量子力學教學中關于自旋算符及其對易關系引入方式的探討

舒崧

摘要：本文主要探討了量子力學教學中自旋的一種新的引入方式。通過空間轉動變換后粒子內秉空間波函數的轉動不變性可以引入自旋算符，由作為矢量的自旋算符平均值的空間轉動不變性可以進一步導出自旋算符間的對易關系。這樣引入自旋有助于學生認識到空間轉動對稱性與自旋的關系。

關鍵詞：對稱性；空間轉動不變性；自旋算符；對易關系；量子力學課程教學

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）25-0200-02

在近代物理學的發展當中，量子力學發展到量子場論，對稱性在其中起到了非常重要的作用。物理中的對稱性是指物理系統在時空坐標的某種變換操作下的不變性。深入研究對稱性的數學理論是群論，它在粒子物理和高能物理中有著廣泛的應用。而量子力學的教學應該更多地反映量子力學相關領域研究中基本物理觀念和數學處理方法上的發展。

自旋是量子力學中一個重要的基本概念，在通常的本科量子力學教材中自旋是類比角動量的概念引入的，自旋算符和其對易關系也完全是按照角動量算符的對應情形直接引入的，并沒有作任何推導。在教學過程中，這種引入方式顯得有些突兀，雖然學生能夠接受，但是學生不能從中理解到自旋概念與空間轉動對稱性的關系，對學生以后深入理解和學習自旋沒有更多的幫助。所以在本論文中筆者希望結合量子力學課程教學來探討一下從空間轉動對稱性的角度出發來引入自旋算符和相應的對易關系。

一、由自旋內秉空間波函數的空間轉動不變性引入自旋算符

在本科量子力學教學中，自旋概念是根據具體的實驗事實而提出來的，比如施特恩-蓋拉赫實驗。這些實驗說明電子具有某種內秉角動量，被稱作自旋。這種角動量不能由通常的軌道角動量定義方式，即來定義描述。那么量子力學中怎么來描述一種內秉角動量呢？這里問題的關鍵在于量子力學中角動量還有其他的定義和描述方式嗎？答案是有。這就是由空間轉動不變性來定義角動量。在某種空間轉動下如果粒子的運動狀態不發生改變，這時對應轉動變換的生成元就是角動量。這實際上是基于群論基礎對角動量更為普適的一種定義方式。但在本科教學中，由于學生沒有群論學習基礎，我們只能從另一種途徑來說明這一點。由于量子力學中粒子的狀態是由波函數來描述，準確地說是粒子在空間中存在的幾率分布狀態由波函數模的平方來決定。粒子運動狀態不變是指波函數模的平方不變，所以這相當于對波函數作一個幺正變換，而幺正變換的概念學生在量子力學先前的課程中一般都學習過。幺正變換對應一個幺正變換算符。

參考文獻：

[1]周世勛.量子力學教程[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]喀興林.高等量子力學[M].北京：高等教育出版社，2001.