數學核心素養在數列中的滲透

王中華

教育部《普通高中數學課程標準》修訂組組長王尚志教授提出，中國學生在數學學習中應培養好數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六大核心素養.數列在現實生活中有著廣泛的應用，是培養學生核心素養的重要題材.

一、數學抽象

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程，主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征.

例1 （2017年高考全國卷一理科卷第12題）幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件.為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數Ⅳ：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是

A.440 B.330 C.220 D.110

參考答案 A

名師點睛 本題巧妙地將實際問題和數列融合在一起.考生首先需要讀懂題目所表達的意思，以及觀察所給數列的特征，進而判斷該數列的通項與求和.本題的難點在于數列里面套數列，第一個數列的和又作為下一個數列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數列中，需要進行判斷.本題的解題關鍵是對新的數學情景的理解或對新概念的提煉升華.

二、邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從小范圍內成立的命題推斷更大范圍內成立的命題的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從大范圍內成立的命題推斷小范圍內成立的命題的推理，推理形式主要有演繹推理.

例2 （Ⅰ）圖1是網絡工作者經常用來解釋網絡運作的蛇形模型：數字1出現在第1行；數字2，3出現在第2行；數字6，5，4（從左至右）出現在第3行；數字7，8，9，10出現在第4行，依此類推，則第20行從左至右的第4個數字應是____.

（Ⅱ）四面體數為：1，4，10，20，35，56，84，120，….它們是恰能壘成正四面體堆垛的大小相同的小球的個數，猜想其通項公式為____.參考答案（Ⅰ）194（Ⅱ）1/6n（n+1）（n+2）

名師點睛 第（Ⅰ）題考查歸納推理以及等差數列的前n項和公式，屬于中檔題，解題的關鍵在于從有限的特殊事例中尋找其中的規律，要注意從運算的過程中去尋找.第（Ⅱ）題可利用分解或組合的方法，將看似無規律、無目標的問題變得有規律可循.

三、數學建模

數學建模是對現實問題進行抽象，用數學語言表達和解決問題的過程.具體表現為：在實際情境中，從數學的視角提出問題、分析問題、表達問題、構建模型、求解結論、驗證結果、改進模型，最終得到符合實際的結果.

例3 英國著名物理學家牛頓在數學上也有許多杰出貢獻.牛頓用“作切線”的方法求函數f（x）的零點時給出一個數列{xn}：滿足xn+1=xn-f（xn）/f'（xn），我們將該數列稱為牛頓數列.若函數f（x）=ax2+bx+c（a>0）有兩個零點1，2，數列{xn}為牛頓數列，設an=Inxn-2/xn-1，已知a1=2，xn>2，則數列{an}的通項公式an=_____.

參考答案2''

名師點睛 利用數學建模解決實際應用問題，先要正確理解題意，分析條件和結論，理順數量關系，選擇恰當模型：再建立模型，即將文字語言、圖形（或數表）等轉化為數學語言，利用數學知識建立相應的數學模型，將實際問題化為數學問題：然后選擇合適的數學方法求解（尤其要注意使用導數解決最優化的問題）：最后將利用數學知識和方法得出的結論還原為實際問題的答案.在求解過程中，考生要注意實際問題對變量參數的限制條件.

四、數學運算

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果.

例4已知n∈N*，數列{dn}滿足dn=3+（-1）n/2，數列{an}滿足an=d1+d2+d3+…+d2，數列{bn}為公比大于1的等比數列，且b2，b4為方程x2-20x+64=0的兩個不相等的實根.

（Ⅰ）求數列{an}和{bn}的通項公式.

（Ⅱ）將數列{bn}中的第a1項，第a2項，第a3項，…，第an項，…刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數列{Cn}，求數列{cn）的前2013項和.

參考答案（Ⅰ）an=3n，bn=2n.（Ⅱ）20×81006-6/7.

名師點睛 本例在求解與等比數列有關的問題時，除了要靈活地運用定義和公式外，還要注意挖掘隱含條件，利用性質以減少運算量，提高解題速度.方程觀點以及基本量思想是求解等比數列問題的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五個量中，知三求二.在運用等比數列的前n項和公式時，必須對q=1與q≠1進行分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情形而導致解題失誤.

五、直觀想象

直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態與變化，利用幾何圖形理解和解決數學問題.主要包括：利用圖形描述數學問題，建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

例5已知數列{an}，n∈N*.

（Ⅰ）若an=n2*5n+4，數列中有多少項是負數？n為何值時，an有最小值？求出最小值.

（Ⅱ）若an=n2+kn+4，an+1>an，求實數k的取值范圍.

參考答案 （Ⅰ）兩項，2或3，最小值為-2.

（Ⅱ）k>-3.

名師點睛 求數列的最大項和最小項一般有兩種方法：①將數列看作特殊的函數，根據函數的性質研究數列的單調性及最值，應注意n必須取正整數.②類比函數單調性研究數列的單調性，進一步研究最值.注意最大項或最小項可能不止一項.

六、數據分析

數據分析是指從數據中獲得有用信息，形成知識的過程，主要包括：收集數據提取信息，利用圖表展示數據，構建模型分析數據，解釋數據蘊含的結論.

例6 將正三角形ABC分割成n2（n≥2，n∈N*）個全等的小正三角形（圖2，圖3 分別給出了n=2，3的情形），在每個三角形的頂點各放置一個數，使位于正三角形ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數（當數的個數不少于3時）都分別依次成等差數列.若頂點A，B，C處的三個數互不相同且和為1，記所有頂點上的數之和為f（n），則有f（2）=2，f（3）=____，…，f（n）=______.

參考答案 10/3 1/6（n+1）（n+2）

名師點睛 解決圖表類問題時，應正確理解圖表中各量的意義，從圖表中提取有用信息.通過圖表掌握信息是解決該類問題的關鍵.本題主要考查考生的歸納推理能力及等差數列的求和，要求考生能根據題目中的敘述，正確地把握題目所包含的數學知識，然后化歸為數列求和問題來求解.