把握知識聯(lián)系，提高課堂效率

曹曉瑞

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)概念、與圓有關(guān)的位置關(guān)系及圓中的計算問題等知識，但當(dāng)時并沒有對相關(guān)定理進行嚴(yán)格的證明，學(xué)生缺乏對知識過程的理解，更不能很好的領(lǐng)悟知識產(chǎn)生的背景及發(fā)生發(fā)展過程。為此，人教A版高中數(shù)學(xué)選修系列4-1將“幾何證明選講”單列作為一個專題進行研究，其中就包括圓的相關(guān)知識的研究學(xué)習(xí)，可見其重要性。

進入高中，學(xué)生的思維水平和理解能力有了很大的提升，因次，有必要通過這部分知識的學(xué)習(xí)將我們在初中階段沒有深入弄明白的問題和不知道來龍去脈的問題加以解決，進一步提升自己提出問題和解決問題的能力。

參照新課標(biāo)大綱，筆者認為人教A版高中數(shù)學(xué)選修系列4-1模塊知識具有以下幾點顯著特征：注重證明，強調(diào)過程，突出思想，加強探究。這是結(jié)合高中階段學(xué)生的特點和接受能力，讓學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性成為提高同學(xué)們邏輯推理技能、以及思維能力的有效途徑，為學(xué)生解決以后的學(xué)習(xí)和生活中的問題打下堅實的基礎(chǔ)，從而提高自己提出問題和解決問題的能力。同時也領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想方法，跟隨書中的觀察，思考，探究等，大膽探究問題，拓展了自己的知識和視野。

了解了這些特點，那么本教材的教學(xué)方法就有了一個思路。我們不妨從初高中知識的聯(lián)系入手，結(jié)合大綱要求，讓學(xué)生學(xué)好本專題。為此，從學(xué)生的認知規(guī)律抓起，把握初、高中知識聯(lián)系，方能提高課堂效率。因次，使學(xué)生很快的熟悉本部分知識，重拾以前的理論，讓他們覺得似曾相識，而又不乏興趣，是本專題學(xué)好的前提和關(guān)鍵。

為此，我們有必要研究一下初高中關(guān)于這一部分知識的聯(lián)系，好做到有的放矢。我們以華師大版初中教材為例來討論一下這個問題。華師大版教材把圓這一部分放在了九年級下冊第28章，結(jié)構(gòu)如下：28.1圓的認識；28.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系；28.3圓中的計算問題。中考考綱對此部分的要求是1、理解圓的有關(guān)概念和性質(zhì)。2、掌握點和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系及其性質(zhì)。3、掌握弧長、扇形面積計算公式。

而高中人教A版教材把圓的知識作為一個專題單獨列了出來，放在了選修4-1。共分為五節(jié)來安排的：一，圓周角定理；二，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理；三，圓的切線的性質(zhì)及判定定理；四，弦切角的性質(zhì)；五，與圓有關(guān)的比例線段。高考考綱對此部分的要求是1、會證明并應(yīng)用圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.2、會證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理.

對比中高招考綱，對與圓相關(guān)知識的考察不難發(fā)現(xiàn)初中對本部分的介紹重在對相關(guān)概念名詞的介紹和了解，而高中則是對這些知識的深入探究，更注重知識的來龍去脈和聯(lián)系性、應(yīng)用性。當(dāng)然，有了初中對圓的相關(guān)知識的了解，高中對圓的相關(guān)性質(zhì)的學(xué)習(xí)才有了一個基礎(chǔ)。因此，初高中知識是一脈相承的，教學(xué)時應(yīng)注重聯(lián)系，強化應(yīng)用，這樣學(xué)生才可能容易接受，從而掌握牢固。

因此，從學(xué)生的認知水平出發(fā)，尊重教材的設(shè)計思路，把握好初高中知識的聯(lián)系，深刻領(lǐng)會知識間的銜接是設(shè)計好一節(jié)課，上好一節(jié)課的前提和基礎(chǔ)。為此，筆者把自己的一些想法和理解用一節(jié)課的設(shè)計來做一展示，下面就是人教A版高中數(shù)學(xué)選修系列4-1《弦切角的性質(zhì)》這一節(jié)課的設(shè)計，希望能和各位同仁做一交流，。

一、課前預(yù)習(xí)設(shè)計

（一）教材自學(xué) 自學(xué)課本選修4-1 P32—P34內(nèi)容

1.提問：什么樣的角是圓周角？（聯(lián)系初中所學(xué)知識，喚起學(xué)生對知識的親切感和興趣，并為下面學(xué)習(xí)弦切角做好鋪墊?。?/p>

2.圓周角∠CAB，讓射線AC繞點A旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生無數(shù)個圓周角，當(dāng)AC繞點A旋轉(zhuǎn)至與圓相切時，停止旋轉(zhuǎn)，得∠BAE.（圖7-132）

思考：這時∠BAE還是圓周角嗎？為什么？歸納總結(jié)出弦切角的特點：

（1）頂點在圓周上； （2）一邊與圓相交； （3）一邊與圓相切.

（二）目標(biāo)提取

1.你認為本節(jié)課我們主要應(yīng)完成哪些任務(wù)？

2.能否做一個簡單概括？（結(jié)合預(yù)習(xí)，在初中知識的基礎(chǔ)上我們還有哪些知識沒有弄明白？展示目標(biāo)）

（1）理解弦切角的概念；

（2）掌握弦切角定理及推論，并會運用它們解決有關(guān)問題；

（3）理解化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法以及完全歸納的證明方法.

（注：學(xué)習(xí)目標(biāo)的展示應(yīng)簡潔，以知識目標(biāo)為主，其他的目標(biāo)應(yīng)落實到教學(xué)過程中。另外，目標(biāo)應(yīng)作為預(yù)習(xí)的一個風(fēng)向標(biāo)，學(xué)生通過預(yù)習(xí)不僅要了解本節(jié)要學(xué)習(xí)什么以及需要那些知識準(zhǔn)備。更重要的是通過預(yù)習(xí)弄清楚了自己的需求，也就有了本節(jié)課的重點和難點了。）

（三）明確重、難點

你認為哪些知識是本節(jié)課的重點、難點？（不同的學(xué)生可能有不同的難點，在教學(xué)中可分層次教學(xué)，有的放矢）

重點：弦切角定理及其應(yīng)用

難點：弦切角定理的證明

二、課堂教學(xué)設(shè)計

（一）定向、誘導(dǎo)

1. 弦切角定義：

頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.

2.判斷下列各圖形中的角是不是弦切角，并說明理由： （圖7-133）

由此發(fā)現(xiàn)，弦切角可分為三類：

（1）圓心在角的外部； （2）圓心在角的一邊上； （3）圓心在角的內(nèi)部.

3、那么弦切角都有哪些性質(zhì)呢？（提出問題學(xué)生思考）

（二）自學(xué)、探究

1.當(dāng)弦切角一邊通過圓心時，（如圖7-135）

（1）弦切角∠CAB是多少度？為什么？

（2）∠CAB所夾弧所對的圓周角∠D是多少度？為什么？

（3）此時，弦切角與它所夾弧所對的圓周角有什么關(guān)系？

觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)，此時弦切角與其所夾弧所對的圓周角都是直角.

2.以A為端點.旋轉(zhuǎn)AC邊，使弦切角增大或減小，觀察它與所夾弧所對圓周角之間的關(guān)系，猜想：弦切角是否等于它所夾的弧對的圓周角.（圖7-134）

（三）討論、解疑

1.回憶聯(lián)想，成果展示：

（1）圓周角定理的證明采用了什么方法？

（2）既然弦切角可由圓周角演變而來，那么上述猜想是否可用類似的方法來證明呢？

2.前面證明了特殊情況，下面考慮圓心在弦切角的外部和內(nèi)部兩種情況.討論：怎樣將一般情況的證明轉(zhuǎn)化為特殊情況。如7-136（1），圓心O在∠CAB外，作⊙O的直徑AQ，連結(jié)PQ，則∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠AP.

如圖7-136（2），圓心O在∠CAB內(nèi)，作⊙O的直徑AQ，連結(jié)PQ，

則∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC. 你能寫出完整的證明過程嗎？

（注：學(xué)生討論、給出觀點、達成一致，最終寫出完整過程并展示。）

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.

3.看書并思考：課本上關(guān)于定理的證明與我們現(xiàn)在的證明方法有何異同？

（四）反饋、總結(jié)

1.課本 例1（學(xué)生自學(xué)，需要時教師點撥）

2.思路點撥：思路一：要證∠BAC=∠CAD，可證這兩角所在的直角三角形相似，于是連結(jié)BC，得Rt△ACB，只需證∠ACD=∠B.（圖7-139）

證明：（學(xué)生自己完成證明）

思路二：連結(jié)OC，由切線性質(zhì)，可得OC∥AD，于是有∠1=∠3，又由于∠1=∠2，可證得結(jié)論.（圖7-140）

思路三：過C作CF⊥AB，交⊙O于F，連結(jié)AF.由垂徑定理可知∠1=∠3，又根據(jù)弦切角定理有∠2=∠1，于是∠2=∠3，進而可證明結(jié)論成立.（圖7-141）

3.小結(jié)

①知識收獲

②方法收獲

③思維收獲

總結(jié)：① 在證明弦切角定理時，我們是從特殊情況入手，通過猜想、分析、證明和歸納，從而證明了弦切角定理.通過弦切角概念的引入和定理的證明過程，逐步學(xué)會用運動變化的觀點觀察問題，進而理解從一般到特殊，從特殊到一般的認識規(guī)律.（讓學(xué)生通過回顧，總結(jié)，得出如7-144的結(jié)構(gòu)圖）

②學(xué)習(xí)了分類討論的思想和完全歸納的證明方法.在這里一定要注意為什么要對弦切角進行分類和如何進行分類. ③弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.

（注：小結(jié)可讓學(xué)生暢談收獲，與他人共分享，從學(xué)習(xí)中獲得成就和樂趣。）

三、課后鞏固設(shè)計

（一）練習(xí)

必做：1.課本P34 1

2.如圖7-142，AB為⊙O的直徑，直線EF切⊙O于C，若∠BAC=56°，則∠ECA= 度. （口答）

3.AB切⊙O于A點，圓周被AC所分成的優(yōu)弧與劣弧之比為3∶1，則夾劣弧的弦切角∠BAC= .

選作：創(chuàng)設(shè)計對應(yīng)訓(xùn)練

（二）作業(yè)

必做：課本 P34 2

選作：如圖7-138，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若AB=AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等？為什么？分析，由于AB和AC分別是兩個弦切角∠DAB和∠EAC所夾的弧，而AB和AC.連結(jié)B，C，易證∠B=∠C.于是得到∠DAB=∠EAC.（通過此題你能得出什么結(jié)論呢？）

推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等.

（三）課后筆記及糾錯

（注：練習(xí)和作業(yè)的設(shè)計應(yīng)因材施教，針對不同的學(xué)生應(yīng)有不同的要求，必要時可以分層次備選適量的題。）

這節(jié)課筆者在A、B兩個層次的班級進行了教學(xué)，從教學(xué)效果上來看，學(xué)生反應(yīng)都不錯，課堂氣氛活躍、和諧，不同的學(xué)生在自己已有的基礎(chǔ)上都有不同程度的收獲，學(xué)有所獲。而且，學(xué)生的學(xué)是主動的有目的的，一節(jié)課下來收獲不小，成就感油然而生。

值得一提的是，本節(jié)課從初高中知識的聯(lián)系入手，讓學(xué)生能循序漸進，充分參與，學(xué)有所用，使學(xué)生真正成為課堂的主人，這是值得肯定和堅持的，可見，把握知識聯(lián)系方能備出一節(jié)好課，從而提高課堂效率。筆者認為這也是我們每個老師今后課堂教學(xué)應(yīng)該注意和完善的一個方向。

說明：設(shè)計中括弧中的黑體字部分是筆者的所思所做，在學(xué)生的學(xué)案中是不出現(xiàn)的。

參考文獻：

[1]人教A版數(shù)學(xué)選修4-1幾何證明選講

[2]華東師大版數(shù)學(xué)九年級下冊