用數列模型解決生活實際問題

何海濤

生活中頻頻出現的存款利息、分期付款、環境保護、增長率和貸款等熱點問題，常需要用數列的知識來解答.從實際問題中抽象出數學特征，建立數學模型進行求解，將有助于培養我們的應用意識和創新精神，將為我們提供更科學的優化決策.

例題用分期付款的方式購買家用電器一件，價格為1150元.購買當天先支付150元，以后每月的這一天都支付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%.若支付150元以后的第一個月開始算分期付款的第一月，則分期付款的第10個月該支付多少錢？全部貨款付清后，實際花了多少錢？

分析 由每月都付50元，可知剩余欠款在均勻減少.由于剩余欠款的月利率固定為1%，所以剩余欠款的利息呈線性減少，則每月的還款額度與月份之間呈線性變化規律，故可建立等差數列模型.

解 由題意可知全部貸款分20次付清.設每次所付金額順次構成數列{an}，則a1=50+1000×0.01=60，an=50+0.01[1000-50（n-1）]=60-0.5（n-1），于是可知數列{an}是以60為首項、-0.5為公差的等差數列.故a10=60-（10-1）×0.5=55.5，S20=20×60+20×（20-1）/2×（-0.5）=1105.所以，分期付款的第10個月該支付55.5元，全部貨款付清后，實際花了1105+150=1255元.

解后反思等差數列模型常用于變化規律呈線性的實際問題的求解，或應用于前n項和與n成二次函數關系的實際問題的求解.例1中的還款方式實際是等額本金方式的具體體現，利息是按單利進行計算的.在我們的生活中，利息常按復利進行計算，這種還款方式稱為等額本息的方式.

變式1 某房地產開發商采用分期付款方式向社會出售商品住房，具體事宜如下：

①每套商品住房售價為400 000元；②購房者必須在一年內將款全部付清；③購房者可分3次或4次付款，月利率為5%，每月利息按復利計算.

計劃分4次付款購買一套商品住房：每期應付款多少元？總計應付多少元？與一次性付款的差額為多少元？

分析上述問題是典型的分期付款問題，利息是按復利進行計算的，故可建立還貸模型進行求解.還款方式采用復利形式，復利即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再計算下一期的利息.設本金為a，每期利率為r，本利和為y，存期為t，則復利函數式為y=a（1+r）t.一般地，購買一件售價為a元的商品，采用分期付款方式付款，要求在m個月內分n次將款全部付清，月利率為p，則m個月后本息和為a（1+p）m.第1次還款額為x，則在m-m/n個月后本息和為x（1+p）；第2次還款額為x，則在m-2m/n個月后本息和為x（1+p）；…；第i次還款額為x，則在m-im/n個月后本息和為x（1+p）；…；第n次還款額為x，本息和為x.于是所有的還款額產生的本息和為x+x（1+p）n+…+x（1+p）=根據總售價本息和等于還款額的本息和，付款總額為nx.與一次性付款的差額為nx-a.此模型常用于分期付款問題中等額本息還款方式的求解與決策，以及與其他購買方式的優化選擇中.

解 由已知有a=400 000，p=5%=0.05，m=12，n=4，將這些數據代人，可得x=142 272，則nx=4×142 272=569 088，nx-a=169088.

所以，分4次付款購買一套商品住房，每期應付款142 272元，總計應付款569 088元，與一次性付款差額為169088兀.

解后反思 變式1中的利率計算方式與例1是不同的，因此還款方式與例1也有所區別.由于等額本息中的利率按復利計算，所以第n期還款后的欠款數與第n-1期還款后的欠款數存在一定關系.設貸款總額為a，每期付款為x，每期利率為r，按復

遞推數列模型常用于已知前后兩項關系的數列問題的求解.

變式2 甲、乙、丙、丁4人做相互傳球練習，第一次由甲任意傳給除甲外的其他三個人中的一個人，第二次由接球者再將球任意傳給其他三個人中的一人，依此類推，這樣共傳了4次后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式有多少種？

分析對這類問題，當人數、次數較少時，常用樹狀圖法或排列組合的知識進行求解.當人數、次數較多時，樹狀圖法顯得力不從心，排列組合的討論也比較繁瑣，容易重復或者遺漏.

注意到第4次將球傳回到甲手中，則在第3次傳球結束后球一定不在甲的手中，所以第4次將球傳回到甲手中的傳球方式的種數，應等于在第3次傳球結束后球不在甲手中的傳球方式的種數.根據這一特點，可建立遞推數列模型解決這類問題.

每次傳球過程中不會出現失誤，即不會出現球落在地上的情形.一次傳球活動，只能是一個傳球者和一個接球者，即不能出現兩個人同時接球.每次傳球活動開始時，傳球者選擇接球者具有隨機性.

為使問題更具一般性，特進行如下符號說明：①共有A1，A2，…，Ak等k個人進行傳球練習；②經過n（n≥2，n∈N*）次傳球后，球仍回到第一個發球人手中，模型重述：第一次由A1任意傳給除A1外的其他k-1個人中的一個人，第二次由接球者再將球任意傳給其他k-1個人中的一個人，依此類推，這樣共傳了n次后，球仍回到A1手中，則不同的傳球方式有多少種？