立體幾何中的常見模型化方法

崔文 侯宇虹

建構(gòu)幾何模型的兩個角度：一是待研究的幾何體可與特殊幾何體建立關(guān)聯(lián)，二是數(shù)量關(guān)系有明顯特征的幾何背景.

例題 一個多面體的三視圖如圖1所示，則該多面體的體積是

A. 23/3 B. 47/6

C.6 D.7

分析該幾何體的三視圖為3個正方形，所以可建構(gòu)正方體模型輔助解答.

解 圖2為一個棱長為2的正方體.

由三視圖可知，該幾何體是正方體截去兩個小三棱錐后余下的部分，其體積V=8-2×1/3×1/2×1×1×1=23/3選A.

解后反思 大部分幾何體可通過對正方體或長方體分割得到，所以將三視圖問題放在正方體或長方體模型中研究，能夠快速得到直觀圖，并且線面的位置關(guān)系、線段的數(shù)量關(guān)系明顯，計算簡便.

變式1 已知正三棱錐P-A BC，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為____

分析 由于在正三凌錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以將該正三棱錐看作正方體的一部分，構(gòu)造正方體模型.

解 構(gòu)造如圖3所示的正方體.

此正方體外接于球，正方體的體對角線為球的直徑EP，球心為正方體對角線的中點O，且EP⊥平面ABC，EP與平面ABC相交于點F.由于FP為正方體體對角線長度的1/3，所以 又OP為球的半徑，所以O(shè)P=.故球心O到截面ABC的距離

解后反思從正方體的8個頂點之中選取不共面的點，可構(gòu)造出多種幾何體，這些幾何體可以分享正方體的結(jié)構(gòu)特征.

變式2-個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為

A.3π B.4π C.3π D.6π

分析將一個正方體切掉四個大的“角”，就可得到一個正四面體.

解 如圖4所示，構(gòu)造一個棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，連接AB1，AD1，AC，CD1，CB1，B1D1，則四面體B1-ACD1為符合題意的四面體，它的外接球的直徑AC1=，所以此正方體外接球的表面積S=4πR2=3π.選A.

解后反思 正四面體的體積也可通過這種切割的方法求得.由圖形分析可知，正四面體的體積是它的外接正方體體積的}.若正四面體的棱長為a，則其體積為

變式3 四面體A-BCD中，共頂點A的三條棱兩兩互相垂直，且其長分別為1，2，3.若四面體A-BCD的四個頂點同在一個球面上，則這個球的表面積為____.

分析 共頂點的三條棱兩兩互相垂直且長度不相等，這具有長方體的結(jié)構(gòu)特征，可構(gòu)造長方體來解決問題.

解 構(gòu)造一個棱長分別為1，2，3的長方體，我們可發(fā)現(xiàn)四面體A-BCD是這個長方體的一個“角”，它們的外接球相同.所以2R=.故這個球的表面積S=4πR2=14π.

解后反思 可構(gòu)造長方體的幾何體在高考中屬于高頻考點.本題中條件“共頂點A的三條棱兩兩互相垂直”可變?yōu)椤肮岔旤cA的三個面兩兩垂直”，這也是長方體的結(jié)構(gòu)特征之一

變式4 如圖5，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥上BC，DA =2，AB=4，BC=6，則球O的體積是____.

分析 DA，AB，BC的位置符合長方體三條相連接棱的結(jié)構(gòu)特征，可構(gòu)造長方體模型.

解 以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造長方體.設(shè)長方體的外接球O的半徑為R，則長方體的體對角線長為球O的直徑，即CD.所以

解后反思這種幾何體的結(jié)構(gòu)特征是三條棱頓次連接，并且垂直，通常稱為“三節(jié)棍”模型.

變式5 由空間上一點O出發(fā)的4條射線，兩兩所成的角都相等，求這個角的余弦值.

分析 由于是4條射線，并且兩兩所成的角都相等，聯(lián)想到正四面體的結(jié)構(gòu)特征——正四面體的中心與四個頂點的連線兩兩所成的角相等.

解 構(gòu)造正四面體模型，如圖6所示.射線OA，OB，OC，OD兩兩所成的角相等，∠AOB即為所求.設(shè)正四面體的棱長為a，則正四面體的高h=由余弦定理可得

解后反思 本題也可建構(gòu)在正方體中，同學(xué)們可以試一試.

變式6 已知直線l與平面a平行，P是直線l上的一個定點，平面a內(nèi)的動點B滿足PB與直線l所成的角為30°，那么點B的軌跡是

A.兩條直線 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

分析 由已知條件，構(gòu)造圓錐模型.

解由于P是直線l上的一個定點，平面α內(nèi)的動點B滿足PB與直線l所成的角為30°，所以點B在以P為頂點的圓錐側(cè)面上.又直線l與平面α平行，所以平面α與圓錐的軸平行，即平行于圓錐的軸的平面截圓錐的側(cè)面，可得截面圖形為雙曲線.選C.

解后反思本題中，點B的軌跡符合圓錐的結(jié)構(gòu)特征是解題的突破口.

變式7 如圖7，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是

A.圓 B.橢圓C.一條直線 D.兩條平行直線

分析 考慮到三角形面積為定值，底邊一定，從而P到直線AB的距離為定值，可構(gòu)造圓柱模型.

解 由已知可得動點P的軌跡在圓柱面上.由于AB是平面α的斜線段，所以平面α斜截圓柱面，得到的截面圖形為橢圓.選B.

解后反思本題中，點P的軌跡符合圓柱的結(jié)構(gòu)特征是解題的突破口.

模型化方法的本質(zhì)是根據(jù)題意進行數(shù)學(xué)建模，提升空間想象能力.對常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征特別熟悉，是建構(gòu)合理模型的關(guān)鍵.