高等數學中極限求解方法研究

趙軒

摘要：函數極限是高等數學的重要構成部分，它貫穿高等數學的始終，本文對高等數學課程中常用的定義法、函數連續性、兩大重要極限、洛必達法則等求極限的方法進行了分析，結合不同的求極限例題進行對比研究。

關鍵詞：高等數學；函數極限；洛必達法則

1 用定義法求函數的極限

用極限的ε-δ定義證明函數極限問題時，關鍵的一點是找出δ，必要時可先將x限定在某一取值范圍之內再進行討論.

定義1設f為定義在[m+∞]上的函數，A為定數，如果對任給的ε>0存在正數（x≥m），使得當（x>X）時有： ，則稱函數f當x趨于 +∞時以A為極限，記作

下面列舉一個應用ε-X定義來求取函數極限的例子。

例1：用極限定義證明

證：由

任給ε>0，取δ=ε，則當 時，就有

由函數極限的ε-δ定義有：

2 利用連續性求函數極限

由于一切初等函數在其定義域范圍內都連續，所以求初等函數在其定義域內某點x0處的極限，可直接用 來求取。

但是若x→x0，函數f（x）在點x0是間斷點，則不能直接代入數值計算。而應根據具體函數的特征，對它進行適當的變形，這樣再去利用函數的連續性求極限即可。

下面舉個具體的例子來探討一下，如何利用連續性來求函數極限的問題.

例2 求極限

解：

由連續性可知如果函數f（y）在y=y0點連續，就有 ，且 是有理函數，分母是 .因此，它是（-∞，+∞）上的連續函數。

3 利用兩個重要極限求函數的極限

我們所熟悉的兩個重要極限是：

公式中的x都可以看作整體來對待。

其中，第一個重要極限是“ ”型；第二個重要極限是“I∞”型。

在利用重要極限求函數極限時，關鍵在于把要求的函數極限化成重要極限的標準型或者它們的變形，這就要抓住重要極限公式的特征，并且能夠根據它們的特征，辨認它們的變形。

這個問題很多同學在拿到題目的時候就會想到重要極限公式，不假思索的就寫出它的極限為1。但是我們仔細的分析一下，在問題中我們首先把其轉化為 ，令 ，極限變為 ，可以看到這個問題中的自變量的變化趨勢與 是不同的，所以不能利用重要極限來求。

解因為 是一個有界量，而x是x→0時的無窮小，所以 。

4 利用洛必達法則求函數的極限問題

定理（ 型未定式，x→a）設函數f（x）、g（x）在a點鄰域內有定義（點a本身可以除外），且滿足：

（2）f（x）、g（x）在點a的一某鄰域內（a本身可以除外）均可導，且g（x）≠0，

則當 存在（或為∞）時， 亦存在（或為∞），且

定理 設函數f（x）、g（x）在點a鄰域內有定義（點a本身可以除外），且滿足：

（2）f（x）、g（x）在點a的一某鄰域內（a本身可以除外）均可導，且g（x）≠0，

則當

且 .

利用洛必達法則求未定式的極限，是一種簡便而又有效的方法，前面出現的許多極限都可以利用此法則.但使用時，要注意適當地化簡、換元，并與前面的其他方法互相結合使用，這樣便可大大的簡化極限的運算。

在使用洛必達法則時，應特別注意以下幾點問題：

（1）洛必達法則在求極限的時候要求函數存在導數，且導數商的極限存在。

（2）洛必達法則可以連續使用，但是每次必須檢驗是否屬于“ ”型或者“ ”型未定式。如果不是，就不能使用洛必達法則。

（3）在求極限的過程中，有可約的因子或者極限不是零的因子，可以先約去或從極限符號內取出。

（4）不是任何未定式的極限都可以用洛必達法則求出極限。也就是說洛必達法則有時失效。

下面列舉一些具體的利用洛必達法則解決函數極限的問題.

例6 求極限 .

解這是一個 型的極限，滿足洛必達法則的條件，注意兩次使用洛必達法則，得

由于函數f（k=）ek，g（k）=3k2均滿足洛比達法則的條件，故再次利用洛比達法則得

盡管洛必達法則是求未定式極限的一種非常有效的方法，許多極限題目用了洛必達法則能很快得出結果，但是必須指出的是該法則并不是萬能的。對有些題目如使用法則求導后出現極限不存在的現象，法則就失效了，應改用其它求極限方法。

例如：當y→0時，函數中含有 時或當 函數中含有siny或cosy時.

但由于所舉例題有限，不可能將各種情況都提到。如果使用洛必達法則解題時，過程越來越煩且前景不太樂觀，就要及時停止，改用其他方法。因此在碰到具體問題時，還需根據實際情況靈活應用洛必達法則及其他方法求出其極限。