淺談積累歸納推理經驗的數學教學

桑麗陽

歸納推理經驗是一種基本的數學思維活動經驗，它一般是從學生的動手操作和思維活動中獲得，不像“基本知識”和“基本技能”那樣容易考查和評估，因此常常易被教師所忽視。然而，數學活動經驗是一種不可替代的自我體驗，是提高數學能力和數學素養的關鍵。因此，教師必須結合具體的教學內容，設計組織好每一次數學學習活動，引導學生積極主動地參與其中，經歷學習的全過程，從而獲得獨特的經歷和體驗，逐漸積累豐富的數學活動經驗。

一、通過全程經歷掌握正確的歸納推理方法

歸納推理的教學是讓學生親歷歸納推理解決問題的過程，在學習過程中建構數學知識，掌握解決問題的基本策略，發展邏輯推理能力，從而真正理解什么是歸納推理，形成用歸納推理解決問題的能力。教學中，教師要幫助學生了解和掌握一般的歸納推理方法，讓他們運用該方法繼續去發現和探索知識。同時，教師要有意識地結合教學內容引領學生掌握正確的歸納推理方法。

歸納推理一般由以下幾個環節組成：一是觀察引入，即通過觀察研究對象，提出要研究的問題；二是形成猜想，即根據觀察的結果，提出合理的猜想；三是枚舉驗證，即運用舉例的方法進行驗證猜想；四是歸納結論，即用文字或符號概括結論。例如，“加法交換律”一課，作為數學運算規律探究的起始課，它是學生積累代數歸納經驗，掌握一般歸納推理方法的關鍵。在課堂上，教師需要按照“提出問題—形成猜想—舉例驗證—概括歸納—運用結論”幾個環節展開教學。

例如，教師先出示“5+12=17”和“12+5=17”，讓學生通過觀察、分析，用自己的語言敘述算式的變化，即“左右兩個加數互換位置，和不變”，從而引發學生的猜想：是不是所有的加法算式，將兩個加數的位置互換后，和都不變？為了驗證猜想是否正確，就需要舉例。在舉例驗證的過程中，教師要指導學生對研究進行規范的記錄，形成良好的記錄習慣。這不僅能讓學生正確地表達因果關系，而且有助于學生養成科學嚴謹的學習態度。同時，教師還要逐步開啟學生的研究思路：有時，一個例子不足以證明猜想是否正確，舉例就要多樣，要考慮到不同種類的加法，如整數、小數、分數等；舉例時要注意特殊數字，比如0；還要有尋找反例的意識等。通過這樣有意識的引領，讓學生學會舉例驗證的一般方法，即要全面舉例，盡可能涉及更廣的范圍，并要考慮到特殊的例子，要努力地尋找反例。這樣，學生在習得舉例驗證的一般方法時，也就積累了豐富的歸納推理的經驗。

舉例驗證后，要引導學生使用簡潔的方式歸納概括結論，如圖形、符號、字母等，讓他們知道完整的表述應該包含條件和結論兩部分。最后讓學生運用這一結論，解答一些數學問題。

總之，在教學中，要讓學生經歷用歸納推理解決問題的全過程，不僅使他們學習數學知識，能用歸納推理解決問題，也學會歸納推理的一般方法，積累歸納推理經驗。

二、通過實踐操作積累直接的歸納推理經驗

在生活中，讓人印象深刻的往往都是親身經歷的事。數學經驗的積累離不開數學活動。讓學生經歷多種多樣的數學活動，從中觀察、操作、思考、比較、歸納，才能更好地掌握基本的數學知識、方法和技能。因此，在教學中，教師要留給學生足夠的時間和空間，組織學生動手操作、自主探究，參與歸納推理的活動過程，通過實踐獲得并積累歸納推理的直接經驗。

例如，在教學“三角形內角和”時，筆者首先引導學生觀察身邊的文具三角板，再通過測量和計算發現這兩個特殊的直角三角形的內角和是180°，從而引發學生猜想：是不是所有的三角形內角和都是180°？激起學生探究的欲望。從兩個特殊的直角三角形到一般三角形的內角和，特別是“鈍角三角形和銳角三角形的內角和會是一樣的嗎？”這一開放性的問題，引發了學生視覺和思維上的沖突，對學生來說極富挑戰性。教師要把握機會，適時組織學生動手操作驗證。

接下來，教師要引導學生根據已有的歸納推理經驗進行思考：如何驗證？只驗證一個三角形夠嗎？所有的三角形驗證得完嗎？需要驗證哪些三角形？讓學生進一步感知舉例驗證要全面，要盡量考慮不同類型的三角形。課前，筆者準備了多種不同類型的三角形，讓學生選出所需三角形動手驗證。教師可引發學生思考：除了測量，你還有其他辦法驗證三角形內角和嗎？以此引導學生將三角形的三個角折拼或剪拼在一起進行驗證。在學生自主探究的過程中，教師要引導學生科學記錄研究結果。

最后，引導學生將研究過程中看到的現象進行歸納，得出結論：三角形內角和是180°。讓學生親身經歷“猜想—驗證—歸納”的全過程，通過動手操作，獲得了“三角形內角和”的直接經驗，并且印象十分深刻。

三、通過回顧反思提升歸納推理的能力

反思是課堂教學的一個重要環節。學生經歷了一系列的數學活動后，需要對學習過程進行回顧和反思。在課堂教學中，教師要引導學生反思自己參與活動的全過程，與同伴交流參與活動所獲得的體驗，總結在活動中的一些收獲，在思維碰撞中加深對知識的探索，提升歸納推理的能力。

如在學習“加法交換律”之后，學生通過反思，首先總結出了歸納推理的一般步驟，即“觀察發現—形成猜想—舉例驗證—歸納結論”；接著，通過互相交流，學生們認識到舉例要全面，要考慮特殊例子，并通過特殊數字尋找反例等；最后，根據得到的結論類比猜想，將“兩個加數”橫向拓展到“三個加數、四個加數……”，從“加法”縱向延伸到“減法”“乘法”“除法”，形成更多新的猜想，拓展學生研究的視角，給學生留下更多自主探索的空間。

引導學生反思時，可以從“我今天學習了什么知識？”“運用了什么樣的學習方法？”“今天學的知識與生活有什么聯系？”等問題開始。這樣的反思，有利于學生全面考慮問題， 掌握解決問題的辦法，進一步積累數學活動經驗。

總之，歸納推理的經驗是需要依靠積累形成的，需要教師在課堂中為學生預留充分的時間和空間，讓學生經歷歸納推理的全過程，掌握歸納推理的方法，獲得在操作活動中的初步體驗，逐步形成“總想發現點什么”的意識，養成科學分析問題的習慣。只有這樣，才能將獲得的直接經驗轉化為內在的認識；才能在反思中總結提升，舉一反三，形成新的猜想，獲得新的經驗。

（責任編輯 郭向和）