梁變形特殊求解方法綜述

宋 江 馬亮亮

（重慶大學， 重慶 401331）

梁是土木工程結構中的一個重要構件，梁承受著多種形式的荷載，于是，對梁的研究就很有必要。目前，研究梁的變形的方法主要有積分法和疊加法，這是廣大結構工程師最熟悉的方法，這兩種方法的應用非常廣泛。除此之外，研究人員根據理論分析和試驗檢驗，也提出了其他的解決梁變形的方法。這些方法主要有：傳遞矩陣法[1]，能量法[2]，等效剛度法[3]，奇異函數法[4]，曲線擬合法[5]，懸臂梁法[6]。這些方法都有各自的優缺點，本文將主要介紹這些求解梁變形的特殊方法的原理以及算例分析。此外，隨著計算機技術的不斷發展，計算機技術已經滲透到各個學科之中，土木工程也不例外。因此，本文還將就計算機技術在梁變形中的應用提出展望，以期能豐富梁變形方面的研究。

1 梁變形特殊求解方法

目前，研究梁變形的方法主要有兩種，即疊加法和積分法，這兩種方法應用很廣泛，然而，許多學者也提出了其他的關于梁變形的求解方法，下面，本文將依次介紹傳遞矩陣法，能量法，等效剛度法，曲線擬合法以及懸臂梁法這五種求解梁變形的方法。

1.1 傳遞矩陣法

1.1.1. 傳遞矩陣法的基本原理

圖1 任意段等截面梁

在多段梁中，取任意的 ij段等截面梁，其抗彎剛度為EI，如圖1所示，其中 i端的位移分量為 Vi和iθ，內力分量為Mi和iQ,載荷集度為 qi； j端的位移分量為 Vj和 jθ,內力分量為Mj和Qj,載荷集度為 qj,分布載荷在梁段內為線性分布。各量的正、負號規定與通常的規定相同,圖中所示的均為正。梁段內的彎矩方程[7]為:

在線彈性小變形的情況下，有：

如果梁段內沒有分布荷載，（8）式可寫為：

1.2 能量法

在工程結構分析中經常需要計算結構和構件的變形。使用一般的方法進行變形計算時，需要分析結構和構件的具體變形形式，計算量非常大。因此工程上通常采用能量原理完成結構和構件的變形分析。本文主要討論的是莫爾定理，又稱為單位荷載法。

1.1.2. 莫爾定理的推證

以下通過應變能概念推導莫爾定理。為了簡化推證過程，以簡支梁彎曲變形為例說明莫爾積分的基本概念。然后根據功能原理，推廣到任意的桿系結構。

假設簡支梁在任意荷載作用下，如圖 3 所示，其彎矩方程為 M( x)，應變能為

式（14）為莫爾定理（Mohr’s theorem）的表達式.由于施加了廣義單位力，故又稱為單位力

法（Unit-load method）.

對于組合變形桿件，略去剪力對變形的影響，莫爾定理的一般表達式為：

圖2 任意荷載作用下的簡支梁

1.3 曲線擬合法

本節從數學的角度出發,采用光滑曲線對梁的撓曲線進行擬合,根據梁上載荷作用面及支座處撓度各階導數的物理性質和邊界條件、連續條件求出擬合曲線的系數,從而得到撓曲線的數學方程。計算過程中不必寫出梁的彎矩方程,且可以直接求解超靜定梁的變形。

1.1.3. 曲線擬合法的基本原理

梁的撓曲線是一條光滑曲線，由積分法可知，在均布載荷作用下，撓曲線為四次曲線；在集中載荷作用下為

1.4 懸臂梁法

展望

本文所有的方法都是基于簡單梁進行綜述的，對于結構復雜，受力復雜的梁，僅僅依賴材料力學和理論力學的基本知識已經無法解決。當前計算機技術飛速發展，已經融入了各行各業，土木工程也不例外，計算機技術與土木工程的結合促使了有限元方法的巨大進步。對于復雜的梁的研究基本上都是基于有限元方法的。曾森等利用位移矢量插值法對空間曲梁的大變形進行了有限元分析[8]。朱寶田等利用空間扭曲梁有限元方法對汽輪機長葉片的動力和靜力特性進行了研究[9]。

陶榮杰等對連續墻梁進行了有限元分析并且提出了簡化計算的方法[10]。

宋子威等對鐵路通用的B型梁進行了有限元分析，計算了自重和中-活載作用及荷載組合下的位移和應力、梁體的自振特性【11】。Rogério Carrazedo等討論了層壓板和殼體的有限元解決方案【12】。以上的學者補充了對各種復雜梁的有限元分析研究，未來，隨著有限元的進一步發展，可以期望新的梁的有限元研究成果會越來越多。