求解平面向量數(shù)量積的三種方法

謝偉杰

摘 要 梅州市高一數(shù)學(xué)質(zhì)量抽測(cè)題第11題是一道關(guān)于平面向量數(shù)量積的考題，這道考題引起了筆者的注意。此題很好地考察了學(xué)生對(duì)數(shù)量積概念的理解，也能很好地考察學(xué)生對(duì)求解平面向量數(shù)量積的方法是否掌握到位。

關(guān)鍵詞 平面向量數(shù)量積；解法

中圖分類號(hào)：O241.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018） 34-0211-01

做題中的“少運(yùn)算”是建立在對(duì)基本概念理解的基礎(chǔ)之上的，學(xué)生只有對(duì)相關(guān)的概念、性質(zhì)有深刻的理解，而不是純粹的記公式或套方法，才能在做題中真正實(shí)現(xiàn)“多思考，少運(yùn)算”。教師在教學(xué)中，要幫助學(xué)生去認(rèn)識(shí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的核心及實(shí)質(zhì)，而不是認(rèn)為學(xué)生只要能記住相關(guān)的公式或會(huì)套用某類方法解題就行，否則，在具體的問(wèn)題情境中，學(xué)生極容易在公式與計(jì)算中迷失，從而找不到解決問(wèn)題的有效途徑。

一、原題呈現(xiàn)

已知 是邊長(zhǎng)為 的等邊三角形，點(diǎn) ， 分別是邊 ， 的中點(diǎn)，連接 并延長(zhǎng)到點(diǎn) ，使得 ，則 的值為 （ ）

二、解法展示與對(duì)比

解法一：如圖1，

解法二：如圖2，以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為 軸正方向，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。則 ， ，

解法三：如圖3，點(diǎn) 在 上的投影為點(diǎn) ，作點(diǎn) 在 上的投影 ，則 在 是的投影為 ，由向量數(shù)量積的含義可知 ，易得 與 相似，所以 ，又 ，所以 ，即 . 故

作為選擇題，解法三有明顯的優(yōu)點(diǎn)，即我們只需將 在 上的投影 作出，對(duì)圖中線段 的長(zhǎng)度作大致估計(jì)，就可迅速判斷只有 選項(xiàng)才是合理的。筆者認(rèn)為這樣并不是投機(jī)取巧，恰恰相反，在考場(chǎng)上會(huì)做這樣的思考，并采取此策略的學(xué)生，說(shuō)明該生對(duì)數(shù)量積的概念有更深刻的理解，并有更好的思維能力。這與高考命題中所提倡的“多思考，少運(yùn)算”的理念也是一致的。