課堂觀察：理解數(shù)學，理解學生，理解教育——從一節(jié)高中數(shù)學公開課《歸納推理》談起

湖南省華容縣第二中學 段華堂

最近筆者聽了高二一節(jié)數(shù)學觀摩課，聽了之后感受頗多。這節(jié)課在認真分析學情和教材的基礎上，準確定位教學目標，從數(shù)學視角、學生視角、教育視角，也即從理解數(shù)學、理解學生、理解教育的角度，基于課標的理念進行了合理而有效的設計，立意較高。

一、理解數(shù)學

1．教學目標合理定位

本節(jié)課的教學重點放在對歸納推理的概念的理解和應用上，而提高學生從特殊到一般的歸納能力則是本節(jié)課的教學難點。歸納推理作為發(fā)現(xiàn)新知的一種途徑，有時探索的過程是漫長而曲折的，課堂上設置了有一定難度的“歐拉公式的發(fā)現(xiàn)”，正是希望學生通過一番“辛苦”的努力才能得到結論，這樣的安排有利于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和鍛煉學生的意志品質。

根據(jù)以上想法，結合學生實際，制定了如下教學目標：（1）知識與技能：了解歸納推理的概念、作用，掌握歸納推理的一般步驟，會進行一些簡單的歸納推理。（2）過程與方法:學生通過積極主動地參與課堂活動，經(jīng)歷歸納推理概念的獲得過程，了解歸納推理的含義；通過欣賞一些偉大猜想的產生過程，體會并認識利用歸納推理能猜測和發(fā)現(xiàn)一些新事實、得出新結論的作用，并明確歸納推理的一般步驟。（3）情感、態(tài)度與價值觀：學生通過主動探究、合作學習、相互交流，培養(yǎng)不怕困難、勇于探索的優(yōu)良作風，增強了數(shù)學應用意識，形成學習數(shù)學知識、了解數(shù)學文化的積極態(tài)度。

2．注意處理好幾個問題

（1）結論的開放性。歸納推理很大程度上是一種創(chuàng)造性思維，教學中每個學生做出的推理可能并不一致，在這里有些時候結論是開放的，不是唯一的，只要“合情”，就應該認為是對的，應當鼓勵學生積極地創(chuàng)造性的思維。當然，面對推出的不同結論，可以比較哪些結論是更具有研究價值的，哪些思考是更有深度的。（2）過程的復雜性。歸納推理有時不是一蹴而就的，并不是所有的問題只看三五個特殊情形，就能得出一般性結論，有些問題則需要多看幾個，在歸納的同時也能培養(yǎng)學生在探究問題的過程中鍥而不舍的精神。（3）結論的正確性。歸納推理所得的結論不一定都是正確的。例如：法國數(shù)學家費馬觀察到都是質數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如22n+1 的數(shù)都是質數(shù)。這就是著名的費馬猜想。半個世紀之后，善于計算的歐拉（Euler）發(fā)現(xiàn)，第5個費馬數(shù)不是質數(shù)，從而推翻了費馬的猜想。甚至有的問題很難舉出反例說明它是錯誤的，也不容易證明結論的正確性，比如哥德巴赫猜想。課上有意安排這樣的例子，目的是使學生辯證地看待歸納推理這種方法。（4）處理好推理和證明的關系。數(shù)學上為保證結論正確，總是強調要證明結論，但合情推理部分重在“推理”，重在得出新結論，“證明”不是本節(jié)課要解決的問題。課上例題中的“歐拉公式”就是這樣，學生在短時間內能夠得出一般性的結論，已實屬不易，若再要求證明，則難度過高，時間上也不允許，而且會讓學生抓不住“推理”這個重點，所以處理時更宜放在課后，讓學有余力的學生思考。

3．設計具有數(shù)學視野

首先，本節(jié)課先從一個調查統(tǒng)計案例引入，通過學生對這個問題的回答自然地引出“推理”這個概念，同時它也是一個歸納推理的例子，為后面的歸納推理埋下伏筆，后續(xù)也將通過學生的活動，讓他們意識到數(shù)學學習過程不僅是為了解決問題，還有數(shù)學發(fā)現(xiàn)，接著給出幾個推理的例子，讓學生感受它們之間的區(qū)別。課堂上，教師通過PPT展示出這一章所要學習的幾種推理，即:

這樣，使學生在宏觀上有一個基本的框架的認識。

其次，在問題的設計上，從學科內、跨學科、生活化的角度引入，這樣拓展了學生的思維空間，因為歸納推理并非數(shù)學所獨有。練習題中有等式問題、質數(shù)問題（哥德巴赫猜想）、數(shù)列、空間幾何、三角等。作為教者，在教學設計時需要站在學科的高度，合理選取、重組、重設。一個問題是要用教材教，而不是拘泥于教材，要對教材再加工。本節(jié)課在對教材的理解基礎上，沒有照搬教材，而是經(jīng)過教師個人的思考，重新組合，適當調整。比如課堂練習2，曾老師把它作為一種合情與演繹的關系的預演題來處理，使聽者感到新鮮。

二、理解學生、理解教育

理解學生，就是理解學生的數(shù)學認知特點；理解教育，就是要尋找以適合學生認知特點的方式傳授數(shù)學知識。

1．以學生為中心，以人為本

在教學設計時，教者必須對每個教學環(huán)節(jié)都進行仔細地推敲，看邏輯是否自然，是否符合學生認知水平，學生能否接受，如何接受，能接受到什么程度。

首先，利用情景設置吸引學生的注意力，激發(fā)學習興趣。本節(jié)課先從一個調查統(tǒng)計案例引入，切題又更適應學生實際，適合課堂教學。接著，從學生熟悉的實例出發(fā)，引出概念；以問題的形式啟發(fā)學生思考，引導學生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納；鼓勵學生發(fā)言，允許學生犯錯，對學生發(fā)言及時點評。這種教學方式順應學生的思維習慣，概念形成過程更加自然，使學生覺得大部分內容都是自己想出來的，印象會更深刻。學習是學生內化的結果，只有自己建構的知識才是最有效的。在教學設計中，教師是情境的創(chuàng)造者，過程的引導者和啟發(fā)者，學生才是學習的主體，是知識的探究者和發(fā)現(xiàn)者，本堂課較好地體現(xiàn)了“以人為本”的教育理念。

2．問題設計的有效性

執(zhí)教老師有效的提問可以激發(fā)學生的思維。給出幾個推理的例子之后，教師問：“這些推理方式有何特點與區(qū)別？都正確嗎？”給出歸納推理的含義之后，讓學生列舉生活中運用和學科學習中使用歸納推理的例子；在歐拉公式的發(fā)現(xiàn)中，對棱錐、棱柱也不忘歸納其頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)，處處體現(xiàn)歸納推理；在練習2中，提問學生：如何想到取倒數(shù)來求通項公式？精準的問題、恰當?shù)奶釂枙r機，學生的思維一下子被激發(fā)出來，這些都體現(xiàn)了教師的教學機智。課堂教學的有效性很大程度上依賴于教師的課堂教學設計，而課堂教學設計的關鍵是兩個方面:（1）提出好的問題。“好問題”有兩個標準，即“有意義”，并且在學生的思維最近發(fā)展區(qū)內，“有意義”就是要反映當前學習內容的本質，“在學生思維的最近發(fā)展區(qū)內”的問題才能形成認知的沖突，激活學生思維。（2）設計教和學的調控過程，這就是數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的再創(chuàng)造過程以及與學生認知過程的有機融合。因此，教學問題設計的有效性如何，直接影響課堂教學質量。

3．學案與多媒體的使用

執(zhí)教老師使用學案，讓學在教前，提高了教學的有效性，落實學生學習的自主性、合作性和探究性，讓更多的學生參與到課堂中來；使用多媒體課件、實物展臺與板書教學相結合，對學生各種感官進行全方位、多層次、全面立體的刺激，通過學生的課堂感悟，完成了既定的教學目標，反映出學生對歸納推理的全面的、正確的認識，達到了較好的教學效果。

從學科高度觀察課堂，從學生認知規(guī)律出發(fā)來組織教學，且教學強調對核心內容的解構，注重激活學生思維，目的在于提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，從而提高教學的有效性。