以學定教，初中數學復習課如何做到“以線串珠”

周明劍

【摘要】如果說新授課是“育樹”，那么復習課就是“育林”，上好復習課，對學生系統學好數學，發展思維能力，是極為重要的.一節好的數學復習課它的上課形式、操作方法都與新授課有著鮮明的不同之處.數學復習課是要在對平時教學中點狀、零散的知識需要系統化，成為線狀、網狀，以及解題的數學思想、方法和技巧進行相互聯系，從而使一堂課顯得有條有理、環環相扣，而且重點突出、精彩紛呈，進而使目標能順利達成.

【關健詞】數學復習課 課堂主線 變式 基本圖形 數學思想

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018） 11-0295-02

從筆者參加的一些課堂教學活動來看，由“點”“串線”，由“線”及“面”的一種教學模式已成為時下課堂教學設計的主流.這里所說的“點”是教學環節的節點，而所謂的“線”，即是教學的主線，指的是圍繞教學重難點設計的貫穿課堂首尾的課堂教學.現在的一些展示課以及一些比賽的課堂教學大多數都有一條十分清晰的主線.課堂中清晰的教學主線使一堂課顯得有條有理、環環相扣，而且重點突出、精彩紛呈，進而使知識與技能、過程與方法、情感與態度等這些“面”上的目標能順利達成.那么初中數學復習課的設計如何做到“以線串珠”呢？在此筆者根據自己課堂教學實踐和參的一些教研活動所見所聞，談點膚淺認識，與同行們進行共同探討.

一、用“變式”為主線來復習，引人入勝

常規性數學教學模式千遍一律.若能根據復習目標對一道題目進行變化，使之形成一系列的變式，以這些變式為主線來設計整節課，必能給人一種耳目一新的感覺，而且變式的練習更有利于培養學生的創新思維和拓展能力，提高其對知識舉一反三，獨立運用的能力.這些由淺入深的變式再加上教師精彩的講解必能讓學生在折服中感受到數學的魅力.這未嘗不是一種教學方式方法的大膽推進.

【案例1】浙教版七（下）第一章 全等三角形復習：

引題：已知：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，請你判斷AD與BC的位置關系，并說明理由.解答過程如下，請你填空.

解：在△ABC與△________中

∴∠___________=∠___________ （ ）

∴ AD∥BC （內錯角相等，兩直線平行）

變式1.把引例中的四邊形ABCD沿對角線AC剪開，并把得到的兩三角形拼成如下圖形：

如圖2，已知AB=FD，∠B=∠FDE，添加下列條件能判定△ABC≌△FDE嗎？能的請說出判定的依據，不能的請說明理由.

①∠A=∠F（ ）②∠ACB=∠FED（ ）③AC=FE（ ）④BC=DE（ ）

變式2.由圖3把△DEF作翻折平移變換后得圖3，已知AC=DB，∠ACB=∠DBC，

則有△ABC≌△_______，理由是_______________，且有∠ABC=∠_______，AB=________.

變式3.由圖4把△BCD作兩次翻折變換后得圖4，已知BC平分∠ACD，AC=CD，請問BC還平分∠ABD嗎？為什么？

這節課以一個平行四邊形沿對角線剪開后得到兩個三角形進行不斷變換為主線，設計自然清晰，過程流暢.整節課看似由一道引題變化而來，但每個變式的設計卻各有用意，且詳略得當，梯度明顯，囊括了全等三角形知識點的方方面面，既讓學生掌握了知識，又使學生體會到了數學的變化美.此節課教學主線的創設對教學目標的達成起了主要的作用.

二、以“基本圖形”為主線來復習，提煉模型

數學題量，題山題海，多如牛毛，時間和精力都不允許我們一一去做.題型錯綜復雜，千變萬化，變化莫測，雖不能一板三眼，千篇一律，但千變萬化，萬變不離其中，真正基本概念駁清了，變成一個個知識板塊，其本質屬性理解透徹，就能收到舉一反三，融會貫通的效果.所以，在學習幾何說理表達規范的同時，初步感知從復雜圖形中區分出基本圖形的分解與組合思想；有利于鼓勵學生逐步積累有關發現、敘述、總結數學規律的經驗.

【案例2】浙教版八（上）第二章 等腰三角形復習片段：

1.基本圖形：課本P30例題2，如圖1，BD是等腰△ABC的底邊AC上的高，DE∥BC，交AB于點E，判斷△BDE是不是等腰三角形，并說明理由.

抽象出圖中的基本圖形，即BD平分∠ABC（角平分），

DE∥BC（線平行），∠2=∠3（形等腰） 歸納：角平分，線平行，形等腰.

2.直接應用基本圖形：如圖2，在△ABC中，AB≠AC，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F.過點F作DE//BC，交AB于點D，交AC于點E.

（1）試寫出圖中所有的等腰三角形；

（2）在（1）中選取一個結論說明理由；

（3）若BD=3，DE=8，則線段CE的長.

3.間接應用基本圖形：如圖3，一張長方形紙片ABCD，沿對角線AC折疊，AB'交CD于E點，且AB=4cm，BC=3cm，則△B'CE的面積等于 ；

4.“基本圖形”的“變形”

如圖4，若OC平分∠AOB，且DE∥OC，交OA于點E，判斷△ODE是不是等腰三角形，并說明理由.

5.基本圖形變形后的直接應用：如圖5，在△ABC中，AD為外角∠EAC的平分線，且AD∥BC，求證：△ABC為等腰三角形.

這節課以 “角平分，線平行，形等腰”基本圖形為主線，不斷變換題型，設計流暢，但每個變式的設計都在圍繞“角平分，線平行，形等腰”這個基本圖形，且梯度得當，復習了等腰三角形的性質知識點的方方面面，這樣讓學生掌握了知識的同時又使學生體會到了數學的變化美.此節課教學主線的創設對教學目標的達成起了主要的作用.

許多幾何題目都是從一個“基本圖形”演變過來的，其思維方式和所運用的知識完全相同.如果不掌握它們之間的內在聯系，就題論題，那么遇上形式稍為變化的題，便束手無策，教師在講解中，應該引導學生對有代表性的問題進行靈活變換，使之觸類旁通，培養學生的應變能力，提高學生的技能技巧.

三、用“相關聯的情景”為主線來復習，步步為營

【案例3】浙教版八（上）第四章《樣本與數據分析初步》

在日常生活中，我們經常會碰到統計量的選擇和應用，合理地選擇平均數、眾數、中位數、方差、標準差這些統計量來進行決策，是這節課復習的重點.

1.復習總體、個體、樣本、樣本容量

例1.小李就讀于某大學旅游管理專業，大學快畢業了，為了找到一份不錯的工作，他想了解某市所有旅游公司的業績情況，他抽查了10家旅游公司的業績進行了解情況.

請問：該問題中的總體、個體、樣本、樣本容量分別是什么？

2.復習平均數、眾數、中位數的選擇與應用

例2.小李了解完這10家旅游公司的業績情況后，到一家業績比較不錯的旅游公司去應聘，經理說：“我這里報酬不錯，月平均工資2500元”.小李覺得還不錯就和這家旅游公司簽訂了一年的合同后就開始實習了，一段時間后，小李找到經理說：“你欺騙我，我問過其他員工，沒有一個員工的工資超過2500元的.”經理說：“月平均工資確定是2500元，不信你看工資報表.”

（1）請大家仔細觀察表中的數據，討論該旅游公司員工的月平均工資是多少？經理是否欺騙了小李？

（2）平均工資能否客觀地反映員工的實際收入？

（3）你認為用什么數據反映該公司的職工中等收入？

（4）你認為用什么數據反映一般技術員的實際收入？

3.復習方差、標準差的選擇和應用

例3.小李在這家工廠工作了2年后，有了一定的積蓄，他的兩個大學同學自主創業，各自開了一家網店，生意都做得不錯，都想邀請他投資入股.小李考察了這兩家網店，前5個月這兩家網店的凈利潤如下表所示：（千元）

你幫小李分析一下，應投資在哪一家好些？

結論：方差、標準差是描述一組數據離散程度的統計量.在在解決實際問題時，我們不僅僅要關注數據的集中程度，也要關注數據的離散程度.在關注數據穩定不穩定時，要關注方差、標準差.

這節復習課以創設相關聯的問題情景作為主線來組織復習內容，能激發學生的興趣，同時利用相關聯的問題情景，來組織復習所有內容比較巧妙.

四、以“數學思想”為主線來復習.

培養初中生的數學思想方法，會有效地激發了學生的學習興趣，充分調動了學生學習積極性和主動性，能使學生的認知結構不斷地完善和發展，使學生將已有的思想方法運用在學習新知識的過程中，能夠把復雜問題轉化為簡單問題來解決，提高學習效益，提高學生分析問題和解決問題的能力.而復習課是滲透數學思想的很好的機會，所以能用數學思想為主線的內容，盡量用數學思想為主線來復習.

【案例4】浙教版八（上）第二章 特殊三角形復習片段

1.一個三角形的一邊長為3厘米，另一邊的長為4厘米，

（1）若這個三角形是等腰三角形，則它的周長是_________厘米.

變式：若等腰三角形的兩邊長改為2厘米和4厘米，此時三角形的周長又為多少？

（2）若這個三角形是直角三角形，則它的周長是_________厘米.

2.若有一個內角為80°，則底角為多少？（按角的分類進行討論）

變式1.等腰三角形有一個內角為100°，則底角為多少？（按角的分類進行討論）

變式2.若有一個外角為80°，則底角為多少？ （按角的分類進行討論）

變式3.若有一個外角為100°，則底角為多少？ （按角的分類進行討論）

3.找等腰三角形

（1）如圖1，A、B兩點是等腰三角形的兩個頂點，請在格點上找到第三個頂點C.（按頂點進行分類討論）

（2）如圖2正方形上給定8個點，能構成多少個等腰三角形？（按頂點進行分類討論）

（3）如圖3，線段OD的一個端點O在直線a上，以OD為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直線a上，這樣的等腰三角形能畫多少個？ （按OD為腰和底邊進行分類討論）

這節復習課以數學思想為主線來組織復習內容，因為這節課的最大特點就是數學的分類思想，有邊的分類，有角的分類。因此以數學思想為主線來組織復習內容比較科學.

目前，主線式設計模式已成為課堂教學設計的主流，教學的主線是圍繞教學重點目標把握教學內容及方法 貫穿課堂教學首尾的主要脈絡，使課堂教學結構條理清晰環環相扣，內容重點突出，學生參與性強，富有挑戰性，進而使目標得以順利完成，如果復習課能圍繞一個教學主線進行設計，那么復習課的重點目標會高效地進行.

參考文獻：

[1]周明星.教育創新途徑與趨勢[M]中國人事出版社

[2]張奠宙，李士奇.數學教育學導論[M].北京：高等教育出版社，2003

[3]中學生數學教學參考[J].2008年3、5期

[4]李玉琪.中學數學教學與實踐研究[M].高等教育出版社，2001