“近似法”在簡諧運動中的應用

彭愛國 彭宇琪

(武漢市第三中學 湖北 武漢 430050)

在高中物理競賽中經常出現要近似處理的試題，特別是在證明簡諧運動中經常出現.由于很多學生不熟悉“代數近似”的公式,不能靈活應用“小量近似”，從而不能突破問題的瓶頸，致使問題無法正確求解.近似處理通常有代數近似和幾何近似這兩種方法，本文以第34屆全國中學生物理競賽預賽第16題為例談談代數近似法和幾何近似法在具體問題中的應用.

【題目】如圖1所示，兩勁度系數均為κ的同樣的輕彈性繩的上端固定在一水平面上，下端懸掛一質量為m的小物塊.平衡時，輕彈性繩與水平面的夾角為α0，彈性繩長度為l0．現將小物塊向下拉一段微小的距離后從靜止釋放.

(1)證明小物塊做簡諧振動；

(2)若κ=0.50 N/m,m=50 g,α0=30°,l0=2.0 m，重力加速度g=9.8 m/s2，求小物塊做簡諧振動的周期T；

圖1 題圖

方法1：代數近似法

解：(1)取小物塊的平衡位置為原點O，y軸的正方向豎直向下，如圖2所示.

圖2 方法1分析圖

由牛頓第二定律可知

ma=mg-2κ(l-L)sinα

(1)

式中a為物塊的加速度，L為彈性繩的原長,l和α分別為物塊離開平衡位置的位移為y時彈性繩的長度和彈性繩與水平面的夾角.

由幾何關系得

(2)

(3)

d=l0cosα0

(4)

式(4)代入式(2)展開，化簡得

由于y是小量，y2是二階小量，可略去.得

l=l0+ysinα0

(5)

將式(5)代入式(3)，得

忽略y2項，得

l0sinα=l0sinα0+ycos2α0

即

(6)

當小物塊處在平衡位置時有

mg=2κ(l0-L)sinα0

即

(7)

式(5)、(6)、(7)代入式(1)，消去l，L，sinα，得

ma=mg-

略去y2項

由簡諧運動的特征方程知F回=-Ky，所以

因此，當y很小時，小物塊做簡諧運動.

(2)小物塊做簡諧運動的周期為

(8)

將題給數據代入式(8)得T=1.8 s.

(3)因將小物塊拉開距離y0=0.010 m 時從靜止松手，故小物塊做簡諧振動的振幅A=0.010 m.

初始時，小物塊速度為零，小物塊位于最大位移處，其初相位為

φ0=0

(9)

圓頻率為

故在國際單位制中，小物塊做簡諧振動的方程為

y=0.010cos(3.5t)

方法2：幾何近似法

解：(1)如圖3所示，過O作OC⊥AO′,交AO′于點C,因y極小,所以∠OAC極小, 所以∠AOC≈90°，即∠COO′≈α0，則有

l=l0+ysinα0

圖3 方法2分析圖

當小物塊處在平衡位置時有

mg=2κ(l0-L)sinα0

即

取豎直向下為正方向，當物塊離開平衡位置一微小位移y時，則回復力

F回=mg-2κ(l-L)sinα

將l,sinα,L代入上式得

分子中忽略y2項,分母中忽略y項,得

所以小物塊做簡諧運動.

(2)、(3)問同上.

此題方法1用代數近似法，過程比較繁難，對學生的數學能力要求較高,一般學生不容易推導出簡諧運動的特征方程F回=-Ky，但用幾何近似法則省去了大量的代數推導，只用到最基本的小量近似就可得到簡諧運動特征方程.所以,對這類問題，我們應優先考慮幾何近似法.