數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的妙用

福建師范大學(xué)第二附屬中學(xué) 何宏穎

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)數(shù)學(xué)教育教學(xué)活動(dòng)的開展提出了新的要求，指出學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)參與中需要獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，它將抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形有機(jī)結(jié)合起來，降低了數(shù)學(xué)的抽象性。在本文中，我著重談一談如何將數(shù)學(xué)結(jié)合這一思想方法有效地應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)之中。

一、借助數(shù)形結(jié)合激發(fā)學(xué)生興趣

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)開展中，教師的照本宣科將學(xué)生的數(shù)學(xué)探究積極性扼殺在了搖籃之中。興趣作為學(xué)生自主獲取知識(shí)的開端，其在學(xué)習(xí)活動(dòng)中發(fā)揮著重要的作用。對(duì)于數(shù)學(xué)這樣一門抽象的學(xué)科來說，教師需要立足學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際情況，尋找到一種適宜的教學(xué)方法，使學(xué)生能在教學(xué)活動(dòng)參與中自主地探究數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)“要我學(xué)”到“我要學(xué)”的轉(zhuǎn)變。我在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)開展中，會(huì)借助數(shù)形結(jié)合思想方法的使用來實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。

1．抽象問題直觀化

通過對(duì)所執(zhí)教班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行觀察我發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生之所以對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有興趣，主要是因?yàn)閿?shù)學(xué)極具抽象性，其在有限的抽象思維能力的作用下，難以對(duì)這些知識(shí)有深刻的理解。對(duì)此，我會(huì)發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，借助直觀的圖形來引導(dǎo)學(xué)生探究抽象的數(shù)量關(guān)系，在抽象問題直觀化的過程中，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究興趣。

如我在組織“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”這一內(nèi)容教學(xué)的時(shí)候，為了使學(xué)生能扎實(shí)地掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，反其道而行之，沒有直接將抽象的運(yùn)算法則呈現(xiàn)在學(xué)生面前，而是借助直觀形象的圖象來引導(dǎo)學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)、探究出多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則。如此，在直觀圖象的引導(dǎo)下，學(xué)生自然會(huì)借助已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知來自主解決問題。

右圖的長(zhǎng)方形是由四個(gè)小長(zhǎng)方形構(gòu)成的，借助已有的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，求出這個(gè)大長(zhǎng)方形的面積是多少。

學(xué)生在已有的長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的驅(qū)使下，會(huì)采取不同的方法來解決該問題：

方法1：將該長(zhǎng)方形看作一個(gè)整體，其長(zhǎng)為a+b，其寬為n+m，其面積為：（a+b）（n+m）。

方法2：將這個(gè)大長(zhǎng)方形看作由兩個(gè)長(zhǎng)度為a+b的小長(zhǎng)方形組成的，其面積為：（a+b）n+（a+b）m。

方法3：將這個(gè)大長(zhǎng)方形看作由四個(gè)小長(zhǎng)方形組成的，其面積為：an+am+bn+bm。

由于這個(gè)大長(zhǎng)方形的面積是不變的，所以以上三種方法所算出的面積是一樣的，即（a+b）（n+m）=（a+b）n+（a+b）m=an+am+bn+bm。

學(xué)生在直觀的圖象展示下，自主地列出了不同的算式，并感知到了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算規(guī)律，即當(dāng)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的時(shí)候，先用一個(gè)多項(xiàng)式的各個(gè)項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的各個(gè)項(xiàng)，然后將各個(gè)項(xiàng)的乘積加起來。如此在數(shù)形結(jié)合下，學(xué)生自主地經(jīng)歷了數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程，有利于加深其對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，為其靈活運(yùn)用該知識(shí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2．理論聯(lián)系實(shí)際

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)開展的最終目的是引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活之中，借此來解決實(shí)際的生活問題。但是，在應(yīng)試教育背景下，教師的照本宣科將學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用局限在了考試上，除了解決考試問題之外，學(xué)生無法對(duì)其進(jìn)行靈活應(yīng)用。既然新一輪的課程改革倡導(dǎo)將生活引入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)之中，那么我們不妨借助生活中的問題來引導(dǎo)學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，借此來降低數(shù)學(xué)的難度。在此需要注意一點(diǎn)，生活問題的解決是與數(shù)形結(jié)合思想無法割裂的。

如我在組織“相似三角形”這一內(nèi)容教學(xué)的時(shí)候，選取了一道極具生活價(jià)值的問題來引導(dǎo)學(xué)生探究相似三角形。我要求學(xué)生測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，學(xué)生對(duì)這個(gè)生活問題有著濃厚的探究興趣。他們以小組為單位來解決這個(gè)問題的時(shí)候，采用了不同的方法，但是每一種方法都離不開數(shù)形結(jié)合。

學(xué)生在已有的地理知識(shí)的驅(qū)使下，會(huì)利用自己和影子構(gòu)造出一個(gè)直角三角形，推及出旗桿與其影子也可以構(gòu)成直角三角形，作出下圖：

借助一把尺子測(cè)量出自己的高度、影子的高度和旗桿影子的高度，然后利用相似三角形的相關(guān)性質(zhì)來求出旗桿的高度，即△ABC∽△EDB，則有借助所測(cè)量出來的相關(guān)數(shù)據(jù)可求解出旗桿的高度。如此，在生活問題的解決中，學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想有效地實(shí)現(xiàn)了問題解決，并在問題解決過程中加深了對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解與運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)了學(xué)以致用。

二、借助數(shù)形結(jié)合加深概念理解

數(shù)學(xué)概念是極具抽象性的，對(duì)于剛剛接觸數(shù)學(xué)的初中生來說，這些抽象的概念是難以理解的，數(shù)學(xué)概念的形成和理解同樣與圖形是無法相割裂的，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念幾乎都可以找到一個(gè)與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。由此，教師在組織數(shù)學(xué)概念教學(xué)的時(shí)候，同樣可以將數(shù)形結(jié)合思想滲透其中，借助直觀的圖形來引導(dǎo)學(xué)生自主地探究某一概念的形成過程，進(jìn)而掌握該數(shù)學(xué)概念。

如我在組織“絕對(duì)值”概念教學(xué)的時(shí)候，為了使學(xué)生深刻地理解的本質(zhì)（數(shù)軸上點(diǎn)a到原點(diǎn)的距離永遠(yuǎn)都不可能為負(fù)數(shù)，由此≥0），我會(huì)直接借助數(shù)軸將 表述出來，如此學(xué)生在直觀的圖象觀察下，會(huì)清楚地看到在a的變化下，是如何變化的。

三、借助數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

新一輪課程改革倡導(dǎo)在數(shù)學(xué)教育教學(xué)活動(dòng)開展中，教師除了向?qū)W生傳授基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)之外，還要培養(yǎng)起學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，即理性思維能力，使其在思維能力的驅(qū)使下能自主地感知數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，提高其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)開展中，我們可以這樣借助數(shù)形結(jié)合思想方法來培養(yǎng)學(xué)生不同的數(shù)學(xué)思維：

1．借助數(shù)形結(jié)合發(fā)展學(xué)生的直覺思維

所謂的直覺思維是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中能借助已有的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，在不做任何推理的情況下，能夠自主地識(shí)別和判斷出數(shù)學(xué)對(duì)象，然后大膽地進(jìn)行想象和猜測(cè)。縱觀我們所使用的數(shù)學(xué)教學(xué)，其中所蘊(yùn)含的直覺思維的內(nèi)容不計(jì)其數(shù)。我在組織“三角形”教學(xué)的時(shí)候，為促使學(xué)生自主地感知到三角形的性質(zhì)，會(huì)借助幾何畫板來呈現(xiàn)三角形和平行四邊形的運(yùn)動(dòng)變化情況，如下圖所示：

在生動(dòng)直觀的圖象運(yùn)動(dòng)下，學(xué)生會(huì)自主地感知到三角形具有穩(wěn)定性這一特性，提高了教學(xué)效率。

2．借助數(shù)形結(jié)合發(fā)展學(xué)生的形象思維

所謂的形象思維是借助大腦中所儲(chǔ)備的直觀而具體的形象來解決數(shù)學(xué)問題的思維活動(dòng)，其最大的特點(diǎn)就是無法與具體的事物相分裂。由此，教師在培養(yǎng)學(xué)生的形象思維的時(shí)候，可以借助數(shù)形結(jié)合思想，利用直觀的圖形來引導(dǎo)學(xué)生識(shí)記、理解抽象的數(shù)量關(guān)系，或者借此來完成轉(zhuǎn)換的問題，使學(xué)生在數(shù)與形的雙重作用下發(fā)展其形象思維。

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)開展中，教師要有意識(shí)地采取多樣化的手段將數(shù)形結(jié)合思想滲透到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，借助生動(dòng)形象的圖形來調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究興趣，并利用圖形來引導(dǎo)學(xué)生自主探究抽象的數(shù)學(xué)概念、結(jié)論等，使其在自主探究中實(shí)現(xiàn)直覺思維、形象思維等的發(fā)展，為其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。