坡面降雨徑流中污染物擴散濃度比尺推導

吉倩倩

【摘 要】針對黃土高原小流域降雨徑流模擬試驗中，污染物運移規律不明確，污染物運移比尺難以確定的問題，本文利用環境水力學中污染物擴散定理及相似論的基本原理，進行了一系列相似轉換和推導，最終得出了污染物運移濃度的比尺為。該結論從理論上給出了原型與模型在降雨徑流過程中，污染物運移濃度之間的關系，為進一步進行模型試驗進行污染物濃度率定和驗證提供參考。

【關鍵詞】降雨徑流；污染物擴散；相似比尺；相似率

中圖分類號： X53 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）12-0123-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.12.053

0 引言

降雨沖刷地表沉積物而產生含有大量污染物的徑流流入水體，對水環境造成了嚴重的危害[1]。20世紀60年代以來，國外首先注意到了降雨徑流污染導致的水質惡化的問題，并且在降雨徑流水質特性研究、水環境影響評價、模型模擬方面做出大量的工作[2-3]。近些年，我國也開展了大量的降雨徑流污染物運移規律的研究，在黃土坡面土壤氮磷等化學物質隨徑流遷移的研究中，張亞麗等[4]運用了降雨-徑流-土壤化學物質混合層深度（簡稱混合層深度）的方法，模擬坡面土壤化學物質隨徑流遷移的過程，王敬美等[5-6]運用模型試驗結合相似理論的方法研究了水中污染物的擴散規律，高建恩等[7-8]運用相似性原理對黃土高原小流域水力侵蝕模擬試驗的比尺進行了設計和驗證，可作為模擬小流域水力侵蝕調控，優化治理措施研究的有效措施。這些研究通過運用模擬實驗、相似理論推導等方法，從不同的側重點探究降雨徑流中水流運動和污染物運移的規律，但沒有從定量的角度推求出污染物在模型與原型中運移濃度的關系。本研究是建立在相似理論的基礎上，通過將污染物三元對流擴散方程與相似理論建立聯系，從而推求出原型與模型的污染物運移濃度比尺，為模型試驗的驗證提供了理論依據。

1 研究背景

1.1 費克定律

污染物擴散是環境水力學的核心部分，水流紊動與擴散有密切的聯系。研究污染物在水體中的擴散規律是推導出污染物運移比尺的基礎工作，因此具有重要意義。

1885年費克提出擴散定律：在各向同性的介質中，在一定方向上通過單位面積擴散輸送的物質，與該斷面的濃度梯度成比例[9]。公式如下：

F=-D （1）

式中：F——單位時間通過單位面積的擴散物質，又稱為通量；C——擴散物質的濃度； ——x方向的濃度梯度；D——擴散系數，在各向同性的液體中，在x、y、z三個方向上，擴散系數為常數。

上述公式只表示出污染物在一個方向上的擴散，實際當中，污染物質不是在單一方向而是在x、y、z三個方向上都有擴散，因此，將其寫成矢量形式應為：

F=-D（ + + ）=-D？犖C（2）

1.2 單純擴散方程

在菲克定律的基礎上，通過質量守恒原理建立單位時間擴散物質的量的變化等于x，y，z三個方向的通量之和的關系，推出靜止流體中污染物單純擴散方程。其基本形式為：

=D（ + ）（3）

如考慮兩個方向上的擴散，則為： =D（ + ）（4）

如只考慮一個方向的擴散，則： =D （5）

1.3 對流擴散方程

以上所述的單純擴散，流體是靜止的，但是如果水體在流動，在x、y、z三個方向上的流速為u、v、w。由于流體的平均運動而引起的輸送稱為對流，對流輸送與擴散輸送是可以分開又可以迭加的過程。

將對流通量和擴散通量相加即為總輸送率（通量），代入單純擴散方程（3）中，并首先考慮x一個方向，通過化簡可得：

+ =D 或 +？犖（uC）=D？犖2C（6）

因為，流體的容積守恒，？犖·u=0，則上式可變為： +u·？犖C=D？犖2C

將其寫成三元形式，則有：

+u +v +ω =D（ + + ）（7）

這就是三元對流擴散方程，簡稱三元擴散方程。

通常只考慮x方向的縱向流速，y和z方向忽略，則可忽略v 和ω ，x方向的擴散項與對流輸送項相比很小，因此可以忽略 ，簡化后可得：

+u =D（ + ）（8）

如果在y方向（垂向）的濃度梯度較小，可忽略y方向的擴散項 ，則為：

+u =D （9）

以上公式中，（6）為一元擴散方程、（7）（8）為三元擴散方程、（9）為二元擴散方程。

2 分析推導

由于實際水流多數屬于三度紊流，所以采用三元擴散方程（7）進行比尺推導。公式形式為：

+u +v +ω =D（ + + ）

假定采用正態模型，設長度比尺為λl，則λx=λy=λz=λl

首先，水流運動滿足連續性方程 + + =0，很容易由比尺關系式推出λu=λv=λω

其次，水流運動滿足比尺關系式 =1以及 =1。容易得出λu=λ 。

現將公式（7）中原型的有關物理量用比尺轉化為相應的模型物理量，可得：

用 去除每一項，可得：

描述統一物理現象的的原型和模型的方程應該相等[10]，所以：

擴散系數D表示單位濃度梯度下的擴散通量，它表達某個組分在介質中的擴散快慢，是物質的一種傳遞性質。相同的溶質在相同溶劑中的擴散系數是相同的，若原型與模型采用相同的污染物，則擴散系數D相同，λD等于1。

則上述比尺關系式可變為： =1，所以：

可得污染物的濃度比尺為λC=λ 。

3 驗證方法

3.1 確定擴散方式及其解的形式

上述多種形式的基本方程都是二階線性偏微分方程，從物理學的角度來看，必須給定初始條件及邊界條件，才可求解，從而得出在空間上或時間上的擴散物質的濃度分布情況。

總結起來污染物在水中的擴散方式有以下五種情況：（1）一元瞬時平面源；（2）二元及三元的瞬時點源擴散；（3）起始空間分布源；（4）時間連續源；（5）對流擴散。對應于每一種擴散方式，其都有不同的解。

以一元瞬時平面污染源為例，其污染物添加方式為在水管的中部瞬時投放污染源，投放點坐標設為0，采用的方程為一元擴散方程： =D

其解為：C= exp- ，在t=0時，在x=0處投放的質量為M；

3.2 模型試驗的設計與布置

按照一定的幾何比尺，水流運動比尺和坡面侵蝕產沙及泥沙運動比尺布置原型和模型，采用相同的污染物添加方式，在對應的投加點施加污染物，如氮肥或磷肥，原型模型施加量可按推導比尺λC=λ 施加。

采用放水沖刷和降雨徑流兩種外部自然環境條件的模擬，在不同斷面位置、不同時間，測量徑流中污染物的濃度，將所測數值代入擴散方程所確定的解中，計算出原型與模型的污染物濃度，驗證污染物運移濃度比尺的準確性。

4 結論

（1）本研究將環境水力學中污染物擴散方程與相似理論中比尺模擬的方法相結合，依據原型與模型滿足同一物理方程的思想，運用水力學的基本定理，推導出污染物運移相似比尺，是一種大膽的創新和嘗試。

（2）為進一步進行坡面降雨徑流污染物運移的研究提供了新的思路和方法。

（3）在污染物施加量的確定和驗證效果的對比上，還需要通過一系列模型試驗驗證和修改，有待于進一步提升。

【參考文獻】

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