸陣元數相等的L型陣列，當軸和軸陣元數不相等時，本文算法的計算精度將會大大降低，這也是本文算法的不足之處，還有待繼續研究改進。

[1] JUNG T J, LEE K K. Closed-form algorithm for 3-D single-source localization with uniform circular array[J]. IEEE Antennas Wireless Propagation Letters, 2014, 13(1): 1096-1099.

[2] 李婷. 二維譜估計算法的空間探測性能分析及驗證[J].電信科學, 2016, 32(5): 173-178.

LI T. Analysis and verification on space probe performance of 2-D spectrum estimation algorithm[J]. Telecommunications Science, 2016, 32(5): 173-178.

[3] 吳秀芬. 寬帶陣列信號DOA估計方法研究[D]. 南京: 南京大學, 2013.

WU X F. Research on wideband array signal DOA estimation[D]. Nanjing: Nanjing University, 2013.

[4] GU J F,ZHU W P, SWAMY M N S.Joint 2-D DOA estimation via sparse L-shaped array[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2015, 63(5): 1171-1182.

[5] ZHANG W, LIU W, WANG J, et al. Computationally efficient 2-D DOA estimation for uniform rectangular arrays [J]. Multidimensional Systems & Signal Processing, 2014, 25(4): 847-857.

[6] 穆昌, 姚俊良, 蔡振合. 三維MIMO陣列空間相關性分析[J].電信科學, 2015, 31(1): 1-6.

MU C, YAO J L, CAI Z H. Spatial correlation analysis of 3D MIMO array[J]. Telecommunications Science, 2015, 31(1): 1-6.

[7] 張小飛, 張立岑, 孫華普, 等.雙平行線陣中基于Euler變換傳播算子的二維DOA估計算法[J]. 南京航空航天大學學報, 2015, 47(3): 324-331.

ZHANG X F, ZHANG L C, SUN H P, et al. Two-dimensional DOA estimation algorithm for two parallel linear arrays via Euler transformation and propagator method[J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2015, 47(3): 324-331.

[8] GU J F, ZHU W P, SWAMY M N S. Performance analysis of 2-D DOA estimation via L-shaped array[C]//2012 25th IEEE Canadian Conference on Electrical & Computer Engineering (CCECE), April 29-May 2, 2012, Montreal, Canada. Piscataway: IEEE Press, 2012: 1-4．

[9] 金梁, 殷勤業. 時空 DOA 矩陣方法[J].電子學報, 2000, 28(6): 8-12.

JIN L, YIN Q Y. Space-time DOA matrix method[J]. Acta Electronica Sinica, 2000, 28(6): 8-12.

[10] 金梁, 殷勤業. 時空 DOA 矩陣法的分析與推廣[J]. 電子學報, 2001, 29(3): 300-303.

JIN L, YIN Q Y. Analysis and generalization of space-time DOA matrix method[J]. Acta Electronica Sinica, 2001, 29(3): 300-303.

[11] TAYEM N, KWON H M. L-shape2-dimensional arrival angle estimation with propagator method[C]//VTC-2005, May 30-June 1, 2005, Stockholm, Sweden. Piscataway: IEEE Press, 2005: 1622-1630.

[12] KIKUCHI S, TSUJIH, SANO A. Pair-matching method for estimating 2-D angle of arrival with a cross-correlation matrix[J]. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2006, 5(1): 35-40.

[13] WEI Y S, GUO X J. Pair-matching method by signal covariance matrices for 2D-DOA estimation[J]. IEEE Antennas Wireless Propagation. Letters, 2014(13): 1199-1202.

[14] TIAN Y, LIAN Q S, XU H. Sparse-reconstruction-based 2-D angle of arrival estimation with L-shaped array[J]. International Journal of Electronics and Communications, 2017(72): 162-165.

[15] YLIMAZER N, SARKAR Y K. 2-D unitary matrix pencil method for efficient direction of arrival estimation[J]. Digital Signal Processing: A Review Journal, 2006, 16(6): 767-781.

[16] 陳建. 二維波達方向估計理論研究[D]. 長春: 吉林大學, 2006.

CHEN J. Theoretical study on two-dimensional direction of arrival estimation[D]. Changchun: Jilin University, 2006.

Two-dimensional DOA estimation of unitary transformation matrix reconstruction based on L-shaped array

WANG Xiu, CHANG Qing, WANG Yaoli

Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China

The estimation of the direction of arrival of two-dimensional space signals is the key problem in the field of array antennas. Although the traditional two-dimensional MUSIC algorithm has high precision, it needs two dimensional spectrum peak search and has a large amount of operation. A two-dimensional DOA estimation algorithm for L-shaped array was proposed. The output matrix was transformed from a complex value matrix to a real value matrix by matrix reconstruction and a unitary transformation matrix. This method could directly get the elevation angle of the target without conversion, which greatly reduced the amount of operation. Compared with the matrix enhancement and matrix pencil algorithm for L-shaped array, this algorithm could estimate more targets’DOA. The results of simulation show that the algorithm has a high accuracy of DOA estimation.

direction of arrival, L-shaped array, unitary transformation matrix, eigenvalue, matrix enhancement and matrix pencil algorithm

TN911.7

A

10.11959/j.issn.1000?0801.2018208

2018?01?05；

2018?06?29

常青，changqing@126.com

王秀（1993?），女，太原理工大學碩士生，主要研究方向為傳感器陣列信號處理。

常青（1975?），男，博士，太原理工大學副教授、碩士生導師，主要研究方向為嵌入式個人/家庭服務器、嵌入式系統等。

王耀力（1965?），男，博士，太原理工大學副教授、碩士生導師，主要研究方向為人機視覺分析與處理、嵌入式系統電路設計理論等。