這樣建立線性規(guī)劃模型

張宏翀 馬亮 馬青杰

線性規(guī)劃問題的應(yīng)用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù).近幾年線性規(guī)劃的建模在高考中經(jīng)常出現(xiàn).

例題（2016年高考新課標(biāo)全國卷一文科卷第16題）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料l kg，用5個T時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為____元.

分析 此問題屬于產(chǎn)品安排問題，線性規(guī)劃問題中的條件一般會比較多，因此考生要認(rèn)真審題.判斷線性約束條件中有無等號，要依據(jù)條件加以確定.結(jié)合實(shí)際，判斷未知數(shù)x，y是否有限制，如x，y為正整數(shù)、非負(fù)數(shù)等.分清線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)，線性約束條件一般是不等式（組），而目標(biāo)函數(shù)是一個等式.圖形對解決線性規(guī)劃問題至關(guān)重要，關(guān)鍵步驟基本上是通過數(shù)形結(jié)合完成的.所以，考生作圖應(yīng)盡可能準(zhǔn)確，操作盡可能規(guī)范.但作圖必然會有誤差，若圖上的最優(yōu)解并不明顯分辨時，需將幾個有可能最優(yōu)的解的坐標(biāo)都求出來，逐一檢驗(yàn)，以確定最優(yōu)解.

解設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B分別為x件、y件，利潤之和為z元，則z=2 lOOx+900y，線性約束條件為

解后反思 解答線性規(guī)劃應(yīng)用題一般分三步：①模型建立，即正確理解題意，將一般文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型；②模型求解，即畫出可行域，并結(jié)合所建立的目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)求出最優(yōu)解；③模型應(yīng)用，即將求解出來的結(jié)論反饋到具體的實(shí)例中，設(shè)計出最佳的方案.

變式1 甲、乙兩個糧庫要向A，B兩鎮(zhèn)運(yùn)送大米，已知甲庫可調(diào)出100 t大米，乙?guī)炜烧{(diào)出80 t大米，A鎮(zhèn)需70 t大米，B鎮(zhèn)需110 t大米，兩庫到兩鎮(zhèn)的路程和運(yùn)費(fèi)如下表：

（Ⅰ）這兩個糧庫各運(yùn)往A、B兩鎮(zhèn)多少噸大米，才能使總運(yùn)費(fèi)最省？此時總運(yùn)費(fèi)為多少？

（Ⅱ）最不合理的調(diào)運(yùn)方案是什么？它造成的損失是多少？

分析此題屬于物料調(diào)運(yùn)問題，已知兩庫的大米存量，以及離A、B兩鎮(zhèn)的路程及運(yùn)輸價格，為了節(jié)約費(fèi)用，需要權(quán)衡，制訂調(diào)運(yùn)方案.這是個線性規(guī)劃問題，需建立線性規(guī)劃模型，首先要找到可行域和目標(biāo)函數(shù)，再利用線性規(guī)劃問題的解題方法解決.

解 設(shè)甲糧庫要向A鎮(zhèn)運(yùn)送xt大米，向B鎮(zhèn)運(yùn)送yt大米，則乙糧庫要向A鎮(zhèn)運(yùn)送70-xt大米，向B鎮(zhèn)運(yùn)送110-yt大米.設(shè)總運(yùn)費(fèi)為z元，則目標(biāo)函數(shù)z=12·20x+25·10y+15·12（70-x）+20·8（110-y）=60x+90y+30 200.線性約束條件為可知函數(shù)z=60x+90y+30 200在點(diǎn)M（70，30）處取得最小值，此時zmin=37100；在點(diǎn)N（0，100）處取得最大值，此時zmax=39200.所以zmax-zmin=2100.

故（Ⅰ）甲糧庫向A鎮(zhèn)運(yùn)送大米70t，向B鎮(zhèn)運(yùn)送大米30t；乙糧庫向A鎮(zhèn)運(yùn)送大米0t，向B鎮(zhèn)運(yùn)送大米80t.此時總運(yùn)費(fèi)最省，為37 00元.（Ⅱ）最不合理的調(diào)運(yùn)方案是甲糧庫向A鎮(zhèn)運(yùn)送大米0t，向B鎮(zhèn)運(yùn)送大米100t；乙糧庫向A鎮(zhèn)運(yùn)送大米70t，向B鎮(zhèn)運(yùn)送大米10t.此時總運(yùn)費(fèi)最貴，為39200元，造成損失2 100元.

解后反思 資源數(shù)量一定，如何安排使用它們，使得效益最好，這是線性規(guī)劃中常見的問題之一.這類線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解問題.無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：先要尋找線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)，再由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域，然后在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.

變式2某工廠計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為45個和55個，所用原料為A，B兩種規(guī)格的金屬板，每張面積分別為2m2與3m2.用A種規(guī)格的金屬板可造甲種產(chǎn)品3個，乙種產(chǎn)品5個：用B種規(guī)格的金屬板可造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個.問：A，B兩種規(guī)格的金屬板各取多少張才能完成計劃，并使總的用料面積最??？

分析 此題屬于生活中用料最省問題，要根據(jù)題意找線性約束條件及目標(biāo)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合方法去處理.

解 設(shè)A，B兩種金屬板各取x張，y張，用料面積為zm2，則目標(biāo)函數(shù)為z=2x+3y，約束條件-2/3x+z/3.當(dāng)直線y=-2/3x+z/3過可行域上的點(diǎn)M（5，5）時，縱截距取得最小值，即z最小.于是可得zmin=2×5+3×5=25.

所以，兩種金屬板各取5張時，用料面積最省.

解后反思 線性規(guī)劃類問題建模的關(guān)鍵，是認(rèn)真分析題意，找到約束條件和目標(biāo)函數(shù)，然后正確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，再確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合確定目標(biāo)函數(shù)何時取得最值.解題時，考生要看清楚是求最大值還是求最小值，否則很容易出現(xiàn)錯誤：畫不等式組所表示的平面區(qū)域時要通過特殊點(diǎn)驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯誤.