基于MATLAB的電場空間分布可視化教學研究

莫 增 崔春雨

(陸軍軍醫(yī)大學基礎醫(yī)學院 重慶 400038)

史書杰

(中國解放軍76146部隊 廣西 桂林 541500)

1 引言

物理學是高等院校理工類專業(yè)的一門必修基礎課， 其中電磁學是其重要的組成部分. 由于電場分布不能被直接觀察，電場的概念十分抽象、難以理解，怎樣形象地描繪出電場矢量對于學生而言一直是個難題.因此，在電場的學習中不僅要求學生具有較高的邏輯思維能力和空間想象力，還要求教師會借助計算機等輔助工具進行三維構圖將電場線等描繪出來，便于學生更直觀地理解電場矢量的相關理論.

隨著計算機技術的廣泛應用，具有高效、可視化等優(yōu)點的科學計算軟件MATLAB近些年來廣為流行，把它應用到電場教學中可將抽象的場可視化，可以使抽象的電磁場分布更加形象，從而幫助學生更好地理解場的概念和性質(zhì)[1].利用MATLAB的圖形功能繪制矢量線(電場線)和等勢線等，可以幫助學生更好地理解抽象的場[2].下面通過幾個典型的例子介紹MATLAB計算軟件在電場課程教學中的應用，使學生更加直觀地理解電場的性質(zhì).

2 MATLAB建模

2.1 一對點電荷在二維平面內(nèi)電勢和電場強度分布

設電荷量分別為q1和q2的一對點電荷位于坐標軸的正反兩個方向,與原點的距離都為a,應用電磁場理論可以求出這對點電荷在空間任一點產(chǎn)生的電勢U以及電場強度E.

應用MATLAB編程，在GUI界面輸入這對點電荷的電荷量以及電荷間距，即可以得到電場及等勢面分布圖,如圖1(a)所示.其中：箭頭方向表示電場強度矢量線，閉合曲線表示等勢線，等勢線的疏密程度可表示電場強度大小.

通過圖1(a)可以得出二維平面上任一點的電勢和電場強度.距離正點電荷近的位置電勢高，距離負點電荷近的位置電勢低.

為了直觀地描繪一對電荷所在平面內(nèi)的電場強度大小，通過MATLAB編程，采用surf函數(shù)繪圖可以得到電場強度在平面內(nèi)的分布狀況,如圖1(b)所示.

圖1 平面內(nèi)點電荷電場強度和等勢面分布

特殊地，當q1+q2=0時，為電偶極子的電場分布.

2.2 均勻帶電球殼在二維平面內(nèi)電勢和電場強度分布

設電荷量為Q的均勻帶電球殼圓心為O，半徑為R,應用電磁場理論可以求出均勻帶電球殼在空間任一點產(chǎn)生的電勢以及電場強度.由于均勻帶電球殼電荷分布具有球?qū)ΨQ性,所激發(fā)的電場也是球?qū)ΨQ的，所以用高斯定理比較簡單.設與球心距離為r的球面上電場強度大小為E，電勢為U.

根據(jù)高斯定理

取無窮遠處的電勢為零，取一條從P1開始的電場線作為微積分路徑，如圖2(a)所示，則P1的電勢為

r=R時，球殼外表面的電勢為

取一條從P2開始的電場線作為積分路徑，如圖2(b)所示，則P2的電勢為

圖2 均勻帶電球殼的電場在空間的分布

應用MATLAB編程，在GUI界面輸入均勻帶電球殼的半徑，即可以得到電場及等勢面分布圖,如圖3(a)所示.其中箭頭方向表示電場強度矢量線，閉合曲線表示等勢線，除等勢線的疏密程度之外，箭頭的長短也可表示電場強度大小.

通過圖3(a)可以得出二維平面上任一點的電勢和電場強度.截面上的電場和電勢分布可以用來表示球殼的電場特征量.球殼表面及其內(nèi)部電勢處處相等，而球殼以外的電勢變化與球殼的電性有關，若球殼帶正電，則從球殼沿電場線往外電勢逐漸降低，若球殼帶負電，則從球殼沿電場線往外電勢逐漸升高[3].

為了直觀地描繪均勻帶電球殼截面所在平面內(nèi)的電場強度大小，通過MATLAB編程，采用三維建模的方法可以得到電場強度在平面內(nèi)的分布狀況，如圖3(b)所示.

圖3 平面內(nèi)帶電球殼電場強度和等勢面分布

2.3 三維空間內(nèi)均勻帶電圓環(huán)的電場強度分布

設線電荷密度為ρ的均勻帶電圓環(huán)圓心為O，半徑為a，R為A和B點之間的距離，應用電磁場理論可以求出均勻帶電圓環(huán)在空間任一點產(chǎn)生的電場強度E[4].

圓環(huán)上一點電荷元產(chǎn)生的電勢

式中

如圖4所示，取A點的坐標為(x,y,z)，B點的坐標為(x1,y1,z1)，則有如下式

x1=acosθy1=asinθz1=0

則

可得出任一點的電勢

圖4 均勻帶電圓環(huán)的電場在空間的分布

應用MATLAB編程，通過GUI界面輸入圓環(huán)半徑以及截面半徑，即可以得到電場強度分布圖,如圖5所示[5].其中：箭頭方向表示電場強度矢量線，其疏密程度表示電場強度的大小.通過圖5可以得出三維空間內(nèi)任一點的電場強度.從圓環(huán)中心沿圓環(huán)軸線向外，電場強度先增大后減小[6].

圖5 均勻帶電圓環(huán)的電場強度分布圖

2.4 三維空間內(nèi)均勻帶電桿及其復合體的電場強度分布

如圖6所示，設均勻帶電桿AB的線電荷密度為λ，由庫侖定律可知C點的電場

(1)

利用圖6中的微元關系dlsinα=rdα可以求得

(2)

(3)`

圖6 有限長均勻帶電細桿的電場疊加

對上面的微分表達式在線段AB上積分即可求得帶電細桿AB在點C處的電場強度表達式

(4)

(5)

建立如圖7所示的三維直角坐標系，取平行于水平邊向右為y軸正方向，垂直于紙面向外的方向為x軸的正方向，z軸垂直于xy平面向上.設帶電桿長為2l，位置與y軸重合并關于xOz平面對稱，場點P的坐標為(x,y,z)，其中

(6)

l1=l+y

(7)

l2=l-y

(8)

圖7 均勻帶電桿的電場在空間的分布

將式(6)、式(7)和式(8)代入式(4)和式(5)可得帶電桿AB在C點產(chǎn)生的場強在y方向和zx方向的分量分別為

(9)

(10)

由此可知此時帶電桿AB的電場在x和z方向的分布表達式

(11)

(12)

應用MATLAB編程，在GUI界面輸入帶電桿的長度，即可以得到電場分布圖(圖8).黃色線表示均勻帶電桿及其復合體，藍色線表示電場強度矢量線[黃色、藍色在圖(a)中已標示出，圖(b)、(c)、(d)與(a)相同].

圖8 三維空間內(nèi)帶電桿及帶電桿復合體電場分布

通過圖8可以得出三維空間內(nèi)任一點的電場強度.當帶電桿帶正電荷時，距離帶電桿近的位置電勢高，距離帶電桿遠的位置電勢低，當帶電桿帶負電荷時，距離帶電桿近的位置電勢低，距離帶電桿遠的位置電勢高.

圖8從單桿模型推廣到多桿模型乃至四棱錐和四棱柱，使分析帶電桿復合體甚至不規(guī)則復雜帶電體的電場分布成為可能.

最后，我們制作了電場模擬程序的圖形化界面(圖9).通過改變物理模型的特征值，例如點電荷距離、帶電體長度等參數(shù)，可以改變電場演示效果，增強教學應用的靈活性.

圖9 程序界面

3 結束語

本文采用MATLAB進行電磁場可視化教學，避免了繁瑣的數(shù)學計算，結合具體事例，著重介紹MATLAB繪制電場強度分布圖的應用，將抽象的場形象、具體化，可有效地幫助學生更好地理解和掌握電磁場概念和性質(zhì)，幫助教師改善電磁場章節(jié)的教學效果，為電磁學的教學研究開辟一條新的途徑.