軌道養護計劃多目標模型及求解

許玉德， 劉一鳴， 沈堅鋒， 邱俊興

(1.同濟大學 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804;2.中交投資有限公司，北京 100029)

由于列車運行速度的提高、運行密度和通過總重的增加，鐵路線路惡化趨勢加快，養護維修作業量不斷加大，但相應可用來進行養護維修的天窗時間卻不斷減少，運輸需求和線路養修的矛盾日益突出.為實現線路狀態的可控，根據軌道狀態檢測結果，制定優化的軌道養護維修計劃是國內外鐵路部門養護維修模式發展的趨勢[1].合理的鐵路軌道養護維修計劃必須在確保運輸安全的同時也要能兼顧到節約養護維修成本的問題，因此軌道養護計劃制定中，決策者所面對的問題常常是多目標的[2-6]，而對多目標問題的求解，非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ算法)[7-9]是被應用得最為廣泛的算法之一.

對求解軌道養護計劃多目標模型來說，標準的NSGA-Ⅱ算法還存在著一些不足之處，主要體現在：

(1) 全局解空間較大龐大，年度養護計劃中將一年分36旬，1 km線路對應的決策變量為36個，如果是某個鐵路局管內的所有線路進行軌道養護計劃的編制，那決策變量的數量是驚人的，模型計算的時間和空間復雜度都將增加；

(2) 標準NSGA-II算法中沒有處理約束條件的算子，約束條件需要通過添加約束算子來對非支配解集進行搜索；

(3) 傳統的遺傳算法通常采用固定遺傳參數的辦法，但參數的設置是否恰當將直接影響到算法的搜索效果，過大或者過小的參數將會使算法無法收斂或者后期收斂速度過慢.

因此，本文根據軌道幾何不平順的增長特點及軌道養護的現實背景，建立了軌道養護計劃多目標模型，通過對標準的NSGA-II算法的改進實現了所建多目標模型的求解，選取既有滬昆上行線區段的數據，編制了養護維修計劃，驗證了模型及算法的效果.

1 軌道養護計劃多目標模型

當線路幾何不平順標準差達到某一管理目標值時，為保證列車運行安全，就需要使用大型養路機械進行養護維修作業使幾何不平順數值恢復到合理范圍內.大型養路機械在一個作業天窗時間內只在一個計劃區段進行作業，作業方案的選擇影響著軌道的總體狀態和投入成本.因此作業方案的決策是多目標的，包括軌道狀態最優和成本費用最小兩個目標.

1.1 軌道狀態最優

我國軌道不平順管理中，采用不平順的標準差來表征不平順狀態.國內外研究表明[10-13]，在不進行養護維修作業的情況下，軌道幾何不平順標準差會呈指數形式增長，表示如下：

σi(T)=σ0·ekit+ε(t)

(1)

式中：σi(T)為計劃區段i在時間T的軌道不平順標準差，mm；σ0為計劃區段i在時間T=0的軌道不平順標準差，mm；ki為服從對數正態分布的待定隨機變量參數[10]；ε(t)為服從正態分布的隨機噪聲[10]，mm.

養護維修作業后，軌道幾何不平順標準差得到降低，但不能完全恢復到初始狀態，始終存在著殘留，殘留率定義為g.以所有區段年末軌道幾何不平順之和作為指標，得到軌道狀態最優的目標函數如下：

(2)

式中：O1為成本費用目標函數值；u為某個區段，以1 km將計劃區間劃分為若干區段，區段集合U={1，2，3，…}，u∈U；j為大型養路機械作業時間點，養護計劃中一年分36旬，旬集合J={1，2，3，…，36}，j∈J；guj為區段u上在第j旬進行養護后的幾何不平順標準差殘留率g；σu0為區段u的初始幾何不平順標準差，mm；kun為區段u上在第n次惡化階段時的參數k；T為惡化模型預測步長，取T=10(一旬)；εnj為第n次惡化階段第j旬時的隨機噪聲ε，mm；wuj為決策變量，是整數(0-1)型變量，表示是否進行計劃性養護.

從式(2)可以看到，由于每個計劃區段在一年中只能安排一次維修作業，因此，對于一個固定的計劃區段而言，在不同的時間段進行養護維修，對其年末的幾何不平順有不同影響：過早進行養護，雖然降低了幾何不平順值的超限概率，但由于殘留率g的大小與養護作業前的幾何不平順標準差成近似反比關系，因此養護維修效果將大打折扣；過晚進行養護，幾何不平順值的超限概率則會顯著提高，但養護維修的效果卻十分明顯的。

1.2 成本費用最小

所建的成本費用最小目標函數中，主要包括以下4部分成本費用：計劃性養護費用、養護固定費用、舒適性損失費用和事后養護費用.成本費用最小的目標函數如式(3)所示：

(3)

式(3)中，舒適性損失費用和事后養護費用是隨著軌道不平順標準差降低而減少的費用，而對多目標函數進行優化時，通常子目標函數之間要求是互為矛盾、此消彼長的關系。因此，在式(3)中，將這兩種費用以負的懲罰性費用表示，其值越大就越需要用各種養護維修手段去保持良好的軌道狀態，以提高舒適度和安全性。

1.3 軌道養護計劃約束條件

針對鐵路養護作業特點，軌道養護計劃還應滿足下述約束條件.

(1) 養路機械總量約束

制定的養修計劃模型只考慮一套大型養路機械在區段上作業的情況，須滿足式(4)：

Wuj≤1

(4)

(2) 定點定時養護約束

有些特殊情況，需要使用大機在特殊旬u1對特殊區段j1進行作業，須滿足式(5)：

Wu1j1=1

(5)

式中：Wu1j1為整數(0-1)型變量，表示是否在特殊旬u1對特殊區段j1進行計劃性養護，Wu1j1=1表示進行，Wu1j1=0表示不進行。

(3) 區段上限個數約束

大型養路機械不是每天的養護維修天窗點都能進行，某旬j內的作業量存在上限Aj，須滿足式(6)；

∑uWuj≤Aj,j∈J

(6)

(4) 同一區段養護次數約束

線路的養修作業的效果一般都較為明顯，在周期修為主的體制下線路搗固周期為1～1.5年.因此，維修的最大次數定為一年一次，須滿足下式(7)：

∑jWuj≤1

(7)

(5) 惡化狀態上限約束

各區段幾何不平順在超過事后養護限度前都需要立即投入大型養路機械進行養護，須滿足式(8)：

(8)

式中：u∈U2，U2為{年度計劃期中，預測幾何不平順達到上限值的區段},j∈J；Ju表示區段u最遲需進行養護的旬；

(6) 養護成本總量約束

軌道養護計劃多目標模型中，僅對養護成本總量設置最大值，須滿足式(9)：

∑u∈U∑j∈JCuj≤Cmax

(9)

式中，某區段某旬的養護總成本Cuj=Ct·wuj+Cd-Lb·Pb-Lcft·Ebad.

2 軌道養護計劃多目標模型求解

2.1 改進的NSGA-II算法

標準的NSGA-II算法對求解軌道養護計劃多目標模型來說，存在著決策變量過多、缺少處理約束條件的算子、遺傳參數固定等問題，因為初始種群遠小于解空間，算法早期可能出現超級個體，其適應度遠大于當前種群的平均適應度，使得該個體在種群中迅速占據絕對比例，種群多樣性迅速降低，種群進化能力喪失，算法過早收斂，陷入局部最優，這種現象也稱為算法“早熟”.

針對本文多目標模型的特點，對算法進行改進，使其在求解軌道養護計劃多目標問題時能更好地保持種群多樣性，避免“早熟”，并在后期加速收斂得到全局最優解，改進的NSGA-II算法與標準算法的不同點見表1.

表1標準NSGA-II算法和改進NSGA-II算法的不同點

Tab.1DifferentpointsofstandardNSGA-IIalgorithmandimprovedNSGA-IIalgorithm

不同點 算法標準NSGA-II算法改進的NSGA-II算法1二進制或實數二維矩陣編碼二進制的三維矩陣編碼,方便處理更多決策變量,并進行直觀表示2無約束條件處理算子構建違反約束度函數,在種群生成和進化階段對約束條件進行處理3交叉和變異概率為定值交叉和變異概率隨進化代數會自適應改變

2.1.1編碼設計改進

二進制編碼和實數編碼是現有遺傳算法中主要的兩種編碼方式，其中前者在編碼和解碼的操作上都極為簡單，也十分容易在交叉、變異階段進行各種遺傳操作[15].

本文構建的軌道養護計劃多目標模型中將決策變量已經定義為了整數型的0-1變量，在編碼形式上將采用二進制編碼的方法，但1 km線路對應的36個決策變量在計劃線路變長、種群規模擴大的時候將會產生一個很大的矩陣，后續比如約束條件處理、目標函數計算、快速非支配排序、擁擠度比較和遺傳操作都將在此矩陣中進行，將給計劃的編制帶來很大困難.

因此，本文首先采用矩陣編碼的形式對單個個體進行編碼，矩陣的行向量代表旬，表示每個計劃區段在一年中對應的養護時間，矩陣的列向量代表區段，表示每一旬中大機的具體作業地點，如表2所示；其次，將N個這樣的個體放入一個三維數組中組成一個種群，而對應數組的頁數1-N則被編在適應度計算的二維矩陣中.

三維數組的矩陣編碼形式能使后續的優化選擇過程在兩個不同維度的數組中進行，例如：約束條件處理、遺傳操作都能在三維數組中展開，而目標函數計算、快速非支配排序、擁擠度比較可以在二維矩陣中進行，且用對應的的頁數作為聯系，便于進化選擇后進行種群保留和最后的計劃安排矩陣的輸出；另一方面，該編碼形式更為直觀，不但方便約束條件的處理階段對整行整列數據的矩陣運算，而且使得年度養護計劃中大型養路機械在何時何地進行養護作業變得一目了然.

表2 計劃區段0-1矩陣編碼形式Tab.2 0-1 matrix coding form in planning segments

2.1.2全過程約束

構建違反約束度函數H主要是為了在進行進化迭代的時候來選擇非支配解，但本文改進的NSGA-II算法在初始種群的生成階段就對約束條件進行預處理，在初始種群生成階段，為了使初始種群多樣性更好、在解空間上分布盡量廣，隨機生成比初始種群規模大的個體群，然后通過計算違反約束度H和兩個目標函數值，通過計算它們的優勝關系，選出適應度值大的個體組成初始種群，這樣不但增加了初始種群的有效性，也加快了非支配解集的搜索效率.

2.1.3遺傳系數自適應

標準NSGA-II算法中，在完成快速非支配排序和擁擠距離計算后需要根據個體之間的層級Rank和擁擠距離的區別進行排序，用以選取優秀個體進行下一次尋優.對屬于不同層級的個體，首選層級編號小的個體，而當層級相同時，就首選擁擠距離大的個體.

在尋優循環剛開始時，個體在解空間中分布較為離散，層級間的個體差異較大，很容易就能對優劣個體進行區分；而隨著尋優過程的進行，更多優秀的個體被保留下來，此時較大的交叉概率Pc和變異概率Pm反而會使得新個體的產生速度加快，但新產生的個體其適應度往往會低于原先種群內的個體，使已經具有較高適應度的種群個體被破壞，從而減緩算法的收斂速度，會使整個改進NSGA-II算法變成一個隨機搜索、毫無目的的過程.因此，對遺傳算子中交叉概率Pc和變異概率Pm這兩個遺傳系數的選擇是影響多目標遺傳算法能否收斂并且獲得最優非支配解集的關鍵因素.

在一般的遺傳算法操作中，交叉概率Pc會取0.2～0.7之間的定值，而變異概率Pm的取值一般相對較小，會取0.01～0.1之間的定值.基于交叉概率Pc和變異概率Pm選擇取值的重要性，同時，考慮到通過反復試算來確定兩個系數的繁瑣性，本文基于非支配排序時的層級編號Rank建立自適應的遺傳算子，具體算子如式(10)所示：

(10)

式中：P為交叉概率和變異概率;Ravg為該代種群的平均層級;Rind為參與遺傳選擇個體的層級;為了使得交叉概率Pc在0.2～0.7之間取值，變異概率Pm在0.01～0.1之間取值，對交叉操作而言，P1c=0.7，P2c=0.2，對于變異操作而言，P1m=0.1，P2m=0.01.

通過式(10)中自適應遺傳算子的操作，可以做到在快速非支配排序后，層級較大的劣勢個體以較大的概率進行交叉和變異操作，以期能產生較好適應度的個體；而層級較小的優秀個體則以較小的概率進行交叉和變異操作，以期能將優秀個體保留的同時，也可以獲得更深度的全局搜索.通過自適應遺傳算子的操作，不但保持了種群的多樣性，避免算法前期的“早熟”，也能更好地進行局部搜索并在后期快速收斂.

2.2 軌道養護計劃編制

利用改進NSGA-II算法求解軌道養護計劃多目標模型，流程主要包括以下幾步：

步驟1：設置和輸入初始參數，其中包括模型參數和算法參數兩類.模型參數：σu0、guj、kun、T、εnj、Ct、Cd、Lcft、Lb、Cmax、Aj、u1、j1、U2和Ju等.算法參數：循環迭代次數gen、種群規模pop、交叉概率自適應參數：P1c=0.7，P2c=0.2、變異概率自適應參數：P1m=0.1，P2m=0.01；

步驟2：生成初始種群.采用二進制矩陣編碼，隨機的生成比初始種群規模大的個體初始種群Aini；

步驟3：計算初始種群Aini中所有個體的軌道狀態最優目標函數值O1，成本費用目標函數值O2和違反約束度H，并和三維數組Aini的頁數ZAini一起寫入二維矩陣Dini；

步驟4：以Dini中三個參數O1、O2、H為依據，對初始種群Aini進行非支配排序并計算擁擠距離，并根據每個個體的層級和擁擠距離，在對應的三維數組中選出最優的滿足種群規模的個體組成初始父代種群Afar；

步驟5：通過錦標賽選擇法在初始父代種群Afar中選擇一半個體進行自適應遺傳操作，交叉操作形成種群Ac，變異操作形成種群Am，合并Ac和Am組成子代種群Aoff，合并初始父代種群Afar和子代種群Aoff為中間代種群Ainter；

步驟6：計算中間代種群Ainter中所有個體的O1、O2和H，得到Dinter，對種群Ainter進行非支配排序并計算擁擠距離，并根據每個個體的層級和擁擠距離，依次選出pop個滿足種群規模的個體作為新的父代Afar；

步驟7：進行迭代運算，并判斷是否達到最大次數，若達到，則終止運算，輸出結果，否則，返回步驟5.

圖1是第2.2節軌道養護計劃編制的實現流程圖.

3 算例分析

選取既有滬昆上行線K230+600～K240+600的10 km區段作為算例對象進行年度養護維修年度計劃的編制工作.國內目前大型養路機械主要采用“搗固車+動力穩定車”模式，搗固效果與高低不平順直接相關，因此選擇高低不平順作為幾何不平順選擇的代表.

初始參數中，T=10，σε(n)=0.01 mm，Ct=1 萬元·km-1，Cd=8 萬元·km-1，Lcft=0.01 萬元·km-1，Lb=0.5 萬元·km-1，Cmax=70 萬元，Aj=3，gen=200，pop=700，，P1c=0.7，P1m=0.1，P1m=0.1，P2m=0.01，以上參數取值依據模型條件及算法假定.

高低不平順可能達到上限值的區段集合U2、U2各區段對應的最遲需進行養護的旬集合Ju、養護后的高低不平順標準差殘留率guj、惡化階段時的參數kun和初始高低不平順標準差σu0等線路參數來源于2009年3月6日至2015年6月29日期間的軌檢車數據.

圖1 軌道養護計劃的實現流程圖Fig.1 Flow chart of annual maintenance plan for track

單目標決策問題只有一個絕對最優解，但對于多目標決策問題來說，由于每個子目標之間可能是相互沖突的關系，這就導致沒有一個絕對最優解可以使全部目標同時達到最優，因此，只能在所有子目標之間進行相互妥協折中，做出一個平衡的綜合效果最優的方案.帕累托最優解表示了問題解的各個子目標不能夠再同時繼續優化的狀態，帕累托最優解集的圖像被稱為帕累托最優前沿[16-17].輸入初始參數及線路參數，按照圖1流程得到帕累托最優前沿如圖2所示，圖中共有43個點，即代表了在最優前沿上有43種不同的養護作業計劃安排，這43種方案不被其他方案支配，即不存在其他方案比這43種方案的成本小且養護效果更優.

從圖2中可以看到，這43種不同的養護作業計劃，其高低不平順標準差在0.916～0.935 mm之間變動，而養護成本則在61.1 萬元～67.14 萬元范圍以內浮動.

圖2 養護年度計劃的帕累托最優前沿Fig.2 Pareto optimal frontier of annual maintenance plan

在圖2中，選取帕累托最優前沿中高低不平順標準差最小和養護成本最小的兩個端點，以及中間數據較為集中區域的兩個點作為所得的維修計劃，4種維修計劃的高低不平順標準差和養護成本見表3.

表3帕累托最優前沿中4個代表點的高低不平順標準差和養護成本

Tab.3StandarddeviationandmaintenancecostoffourrepresentativepointsinParetooptimalfrontier

養護維修計劃編號高低不平順標準差/mm養護成本/萬元10.90267.14420.91065.39330.92063.49340.93561.101

以計劃1為例介紹養護維修計劃安排，如圖3所示，其中，行代表區段序號，列為對應的時間(旬)的編號，時間起點為2015年7月上旬，若某空格為黑色，則相對應的區段在該旬進行養護維修.

計劃中各區段的養護維修時間均安排在了年度計劃中后期，即第14～31旬，避免了在恢復效果較差的年度計劃初期進行養護。又由于多目標模型建立中將列車運行的舒適性和安全性都轉化為費用考慮在內，避免了過度養護和臨近事后養護限度時才進行養護的情況。

圖3 養護維修計劃1的作業安排Fig.3 Arrangement of maintenance plan 1

通過實施圖2所示4種不同的養護維修計劃，各區段的高低不平順標準差相比于不進行任何養護維修的情況都將會有一定的改善，如圖4所示.

圖4 不同養護維修計劃下各區段的高低不平順標準差對比圖Fig.4 Comparison of standard deviation of longitudinal irregularity in each segment under different maintenance plans

從圖4可以看到，如果未進行養護維修作業，這10 km的計劃區的高低不平順標準差在年末都將超過或者即將超過事后養護限度值1.5 mm，而若實施了養護維修計劃，經過作業的區段上高低不平順標準差年末值都有不同程度的降低，平均降低了0.916 mm，其中計劃1的年末軌道狀態最好，全部區段比未進行養護維修作業平均降低了0.973 mm，另外區段5上由于進行了養護維修作業，其年末的高低不平順標準差基本上恢復到了年初的水平，可見，軌道養護計劃的效果十分明顯.

以計劃1為例，各區段全年的高低不平順標準差變化如圖5所示.

圖5 計劃1條件下各區段全年的高低不平順標準差變化圖Fig.5 Variation of standard deviation of longitudinal irregularity in each segment of plan 1

可以看到，計劃1安排下各區段在全年36旬時間內，其高低不平順標準差均未超過事后養護維修限度1.5 mm，存在養護維修作業的區段，平均都在高低不平順標準差達到1.3 mm左右時進行養護作業，且這些區段的改善效果都很好，基本上都能恢復到0.7 mm以下.其余3種計劃下情況類似.

4 結論

本文建立了軌道養護計劃多目標模型，通過對標準的NSGA-II算法的改進實現了所建多目標模型的求解，并選取既有滬昆上行線區段作為案例驗證了模型及算法的效果，結論如下：

(1) 建立的軌道狀態-成本費用多目標優化模型能將軌道幾何狀態最優及成本費用最省兩個目標作為一個整體進行考慮.軌道養護計劃多目標模型能在確保列車安全運行的同時，減少“過度維修”現象的發生.

(2) 通過采用0-1編碼將個體放入三維數組、全過程控制約束條件以及遺傳系數自適應這三種方法建立了改進的NSGA-II算法，使之求解所建立的軌道養護計劃多目標優化模型.改進的NSGA-II算法在求解軌道養護計劃多目標問題時能更好地保持種群多樣性，避免“早熟”，并在后期加速收斂得到全局最優解.

(3) 選取既有滬昆上行線K230+600～K240+600區段對模型和算法進行了驗證分析，所得的養護維修計劃中：對于初始不平順較大且高低不平順標準差惡化較快的區段給予了優先養護維修，而對于初始不平順較小且高低不平順標準差惡化較慢的區段，則都安排在了年度計劃的后期，或者不予安排養護維修作業；存在養護維修作業的區段，不論養護維修時間被安排在哪一旬，一般都會在高低不平順標準差在1.3 mm左右時得到養護作業，且其恢復效果都很好，基本上能恢復到0.7 mm以下.