淺談積累歸納推理經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教學(xué)

桑麗陽(yáng)

歸納推理經(jīng)驗(yàn)是一種基本的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，它一般是從學(xué)生的動(dòng)手操作和思維活動(dòng)中獲得，不像“基本知識(shí)”和“基本技能”那樣容易考查和評(píng)估，因此常常易被教師所忽視。然而，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是一種不可替代的自我體驗(yàn)，是提高數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵。因此，教師必須結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)組織好每一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與其中，經(jīng)歷學(xué)習(xí)的全過(guò)程，從而獲得獨(dú)特的經(jīng)歷和體驗(yàn)，逐漸積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

一、通過(guò)全程經(jīng)歷掌握正確的歸納推理方法

歸納推理的教學(xué)是讓學(xué)生親歷歸納推理解決問(wèn)題的過(guò)程，在學(xué)習(xí)過(guò)程中建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握解決問(wèn)題的基本策略，發(fā)展邏輯推理能力，從而真正理解什么是歸納推理，形成用歸納推理解決問(wèn)題的能力。教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生了解和掌握一般的歸納推理方法，讓他們運(yùn)用該方法繼續(xù)去發(fā)現(xiàn)和探索知識(shí)。同時(shí)，教師要有意識(shí)地結(jié)合教學(xué)內(nèi)容引領(lǐng)學(xué)生掌握正確的歸納推理方法。

歸納推理一般由以下幾個(gè)環(huán)節(jié)組成：一是觀察引入，即通過(guò)觀察研究對(duì)象，提出要研究的問(wèn)題；二是形成猜想，即根據(jù)觀察的結(jié)果，提出合理的猜想；三是枚舉驗(yàn)證，即運(yùn)用舉例的方法進(jìn)行驗(yàn)證猜想；四是歸納結(jié)論，即用文字或符號(hào)概括結(jié)論。例如，“加法交換律”一課，作為數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律探究的起始課，它是學(xué)生積累代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)，掌握一般歸納推理方法的關(guān)鍵。在課堂上，教師需要按照“提出問(wèn)題—形成猜想—舉例驗(yàn)證—概括歸納—運(yùn)用結(jié)論”幾個(gè)環(huán)節(jié)展開教學(xué)。

例如，教師先出示“5+12=17”和“12+5=17”，讓學(xué)生通過(guò)觀察、分析，用自己的語(yǔ)言敘述算式的變化，即“左右兩個(gè)加數(shù)互換位置，和不變”，從而引發(fā)學(xué)生的猜想：是不是所有的加法算式，將兩個(gè)加數(shù)的位置互換后，和都不變？為了驗(yàn)證猜想是否正確，就需要舉例。在舉例驗(yàn)證的過(guò)程中，教師要指導(dǎo)學(xué)生對(duì)研究進(jìn)行規(guī)范的記錄，形成良好的記錄習(xí)慣。這不僅能讓學(xué)生正確地表達(dá)因果關(guān)系，而且有助于學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。同時(shí)，教師還要逐步開啟學(xué)生的研究思路：有時(shí)，一個(gè)例子不足以證明猜想是否正確，舉例就要多樣，要考慮到不同種類的加法，如整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等；舉例時(shí)要注意特殊數(shù)字，比如0；還要有尋找反例的意識(shí)等。通過(guò)這樣有意識(shí)的引領(lǐng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉例驗(yàn)證的一般方法，即要全面舉例，盡可能涉及更廣的范圍，并要考慮到特殊的例子，要努力地尋找反例。這樣，學(xué)生在習(xí)得舉例驗(yàn)證的一般方法時(shí)，也就積累了豐富的歸納推理的經(jīng)驗(yàn)。

舉例驗(yàn)證后，要引導(dǎo)學(xué)生使用簡(jiǎn)潔的方式歸納概括結(jié)論，如圖形、符號(hào)、字母等，讓他們知道完整的表述應(yīng)該包含條件和結(jié)論兩部分。最后讓學(xué)生運(yùn)用這一結(jié)論，解答一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。

總之，在教學(xué)中，要讓學(xué)生經(jīng)歷用歸納推理解決問(wèn)題的全過(guò)程，不僅使他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，能用歸納推理解決問(wèn)題，也學(xué)會(huì)歸納推理的一般方法，積累歸納推理經(jīng)驗(yàn)。

二、通過(guò)實(shí)踐操作積累直接的歸納推理經(jīng)驗(yàn)

在生活中，讓人印象深刻的往往都是親身經(jīng)歷的事。數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累離不開數(shù)學(xué)活動(dòng)。讓學(xué)生經(jīng)歷多種多樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從中觀察、操作、思考、比較、歸納，才能更好地掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和技能。因此，在教學(xué)中，教師要留給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，組織學(xué)生動(dòng)手操作、自主探究，參與歸納推理的活動(dòng)過(guò)程，通過(guò)實(shí)踐獲得并積累歸納推理的直接經(jīng)驗(yàn)。

例如，在教學(xué)“三角形內(nèi)角和”時(shí)，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生觀察身邊的文具三角板，再通過(guò)測(cè)量和計(jì)算發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)特殊的直角三角形的內(nèi)角和是180°，從而引發(fā)學(xué)生猜想：是不是所有的三角形內(nèi)角和都是180°？激起學(xué)生探究的欲望。從兩個(gè)特殊的直角三角形到一般三角形的內(nèi)角和，特別是“鈍角三角形和銳角三角形的內(nèi)角和會(huì)是一樣的嗎？”這一開放性的問(wèn)題，引發(fā)了學(xué)生視覺和思維上的沖突，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)極富挑戰(zhàn)性。教師要把握機(jī)會(huì)，適時(shí)組織學(xué)生動(dòng)手操作驗(yàn)證。

接下來(lái)，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的歸納推理經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考：如何驗(yàn)證？只驗(yàn)證一個(gè)三角形夠嗎？所有的三角形驗(yàn)證得完嗎？需要驗(yàn)證哪些三角形？讓學(xué)生進(jìn)一步感知舉例驗(yàn)證要全面，要盡量考慮不同類型的三角形。課前，筆者準(zhǔn)備了多種不同類型的三角形，讓學(xué)生選出所需三角形動(dòng)手驗(yàn)證。教師可引發(fā)學(xué)生思考：除了測(cè)量，你還有其他辦法驗(yàn)證三角形內(nèi)角和嗎？以此引導(dǎo)學(xué)生將三角形的三個(gè)角折拼或剪拼在一起進(jìn)行驗(yàn)證。在學(xué)生自主探究的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)記錄研究結(jié)果。

最后，引導(dǎo)學(xué)生將研究過(guò)程中看到的現(xiàn)象進(jìn)行歸納，得出結(jié)論：三角形內(nèi)角和是180°。讓學(xué)生親身經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—?dú)w納”的全過(guò)程，通過(guò)動(dòng)手操作，獲得了“三角形內(nèi)角和”的直接經(jīng)驗(yàn)，并且印象十分深刻。

三、通過(guò)回顧反思提升歸納推理的能力

反思是課堂教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。學(xué)生經(jīng)歷了一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)后，需要對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行回顧和反思。在課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思自己參與活動(dòng)的全過(guò)程，與同伴交流參與活動(dòng)所獲得的體驗(yàn)，總結(jié)在活動(dòng)中的一些收獲，在思維碰撞中加深對(duì)知識(shí)的探索，提升歸納推理的能力。

如在學(xué)習(xí)“加法交換律”之后，學(xué)生通過(guò)反思，首先總結(jié)出了歸納推理的一般步驟，即“觀察發(fā)現(xiàn)—形成猜想—舉例驗(yàn)證—?dú)w納結(jié)論”；接著，通過(guò)互相交流，學(xué)生們認(rèn)識(shí)到舉例要全面，要考慮特殊例子，并通過(guò)特殊數(shù)字尋找反例等；最后，根據(jù)得到的結(jié)論類比猜想，將“兩個(gè)加數(shù)”橫向拓展到“三個(gè)加數(shù)、四個(gè)加數(shù)……”，從“加法”縱向延伸到“減法”“乘法”“除法”，形成更多新的猜想，拓展學(xué)生研究的視角，給學(xué)生留下更多自主探索的空間。

引導(dǎo)學(xué)生反思時(shí)，可以從“我今天學(xué)習(xí)了什么知識(shí)？”“運(yùn)用了什么樣的學(xué)習(xí)方法？”“今天學(xué)的知識(shí)與生活有什么聯(lián)系？”等問(wèn)題開始。這樣的反思，有利于學(xué)生全面考慮問(wèn)題， 掌握解決問(wèn)題的辦法，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

總之，歸納推理的經(jīng)驗(yàn)是需要依靠積累形成的，需要教師在課堂中為學(xué)生預(yù)留充分的時(shí)間和空間，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納推理的全過(guò)程，掌握歸納推理的方法，獲得在操作活動(dòng)中的初步體驗(yàn)，逐步形成“總想發(fā)現(xiàn)點(diǎn)什么”的意識(shí)，養(yǎng)成科學(xué)分析問(wèn)題的習(xí)慣。只有這樣，才能將獲得的直接經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的認(rèn)識(shí)；才能在反思中總結(jié)提升，舉一反三，形成新的猜想，獲得新的經(jīng)驗(yàn)。

（責(zé)任編輯 郭向和）