帶角度約束的多飛行器編隊協同攔截制導律設計

王利國，馬國欣，矯永康

（1.北京青云航空儀表有限公司，北京順義101300；2.煙臺大學計算機與控制工程學院，山東煙臺264001；3.海軍航空大學，山東煙臺264001）

新的作戰需求和目標特性（如較高的速度、較強的機動能力）給攔截制導系統的設計帶來新的挑戰。針對此類問題，研究者在傳統制導律設計的基礎上，提出了很多新的攔截制導方法，如最優制導[1]、微分對策[2]、模糊變結構[3]、滑模制導[4]、微分幾何[5]及改進的比例導引[6]等方式。從體系對抗的角度來看，上述制導律的設計實施的是“一對一”的對抗策略。然而，在復雜環境下，隨著目標智能化程度愈來愈高，即使將單個飛行器的對抗性能發揮至極致，其探測能力和攔截能力也難以滿足高精度、高攔截概率的需求[7]。

在制導攔截過程中，采用多飛行器協同攔截的方案逐漸受到研究者的關注。多導彈編隊協同攔截，一方面可以通過飛行器間的信息共享完成對同一目標的協同探測，從而提高目標運動信息的測量精度[8-10]；另一方面，可以通過協同制導律的設計，以特定的編隊構型完成對同一目標的協同攔截，以擴大攔截區域的方式彌補單枚導彈對抗測量信息不準確及目標機動時的不足[11]。

目前，關于協同制導的研究多見于多飛行器對固定目標或慢速移動目標的協同攻擊[12-16]，此類研究中的制導律不能適用于目標高速運動的情況。Vermeulen A[11]等人證明了采用“二對一”的協同對抗策略能夠擴大攔截區域從而提高對運動目標的攔截概率，但并未探討協同攔截制導如何實現的問題。Piet-Lahanier H等人[17]采用預測控制的方法，設計了考慮攻擊同一目標時多枚導彈之間相互避碰的制導律。Shaferman V等人采用最優控制的方法設計了帶有指定角度約束的攔截制導律，通過為編隊中的導彈指定預設的攔截角度，多枚導彈能夠以特定的角度構型攔截目標[18]；之后，又通過不指定每枚導彈的具體攔截角度，而是控制編隊中導彈的相對攔截角度的方法實現了編隊的角度構型[19]。文獻[17-19]對攔截制導的研究，均未考慮對導彈飛行時間的控制調整，而實際上由于不同的發射時間、發射地點（或中段制導結束時不同的導彈位置）、飛行速度、飛行軌跡等多種因素的影響，編隊中的各導彈到達攔截點或攔截區域的時間差較大，嚴重影響了協同攔截的實現。文獻[20-22]在導彈徑向速度完全受控的假設下，設計了未考慮角度約束的協同制導律。此類制導律以徑向速度大小為協調變量，實質上是仿照了無人機的制導方式（速度可任意增減），且文獻[21-22]的本質是追蹤導引法，這對于攔截高速運動目標是不利的。

考慮到飛行器在徑向方向實現自由加減速是困難的，本文在傳統的飛行器徑向速度不受控的基礎上，重點圍繞飛行器編隊的時間協同展開。首先，在初始時刻，按照各飛行器攔截時間差最小及編隊整體攔截時間最小的策略為各飛行器分配預設的攔截角度。然后，利用最優控制求解飛行器以分配的角度攔截目標的導引指令，并給出飛行器剩余飛行時間的求解方法。最后，根據剩余時間一致性的原則，推導出各飛行器時間調整項的導引指令。仿真表明，提出的協同攔截制導方法能夠實現飛行器編隊以特定的角度構型對目標協同攔截。

1 問題的描述

由n枚彈組成的飛行器編隊對同一目標的攔截制導關系如圖1所示。

圖1 多飛行器協同攔截示意Fig.1 Cooperative interception geometry for multi-aircrafts

圖1中：下標i、j、T分別代表第i枚飛行器、第j枚飛行器和目標，i,j∈{1,2,…,n}；速度、法向加速度、航向角分別表示為V、a、θ；R、q分別表示慣性坐標系下的彈目距離、目標視線角；期望的終端攔截角度為θd1+θT，θd2+θT，…，θdn+θT；LOSi0代表初始視線方向，目標在垂直于此方向上的相對位移表示為ξ。

目標與飛行器在此方向上的加速度分量表示為：

第i枚飛行器與目標的相對運動方程為：

用ui表示導引指令，假定飛行器的側向機動具有理想動態，有

將導引指令ui分解為兩部分：

式（4）中：uA,i引導飛行器以分配的攔截角度攻擊目標；uB,i用于調整飛行器的剩余飛行時間。

2 協同攔截制導律設計

2.1 攔截角度分配策略

直接為飛行器M1、M2、…、Mn分別指定終端攔截角度θd1+θT、θd2+θT、…、θdn+θT，可以獲得期望的終端角度構型。然而，該方法沒有進行系統優化，可能造成不必要的能量損耗。

為使各飛行器能夠擇優選取終端攔截角度，需要按照一定的策略為飛行器分配攔截角度，即對于飛行器編隊{M1、M2、…、Mn}，及其需要實現的終端攔截角度集{θd1+θT、θd2+θT、…、θdn+θT}，尋求一組對應關系，使得終端攔截角度的分配滿足某種最優指標。

為建立攔截角度分配問題的數學模型，用Pi,j表示決策變量，當第i枚飛行器分配到第j個終端攔截角度時，Pi,j=1，否則Pi,j=0。用Ci,j表示第i枚飛行器以第j個終端攔截角度導向目標時，其初始剩余時間估計值。為有效實施多飛行器協同攔截制導，對于終端角度的分配，優化指標需考慮2個方面：一是期望各飛行器的飛行時間差較小，二是期望飛行器編隊的整體攔截時間較小。因此，考慮時間協同的攔截角度分配問題的優化模型描述為：

該問題屬于數學中的整數規劃問題，采用規劃算法可以得出問題的解。ω代表優化指標2個方面的權重。注意到，ω=1時，該問題退化為典型的目標分配問題。對于剩余時間估計值的解算見2.3節。

2.2 導引指令uA,i的解算

假定攔截過程中飛行器與目標偏離初始視線的角度較小，在此基礎上可采用線性化的方法推導導引指令uA,i。注意到，若初始時刻該小角度假設不能滿足，或飛行器與目標相對于初始視線有較大機動時，則可以采用擴展的線性化方法或Riccati方程等處理方法。

第i枚飛行器的狀態向量表示為：

那么第i枚飛行器的線性化方程為：

性能指標選取為：

采用最優控制理論求解，最終得到帶有攔截角度約束的最優導引指令為：

注意到當uB,i=0時，即對編隊中各飛行器的剩余飛行時間不進行控制調整，式（8）退化為文獻[18]給出的帶終端攔截角度約束的最優制導律；當bi→0時，NZEAE,i→0，即終端攔截角度不再受控，若ai→∞則NZEM,i→3/ki，式（8）退化為APN導引律。

Zi1(t)代表零能脫靶量（zero-effort miss），Zi2(t)代表零能攔截角（zero-effort angle），有

2.3 剩余時間估計及導引指令uB,i的解算

文獻[23]采用彈目距離除以平均速度的方式，給出了最優制導情況下帶終端攻擊角度約束的、針對固定目標的剩余時間估算公式：

下面將該方法推廣到針對運動目標的情況。

對于第i枚飛行器，用,T表示飛行器與目標相對運動的平均速度，有

采用泰勒多項式近似處理余弦項，得：

最終可得第i枚飛行器的剩余飛行時間估計值

注意到，利用式（11）求解初始時刻的剩余時間估計，可給出2.1節中所有Ci,j的值。

求解式（11）關于時間的導數，結合式（10）、（2）得：

結合式（3）、（4），式（12）可簡化為：

式（14）中，sij為二元函數，反映通信網絡的連接情況。

sii≡1；在t時刻，當第j枚彈至第i枚彈存在通信連接時，sij=1，否則sij=0。關于通信網絡的研究，文獻[24]已進行了重要的探討，這里不再論述。假定飛行器編隊具有全通信，即sij=1，?i,j∈{1,2,…,n}。

綜上，多飛行器協同攔截制導律由式（4）、（8）、（14）給出，編隊協同攔截制導框圖如圖2所示。

圖2 多飛行器協同攔截制導Fig.2 Cooperative interception guidance for multi-aircrafts

3 仿真結果與分析

2枚飛行器協同攔截同一目標，目標位于坐標原點(0,0 )，初始航向角0°，速度500 m/s。飛行器M1、M2初始坐標分別為(-5km,0km)、(-6km,0.5km)，初始航向角20°、-30°，M1速度為 500 m/s，M2速度為480 m/s。相對于目標運動方向，期望的攔截角度為20°、-20°。

3.1 對直線運動目標的攔截

對于目標直線運動的情況，若2枚飛行器采用文獻[18]給出的帶有終端角度約束的最優導引律，仿真結果如圖3所示。

文獻[18]給出的導引律對剩余飛行時間不進行控制，正如圖3b）所示，M1與M2的剩余時間差從制導開始保持到制導結束。

圖3 文獻[18]的方法對直線運動目標的攔截Fig.3 Interception for the linear movement target by the approach in[18]

飛行器按照指定的攔截角度攻擊目標，獲得的終端攔截角度分別為19.83°，-19.95°。飛行器M1的攔截時間為5.04 s，飛行器M2的攔截時間為6.20 s，二者相差1.16 s，相當于編隊整體作戰時間（6.20 s）的18.71%。若不考慮Y方向的速度分量，則2枚飛行器在攔截目標時的相對距離為580 m，這對于編隊的整體攔截制導效果是極為不利的。

采用本文給出的協同攔截制導方法：首先，通過式（11）求解初始時刻飛行器編隊的剩余時間估計值，得到以Ci,j為元素的2×2矩陣為[5.071 7,6.203 9;]5.051 1,6.277 6，取ω=0.5，得到由Pi,j為元素的2×2矩陣為[0，1；1，0]，即M1分配的攔截角度為 -20°，M2分配的攔截角度為20°；然后，采用設計的多飛行器協同導引律（導引參數取ai=105，bi=108，ci=3×104，i=1,2）。2枚飛行器能夠有效地調整剩余時間差，仿真結果如圖4所示。最終獲得的終端攔截角度分別為-20.20°，19.51°。攔截時間僅相差0.02 s，幾乎同時命中目標。

圖4 設計的協同制導方法對直線運動目標的攔截Fig.4 Interception for the linear movement target by the designed cooperative guidance approach

3.2 對機動目標的攔截

目標以3 g的側向加速度機動規避來襲飛行器。飛行器編隊采用文獻[18]的方法，過載限制為50 g。結果如圖5所示。最終獲得的攔截角度分別為20.09°、-19.80°，攔截時間分別為5.08 s、6.33 s。顯然，由于目標的實時機動，2枚飛行器的攔截時間差進一步增大，達1.25 s。

采用本文給出的協同攔截制導方法（導引參數同上），過載限制為50 g，仿真結果如圖6所示。最終獲得的攔截角度分別為20.37°、-20.21°，攔截時間分別為6.23 s、6.21 s。

比較圖6 a）與圖5 a）不難發現，相對于文獻[18]對飛行時間不控制的情況，采用協同攔截制導方法后，M1在向目標導引的過程中，通過適度的機動（將其彈道“壓得”更加彎曲）調整其剩余時間go,1趨向于go,2，而M2則將其彈道“拉得”更加筆直調整其剩余時間go,2趨向于go,1。當然，相比于飛行時間不控制的情況，這種剩余飛行時間的實時調整，使得過載的需求也變得更大。

圖5 文獻[18]的方法對機動目標的攔截Fig.5 Interception for the maneuvering target by the approach in[18]

圖6 設計的協同制導方法對機動目標的攔截Fig.6 Interception for the maneuvering target by the designed cooperative guidance approach

4 結束語

在初始時刻，以最小化飛行器間的飛行時間差與編隊整體飛行時間為指標，建立了攔截角度分配的數學模型。以編隊中各飛行器的剩余時間作為協同輸出量，通過求解帶終端角度約束的導引指令與用于調整剩余時間的導引指令，完成了多飛行器編隊協同攔截制導系統的設計。仿真表明，給出的制導方法能夠使飛行器編隊按照期望的攔截角度協同攔截同一目標。

在多飛行器協同攔截制導過程中，如何避免相互碰撞以及降低因調整飛行器飛行時間對過載的需求是下一步需要重點研究的課題。