淺談數(shù)學(xué)猜想在教學(xué)中的價值

羅曉雪

摘 要：數(shù)學(xué)猜想是根據(jù)某些已知的事實材料和數(shù)學(xué)知識，以已有的數(shù)學(xué)理論和方法為指導(dǎo)，對某些特定的數(shù)學(xué)對象及其關(guān)系作出的一種猜測性的論斷。數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)研究常用的一種方法，又是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種重要形式。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)猜想；學(xué)生學(xué)習(xí)；教師教學(xué)；價值

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中要求：“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。”同時提出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，有利于學(xué)生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動。動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”本文就談?wù)剶?shù)學(xué)猜想對學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的價值。

一、有利于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的正確途徑是實現(xiàn)學(xué)生的“再創(chuàng)造”，也就是學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己“發(fā)現(xiàn)”或“創(chuàng)造”出來，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進行這種創(chuàng)造性活動。因此在教學(xué)過程中，要實現(xiàn)學(xué)生的“再創(chuàng)造”，就必須重視數(shù)學(xué)猜想法，引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)想、類比、歸納等方法，對待解問題的思路進行大膽探索、猜想，從而迅速獲得最佳解題方案。

例，求

這里我們發(fā)現(xiàn)直接開方求解比較困難，但這時我們可以提醒學(xué)生注意到這里的n是個一般的自然數(shù)，因此可以讓n從小變大，并注意到要開方，就與因數(shù)分解有關(guān)，觀察11-2=32，1111-22=332，依此類推，學(xué)生就很容易猜想到，通過這樣的猜想，這道題便很容易求解了。學(xué)生最后可得出

從上面的例子我們可以看出，猜想這種思維方式在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有強大的作用，學(xué)生收獲的不僅是該題的解決方法，而且還學(xué)到了解決這一類型問題的方法。因此教師要不失時機地培養(yǎng)學(xué)生這種思維能力，這樣有利于提高學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題的能力。

二、有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，猜想作為一種手段，目的是為了驗證猜想是否正確，從而使學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)的過程，使學(xué)生主動地獲取知識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

對于我們所熟悉的勾股定理：“在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。”從不同角度來理解此定理，并沿不同方向?qū)⑵湟话慊岢霾孪氩⒆C明其正確的派生命題至少有以下幾個：

（1）余弦定理（將直角三角形推廣到一般三角形）。

（2）托勒密定理（兩全等直角三角形可構(gòu)成長方形，也可將長方形推廣到圓內(nèi)切四邊形）。

（3）平行四邊形兩對角線平方和等于其四邊平方和（由矩形推廣到平行四邊形）。

（4）分別以直角三角形三邊a、b、c為一邊，向外作三相似形，其面積分別為Sa、Sb、Sc，則Sa+Sb=Sc（由三個正方形推廣到任意三個相似形）。

（5）在任意n維空間，向量的長度為：（由二維平面推廣到n維空間）。

（6）直角四面體勾股定理：在四面體O—ABC中，O—ABC是直三面角，與O、A、B、C之頂點相對的三角形面積分別為：SO、Sa、Sb、Sc，則SO2=Sa2+Sb2+Sc2。

從這個例子我們看到，將已知命題一般化提出猜想，常可得到新定理，這時學(xué)習(xí)一個定理已不僅僅局限于一個命題而可能得到一個命題群。這種思維是開放的，思維結(jié)果具有創(chuàng)新性，這正是創(chuàng)造性思維的特點，學(xué)生也能從這種猜想中培養(yǎng)自己的創(chuàng)造性思維。

三、有利于教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

猜想最常運用于對新知識的探索起步階段，因為這個階段的猜想可以激活學(xué)生的思維，有利于架起已知與未知的橋梁，更有利于學(xué)生積極主動培養(yǎng)自己的猜想意識，也是教師培養(yǎng)學(xué)生進行知識再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的良好開端。學(xué)生的合理猜想中融合了直覺思維、聯(lián)想等要素，是較復(fù)雜的思維過程，讓學(xué)生根據(jù)已有的知識或直覺進行猜想，既能調(diào)動學(xué)生的各種思維能力，在猜想的過程中更好地獲取知識，又能展現(xiàn)他們的創(chuàng)新才智，提高他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

例如高中課程中關(guān)于立方和公式的猜想，求13+23+33+…+n3的和。

分析：該數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，因此學(xué)生對這種求和沒有頭緒，認(rèn)為該題很難。這時老師可以提醒學(xué)生用猜想的方法，先寫出兩個數(shù)和三個數(shù)的和，如：

13+23=1+8=9=32=（1+2）2

13+23+33=1+8+27=36=62=（1+2+3）2

這時引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩個式子的規(guī)律，而后鼓勵學(xué)生再寫出四個數(shù)和五個數(shù)的式子，總結(jié)出一般規(guī)律猜想出n個數(shù)的和。學(xué)生此時就有了頭緒，接著就想到：

13+23+33+43=1+8+27+64=100=102=（1+2+3+4）2

13+23+33+43+53=1+8+27+64+125=152=（1+2+3+4+5）2

……

最后猜想出13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=。

學(xué)生猜想完后，老師給予嚴(yán)格的證明，證明這個式子是正確的。此時，學(xué)生從猜想中得到式子13+23+33+…+n3的和，而且發(fā)現(xiàn)這個復(fù)雜的式子的和并沒有想象中的復(fù)雜，自己也能得出來，心理上得到極大的滿足，同時也增強了自信心，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

因此，正確地引導(dǎo)學(xué)生進行適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)猜想，不僅可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，也能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。對于教師的教學(xué)來說，在創(chuàng)設(shè)問題情境這一環(huán)節(jié)加入符合本節(jié)課內(nèi)容的猜想，能起到一個很好的引入作用，讓學(xué)生對本節(jié)課充滿期待，更有興趣學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容。

編輯 郭小琴