具有丟包補償的分布式一致性融合估計器

趙國榮，廖海濤，韓 旭，王元鑫

（海軍航空大學，山東煙臺264001）

近年來，網絡化多傳感器融合估計以其一系列優點已被廣泛應用于環境監測、目標跟蹤、導航定位等領域[1-7]。分布式一致性融合估計算法以其收斂速度快、融合精度高等優點引起了廣泛的關注與研究[8-12]。該類算法中每個傳感器節點均能視為融合節點，通過利用局部信息一致化全局信息，最終使得所有傳感器節點對目標的估計趨于一致[13-16]。文獻[13]設計了一種卡爾曼一致性濾波算法（KCF），各傳感器節點接收鄰居節點的測量值、狀態估計值和協方差值并進行一致化處理，使得所有傳感器節點的估計值趨于一致。為了提高KCF算法的估計精度和一致性，文獻[14-15]分別對KCF算法進行了改進。前者通過對協方差矩陣進行加權一致化處理，提出了一種信息矩陣加權一致性濾波算法（IM-KCF），并對加權系數進行了優化。后者則是通過一致化鄰居節點前一時刻的狀態估計值來修正局部狀態預測值，并給出了一種一致性增益的取值方法。文獻[16]通過設計濾波器增益的方法提出了一種基于一致性的線性濾波算法，該算法僅需交換各節點的局部狀態估計值，相比KCF算法計算量大大減少。以上文獻均沒有考慮網絡丟包問題。

在實際的應用中，由于網絡堵塞、外界干擾、傳感器故障等因素影響，網絡丟包不可避免。丟包問題往往造成分布式一致性估計算法的估計精度變差、抗干擾能力減弱，甚至導致系統變得不穩定。目前，針對這一問題已有一些研究。文獻[17]提出了帶丟包的分布式一致性濾波算法，并發現通過對起“領導”作用的傳感器節點進行控制可以降低丟包對融合性能的影響。文獻[18-19]通過設計自適應一致性權重值來解決數據丟包的問題，不同的是文獻[18]是根據各節點的估計值偏差大小來自適應修正一致性參數值，而文獻[19]則是利用模糊集合理論將不同節點對目標狀態不同的估計確信度引入到一致性權重值的更新中。以上文獻均著重考慮觀測數據丟失下的融合算法設計，且對觀測丟失沒有補償，對局部狀態估計值的丟失問題沒有進行研究。在分布式一致性框架下，各節點間局部狀態估計值的交換對估計器的融合性能起著至關重要的作用。因此，局部估計值的丟失問題不容忽視。

基于以上分析，區別于文獻[17-19]，本文考慮的隨機丟包現象存在于各傳感器節點間局部狀態估計值傳輸的過程中，并對丟包進行了補償。考慮到求得最優局部估計器增益的解析形式較為困難，利用不等式理論得到了一組次優估計器增益。同時，基于Lyapunov理論對算法的穩定性進行了分析。最后，通過數值仿真驗證了算法的有效性。

1 問題描述

考慮如下線性離散動態隨機系統：

式（1）、（2）中：x(k)∈?n和分別表示系統的狀態和第i個傳感器的測量輸出；A(k)∈?n×n和Ci(k)∈?mi×n表示系統矩陣和測量矩陣；系統噪聲w(k)∈?n和測量噪聲是零均值互不相關白噪聲，且滿足：

式（3）中：W和Vi分別是系統噪聲和測量噪聲的協方差矩陣；Ε{?}表示數學期望。

假設系統初始狀態值x(0)=x0，x0服從期望為μ0、協方差矩陣為P0的高斯分布，且與w(k)、vi(k)互不相關。

在分布式一致性融合框架下，各傳感器節點均能視為融合節點。第i個傳感器節點分兩步計算得到分布式一致性融合狀態估計值(k)。

Step 1：傳感器節點j(j=1,2,…,N)采用Luenberger型估計器產生局部狀態估計值φj(k)，形式為：

式中，Lj(k)為估計器增益。

Step 2：由于網絡延時、網絡堵塞、外界干擾等因素影響，傳感器節點j向節點i(i≠j)發送局部狀態估計值時會出現數據包丟失現象，本文將節點j的局部狀態估計丟失現象描述為：

式中，zji(k)表示節點j到達節點i處的信號。

{γji(k)}是滿足Bernoulli分布的隨機變量序列且不相關于其他變量，其概率分布為：

式中，αji表示傳感器節點j與i間傳輸通道的丟包率，滿足0＜αji＜1。

當γji(k)=1時，節點j發送到節點i的局部狀態估計值沒有丟失；γji(k)=0時表示局部狀態估計值丟失。為了減少丟包對節點i融合性能的影響，當節點j向節點i傳輸的局部估計值丟失時，采用上一時刻融合節點i處融合估計值的一步預測值作為補償，稱為重組局部狀態估計，記為，計算式為：

傳感器節點i將接收到的全部重組局部狀態估計值進行一致性加權融合，得分布式一致性估計值為：

式（8）中，pji(k)=pij(k)表示各節點間的一致性權重，且滿足和pji(k)≥0，pji(k)=0表示i和j節點間無通信。

注1：為了表述簡單和方便閱讀，將下文中不會造成誤解和不會影響閱讀性的時間標志忽略，例如將A(k)簡化為A，Ci(k)簡化為Ci等。

設融合節點i的狀態估計誤差為εi(k)，即

結合式（8）、（9）和（10）可得：

為了對整個分布式估計系統的融合性能進行分析，建立有限時域下分布式一致性狀態融合估計代價函數為：

2 次優的分布式一致性估計器設計

在給出主要結論前，首先給出以下引理。

引理1：[16]對于任意正整數N、非負標量組且滿足，向量組和矩陣組，則有以下不等式成立：

定義k時刻傳感器節點i處的狀態估計誤差協方差矩陣為，結合式（11）得：

式（12）等價于：

從式（13）可以看出，要得到優化問題（14）的最優估計器增益的精確解析式是非常困難的。因此，本文在保證融合性能損失不大的前提下，通過最小化代價函數的上界，得到一組次優的估計器增益。在給出次優解前，首先通過引理2找到代價函數的一個上界。

引理2：考慮如下差分方程：

式（15）中，Φi(0)=Pi(0),i=1,2,…,N。

對所有k≥0時，Pi(k)≤Φi(k)恒成立。

證明：

根據引理1并結合式（6）得：

然后，采取數學歸納法證明Pi(k+1)≤Φi(k+1)。

當k=0時，由已知條件得Φi(0)=Pi(0)。

假設k時刻，Pi(k)≤Φi(k) ，則：

綜合式（15）和（17）可得：Pi(k+1)≤Φi(k+1)成立。證畢。

根據引理2得到了融合估計誤差協方差矩陣的上界。記Φi(k)為次優矩陣，定義次優代價函數如下：

由引理2可知：

因此，通過求解式（18）便可得到一組次優的估計器增益Lc(K)，即：

根據引理2的結論和分析，以下定理給出優化問題（20）的最優解。

定理1：優化問題（20）的最優解為：次優代價函數(L(K))的最小值為：

證明：令優化問題（20）的最優解為：

任意一組可行解為：

分別將L*(K)和L(K)代入式（15）得到和。

要證式（22）成立，只需證明：

結合式（18）和（22），只需證明：

將式（21）代入式（15）得：

容易證明有以下恒等式成立：

則式（26）變形得到：

于是得到：

根據數學歸納法，k=0時，由已知條件知式（25）顯然成立；假設是正定矩陣，則有：

進一步得到：

將式（26）化簡便得到式（23）。證畢。

3 穩定性分析

在證明帶丟包的分布式一致性估計算法穩定性之前，給出如下引理：

引理3：[16]對于任意正整數N、非負標量組且滿足，向量組和正定矩陣Q，則有以下不等式成立：

定理2：對于給定的一致性權重p(k)，k＞0時，對于正定矩陣組，若存在正定對稱矩陣組和增益矩陣組L(K)滿足以下等式：

則帶丟包的分布式一致性融合狀態估計誤差εi(k)在無噪聲時是漸進穩定的，即。

證明：不考慮隨機噪聲影響，融合估計誤差為：

定義Lyapunov函數：

結合式（33）和（34）得：

由引理3和γji(k)的定義可得：

將式（36）交換求和順序并合并得到：

令：

即得到式（32）。

從而由以上分析得到了融合估計誤差漸進穩定的充分條件。

證畢。

4 算例仿真

考慮由4個傳感器節點組成的分布式一致性狀態融合估計問題，其中目標系統方程為：

4個傳感器的量測方程為：

q1(k)、q2(k)和q3(k)是互不相關的零均值白噪聲，其協方差分別為0.1、0.2和0.3。各初始值取如下：

給定一組一致性權重如下：

假設各傳感器節點間不同傳輸通道的丟包率為：

圖1給出了當發生丟包時各傳感器節點對目標軌跡的跟蹤情況。從圖1可見，本文所設計的分布式一致性融合估計算法在丟包時仍能很好地估計目標信息，且各節點對目標的估計趨于一致。

圖2給出了各傳感器節點次優矩陣的跡。從圖2可見，各節點次優矩陣的跡是收斂的。根據引理4，各節點融合估計誤差協方差的跡也是收斂的，從而驗證了定理2的正確性。

圖1 各傳感器節點目標軌跡跟蹤圖Fig.1 Tracking performance of each sensor node

圖2 各傳感器節點次優矩陣的跡Fig.2 Traces of sub-optimal matrices for each sensor node

定義系統的平均估計誤差和非一致性平均估計誤差為：

圖3給出了帶補償和無補償下的估計誤差對比。從圖3可見，帶有補償的估計精度和一致性都比無補償的估計精度和一致性高。從而說明本文采用的丟包補償方法能夠改善各傳感器節點對目標狀態估計的估計精度，增強估計的一致性。

圖3 帶補償和無補償的估計誤差對比Fig.3 Estimated error comparison with compensation and no compensation

5 結論

本文研究了具有局部狀態估計值丟失的網絡化多傳感器分布式一致性融合估計問題。在各傳感器節點融合端建立了具有補償的隨機丟包模型。為了簡化問題，利用不等式理論得到了一組次優估計器增益，并基于Lyapunov穩定性方法得到了估計器漸進穩定的充分條件。仿真結果表明，本文所設計的算法能夠有效降低局部狀態估計值丟失對融合性能的影響；同時也表明當發生丟包時采用補償比沒有補償具有更高的估計精度和更好的一致性。