單調(diào)測(cè)度空間上一般實(shí)值可測(cè)函數(shù)的泛積分

徐鶴萍，張承坤，李軍

(中國(guó)傳媒大學(xué)理學(xué)院，北京 100024)

1 引言

文獻(xiàn)[1]中給出了基于普通加法和乘法的一般可測(cè)函數(shù)的泛積分的定義，在次可加的假定下，討論了一般可測(cè)函數(shù)泛積分的線型性。本文將進(jìn)一步討論一般實(shí)值可測(cè)函數(shù)泛積分的基本性質(zhì)，并給出相應(yīng)的泛積分收斂定理。

2 預(yù)備知識(shí)

下面我們回顧單調(diào)測(cè)度和非負(fù)可測(cè)函數(shù)的泛積分的定義。

(1)μ(φ)=0且μ(X)>0；

當(dāng)μ是單調(diào)測(cè)度時(shí)，(X，A，μ)稱為單調(diào)測(cè)度空間。

取A={a}，B={b}，則

μ(A)+μ(B)=1.2≠1=μ(A∪B)=μ(X)。

顯然，單調(diào)測(cè)度μ不具有可加性。

一個(gè)集函數(shù)μ稱為

μ(A∪B)≤μ(A)+μ(B)。

下面我們回顧非負(fù)可測(cè)函數(shù)的泛積分的定義。

例2.2 在例2.1定義的單調(diào)測(cè)度空間中，我們?cè)O(shè)

可得

由此可知

所以泛積分不具有線性性。

非負(fù)可測(cè)函數(shù)泛積分有以下基本性質(zhì)(可參見(jiàn)文獻(xiàn)[10])。

一般地，基于單調(diào)測(cè)度的泛積分不具有線型。然而當(dāng)單調(diào)測(cè)度是次可加的，則對(duì)應(yīng)的泛積分具有線型性，即文獻(xiàn)[1]中證明了以下結(jié)論：

3 一般實(shí)值可測(cè)函數(shù)的泛積分

本節(jié)中我們討論一般實(shí)值可測(cè)函數(shù)的泛積分。

f=f+-f-，

其中，f+和f-分別表示f的正部和負(fù)部，即

文獻(xiàn)[1]中引入了一般實(shí)值可測(cè)函數(shù)的泛積分的定義，我們陳述如下：

當(dāng)f是非負(fù)可測(cè)函數(shù)時(shí)，定義3.1中泛積分的定義與定義2.1一致.因此，一般可測(cè)函數(shù)泛積分的定義是非負(fù)可測(cè)函數(shù)泛積分定義的推廣。

5)若f是可積的，則f是可積的。

證明：由文獻(xiàn)[10]中非負(fù)可測(cè)函數(shù)的泛積分性質(zhì)，1)，2)顯然成立。

3)對(duì)非負(fù)函數(shù)的泛積分有

當(dāng)c≥0時(shí)，

當(dāng)c<0時(shí)，

4)由f≤g可知，f+(x)≤g+(x)，f-(x)≥g-(x)，由性質(zhì)2.1中的3)可得，

即

5)由于f+≤f且f-≤f，根據(jù)性質(zhì)2.1(3)和f的可積性可知，

f+可積且f-也可積，因此可得f是可積的(在定義3.1的意義下)。

性質(zhì)證畢。

注1：在經(jīng)典Lebesgue積分理論中，f的可積性與f的可積性是等價(jià)的。

一般地，以上性質(zhì)(5)的逆命題是不成立的，即由f的泛可積性推不出f的泛可積性。

由此可知f是泛可積的，而f卻不是泛可積的：

性質(zhì)3.2 設(shè)μ是次可加的。若f是泛可積的，則f是可積的。

證明：由于f是可積的，且μ是次可加的，由定理2.1[1]可得：

我們知道，一般地，基于單調(diào)測(cè)度的泛積分不具有線性性，當(dāng)考慮的單調(diào)測(cè)度是次可加時(shí)，那么相應(yīng)的泛積分具有線性性。文獻(xiàn)[1]中得到了以下結(jié)果：

證明：由于μ是次可加的，f和g均可積，故f和g均可積；

由于f+g≤f+g，故f+g可積；

從而，

由非負(fù)可測(cè)函數(shù)的泛積分可得，

由此得

證明：由f=f++f-及非負(fù)可測(cè)函數(shù)的泛積分具有線性可知，

且

從而

以下我們陳述泛積分的Levi單調(diào)收斂定理和Fatou引理，證明與Lebesgue積分的證明一致(參見(jiàn)文獻(xiàn)[13])。

定理3.4(Fatou引理)設(shè)fn：A→0，∞是非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，則

以下我們給出泛積分的一類控制收斂定理：

2)存在A上的泛可積函數(shù)g，使得對(duì)每一n≥1，在A上幾乎處處有fn(x)≤g(x)，

則f和fn都在A上泛可積，并且

證明：由fn(x)≤g(x)，分以下兩種情況討論：

1)fn(x)≤g(x)；

2)-fn(x)≤g(x)。

對(duì)第一種情況可得：g(x)-fn(x)≥0，

由Fatou引理得

由μ的次可加性可知，泛積分具有線性性，因此，

由Levi單調(diào)收斂定理，

即

對(duì)第二種情況可得：g(x)+fn(x)≥0，

由Fatou引理得

由μ的次可加性可知，泛積分具有線性，因此，

由Levi單調(diào)收斂定理，

綜合一二兩種情況即得

定理證畢。

根據(jù)外側(cè)度的性質(zhì)，本文中的性質(zhì)2.1、定理2.1、性質(zhì)3.1、性質(zhì)3.2、定理3.1、定理3.2、定理3.3、定理3.4、定理3.5對(duì)基于外側(cè)度的泛積分仍然成立。特別地，我們強(qiáng)調(diào)基于外側(cè)度的泛積分具有線性性。