碰撞在質心系中遵循的普遍規律

翟 爽

(北京市日壇中學 北京 100020)

在地面參考系中，多個質點相互作用時的運動規律是比較復雜的.例如：對于不同條件下的兩體碰撞問題，我們需要對碰撞前后的動量和機械能進行分析，通過復雜的計算來判斷碰撞前后物體運動的變化情況.本文從質心系中看問題，發現兩體碰撞前后，物體的速度及動量變化遵循非常簡單的規律.

1 引入質心系

如圖1所示，空間有兩個質點1和2.根據牛頓第二定律和牛頓第三定律知：在不受其他外力情況下，兩個物體相互作用時，普遍遵循如下的方程

(1)

(2)

圖1 空間兩質點相互作用

將式(1)和式(2)相加得

(3)

上式可以變形為

(4)

如果把這個方程看作是某個質點的運動方程，并稱這個特殊的質點為質心,如圖2中的c,則這個質點的質量mc和位置rc分別為

mc=m1+m2

(5)

(6)

即質心的質量為兩個質點的質量之和，質心的位置為兩個質點的“平均位置”.

圖2 引入質心

若m1=m2，則

質心在兩質點正中間；當m1>m2時， 質心的位置離質點1比較近，當m1

把兩個質點看成一個整體，當這個質點組不受外力，只有兩個質點之間的內力相互作用時，無論是碰撞前、碰撞后或者是碰撞的過程中，式(4)恒成立.即無論兩個質點之間碰撞的內力多么復雜，質心總是保持靜止或者勻速直線運動狀態.

2 從質心系中看兩體碰撞

2.1 從質心系中看兩體的位置

質點1相對于質心c的位置r1c為

r1c=r1-rc=

(7)

質點2相對于質心c的位置r2c為

r2c=r2-rc=

(8)

可以看出矢量r1c與r2c互相平行，這說明質心是處于兩個質點的連線上,如圖3所示.兩個矢量的長度之比為

即質心到質點1，2的距離與質點1，2的質量成反比.且質心相對于質點1，2的位置不會因為坐標系的選取不同而不同.

圖3 位置關系

2.2 從質心系中看碰撞前后的速度變化規律

由于質點組不受其他外力，只有兩個質點之間的內力相互作用，由式(4)可知：質心總是保持靜止或者勻速直線運動狀態，即質心處于平衡狀態.

若將直角坐標系的坐標原點選取在質心上，即以質心為參考系(簡稱質心系)，那么這個參考系為慣性參考系.

設碰撞前質點1和2相對于地面的速度分別為

碰撞后質點1和2相對于地面的速度分別為u1,u2.根據動量守恒關系，有

m1v1+m2v2=m1u1+m2u2

(9)

牛頓根據碰撞過程中動能的損失情況，引入了恢復系數e，其定義為

(10)

實驗測量表明，恢復系數的值處于0和1之間[1].當e=0時，碰撞后的動能損失最大，稱為完全非彈性碰撞；當e=1時，碰撞后的動能沒有損失，稱為彈性碰撞.由式(9)和式(10)得到碰撞后的速度為

(11)

(12)

將式(7)和式(8)對時間求導得到碰撞前質點1和2相對于質心的速度v1c和v2c,即

設碰撞后質點1和2相對于質心的速度為u1c和u2c，則

當e=0時，u1c=u2c=0,即碰撞后的質點1和2相對于質心系的速度為零，說明碰撞后兩個質點粘在一起，且相對質心靜止.

當e=1時，u1c=-v1c，u2c=-v2c，這表明在質心系中去觀測兩體的彈性碰撞，兩質點在碰撞前后相對于質心c的速度大小相等，方向相反.

此外，因為質心系中彈性碰撞前后質點的速度大小不變，所以質點的動能也保持不變.

2.3 從質心系中看碰撞前后的動量變化規律

碰撞前，質點1和質點2相對于質心的動量為

可以看出m1v1c=-m2v2c，這說明在碰撞前，從質心系中觀測質點1和2的動量是大小相等方向相反的，兩者之和為零.

碰撞后，質點1和質點2相對于質心的動量為

對于完全非彈性碰撞，e=0時,有

m1u1c=m2u2c=0

即兩質點都靜止在質心處，兩者之和為零.

對于彈性碰撞，e=1時，有

m1u1c=-m2u2c

即從質心系中觀測質點1和2的動量，還是大小相等方向相反，兩者之和為零.且m1u1c=m2v2c，m2u2c=m1v1c，這說明質心系中碰撞的兩個物體，碰撞的效果是兩個物體的動量進行交換.

3 結束語

從質心系中看兩體發生完全非彈性碰撞，碰后兩物體都將靜止在質心處.從質心系中看兩體發生彈性碰撞，遵循如下規律：

(1)從質心系中觀測兩個物體碰撞前后的速度時，其大小均不變，但是方向變為反向.

(2)從質心系中觀測兩個物體的動量時，碰撞前后總動量始終為零，且碰撞的效果是兩個物體的動量互換.

(3)從質心系中觀測兩個物體的動能時，碰撞前后，兩個物體的動能均不變.