采用絲杠傳動的電動舵機運動學分析

徐夢圓，林友志，章心怡

（1.江蘇科技大學計算機學院，江蘇鎮江212000；2.東南大學自動化學院，南京210000；3.江蘇科技大學能源與動力學院，江蘇鎮江212000）

電動舵機是一種典型高精度位置伺服系統，因具有體積小、重量輕、易于控制和可靠性高等特點，大量應用于飛機、導彈、火箭等飛行器[1-3]。在實際的飛行控制系統中，電動舵機是重要的執行機構，其中心任務是執行控制系統發出的指令，即根據飛行控制系統輸出的一定大小和極性的信號，驅動舵面按照要求快速、精準地偏轉。相較于直線電機作動器，采用絲杠傳動的旋轉舵機不僅充分利用了旋轉電動舵機結構緊湊、效率高的特點[4-5]，而且結合了絲杠靈活性具有減速比大、間隙低、載荷較大等顯著優點[6-7]，大大提高了整個系統的控制精度與動態響應，成為高性能的位置伺服作動器的重要組成部分，引起了國內外學者與研究機構的廣泛關注[8-9]。

目前，針對旋轉電動舵機構成的機電一體化伺服機構的研究主要集中于舵機系統結構設計與控制律設計等方面[10-12]。其中，文獻[13]設計了一個導彈舵機控制實驗系統，將設計出的控制律即刻加載到導彈舵機控制系統中進行驗證，并對設計參數進行調整，以獲取最優的控制律，然而文中并沒有針對系統結構設計、建模進行詳細闡述。文獻[14]介紹了一種稀土永磁直流伺服電機和精密微型滾珠螺旋副構成的電動舵機，作者偏重于伺服系統的各組成部分的功能設計。文獻[15]主要針對電動舵機存在的易受參數攝動及負載擾動影響、剛度較差的特點，采用魯棒控制理論，對電動舵機控制系統設計理論及方法進行了深入研究，但僅僅從控制方法入手對系統進行改善。由此可見，雖然傳動機構的分析設計在整個控制系統實現中必不可少，尤其是減少傳動過程中的非線性因素產生的振蕩及精準度下降等問題[16-17]，但針對伺服機構中機械傳動環節進行的分析，大多疏于詳細介紹機構中非線性建模環節，給實際的工程應用帶來了不便。近年來，為實現高保真度伺服系統的研究，細化考慮伺服系統的非線性環節逐漸增多。文獻[18]在針對“無刷直流電機/滾珠絲杠副/撥叉”類型電動舵機高保真建模時，介紹了傳動機構與負載建模，指出了機構帶來的非線性，但缺乏針對機構中的非線性環節進行詳細闡述。文獻[19-20]在對滾珠絲杠式電動舵機系統非線性特性分析時，主要偏重模型中的間隙與摩擦。本文結合實際伺服系統的作動場景，對傳動機構建立了數學模型，分析了電動舵機的旋轉運動在經搖臂傳動后轉為直線運動的過程，確立了傳動過程中的正逆運動學關系。對絲杠傳動過程中減速比隨著舵機轉角發生非線性變化進行了推導分析，得到了系統設計參數在運動過程中非線性變化趨勢。在機理分析的基礎上，并通過模型仿真對推導結果進行了驗證，對減少非線性帶來的系統振蕩，實現系統更精準的控制具有重要意義。

1 結構與工作原理

本文所述電動舵機伺服機構主要由電動機、齒輪減速機構、絲杠傳動機構、輸出機構及反饋信號裝置5個部分構成。其中，電動機為舵機系統提供原動力；減速機構主要由減速齒輪構成，通過減速比的調整來完成電動機輸出轉速與驅動舵面輸出轉速的匹配；絲杠傳動機構通過改變力的方向，以實現其曲線圓周運動到直線運動的轉變；輸出機構是由連桿和搖臂構成，通過連桿運動帶動搖臂輸出一定的偏轉角，進而作用于系統輸出舵面。

如圖1所示，在整個伺服系統機構簡圖中，當電動機接收控制器輸出的給定信號開始轉動，而后經過兩級減速器，再由絲杠將圓周運動轉化為直線運行，在此過程中，系統的運動信號傳遞始終是線性的。因連桿連接的搖臂在受往復慣性力的作用下，來回地周期性擺動，從而導致輸入信號與輸出信號的線性關系發生變化，在系統中引入了非線性環節，這也給復雜的實際系統分析增加了難度，甚至會導致系統內部發生振蕩等問題。因此，為了補償非線性環節，改善可能的系統振蕩，提高系統的輸出精度，基于該結構的模型建立與運動學分析尤為重要。

圖1 絲杠傳動的電動伺服系統簡圖Fig.1 Structure diagram of electric servo system driving by screw

2 數學模型

2.1 模型假設

考慮到雖然齒輪傳動間隙和零件彈性變形的因素不可避免，但對系統影響極小。為了便于模型的抽象和分析，引入如下基本假設：①忽略齒輪傳動間隙；②忽略零件的彈性變形。

2.2 模型建立

如前所述，輸出的非線性主要來源于輸出機構的連桿與搖臂，根據系統中輸出搖臂與連桿的連接情況，抽象為圖2模型。圖中以搖臂的固定輸出點為坐標原點，以搖臂和連桿垂直時搖臂所在位置的豎直向下方向為x軸正方向，以水平向右的方向為y軸正方向，從而復原了搖臂與連桿的空間關系。當搖臂向左擺動時所產生的回轉角θ為負，向右擺動θ為正。圖2中，R為搖臂的回轉半徑/mm；l為連桿的長度/mm；Δl為絲杠螺母運動位移量/mm；θ為搖臂往復運動的回轉角，且θ大小在實際的搖臂回轉范圍內。

圖2 傳動機構的抽象模型圖Fig.2 Abstract physical model of transmission section

3 逆運動學分析

3.1 位置逆運動學

在圖2坐標軸的基礎上，若伺服系統的實際輸出為期望輸出，即搖臂輸出的回轉角θ已知，那么根據圖2中的位置幾何關系，利用勾股定理可求解出絲杠螺母運動位移量為：

又因為絲杠移動位移量與電機輸出轉角需經過齒輪減速，則有電機機械角度α與絲杠移動位移量Δl的關系為：

式（2）中：i為舵機中齒輪傳動機構減速比；Ph為絲杠的導程/mm。

3.2 速度逆運動學

由位移與速度的物理關系，對式（2）求導，可得速度的逆運動學方程為：

電機轉速為：

4 正運動學分析

4.1 位置正運動學

從電動機運動到搖臂輸出時，若給定電機轉速一定，旋轉運動到直線運動的絲杠螺母運動位移量為Δl，對式（1）化簡后，兩邊取平方，求解得搖臂輸出回轉角與電機經絲杠輸出位移量的正運動學關系為：

4.2 速度正運動學

搖臂的回轉角速度為：

搖臂的回轉輸出轉速為：

5 仿真及結果分析

在Matlab中搭建絲杠傳動的電動舵機的運動學模型，對伺服系統的傳動機構進行了數值仿真，仿真分析用來研究絲杠傳動的電動伺服系統中傳動機構產生的非線性影響以及驗證機理分析的可靠性。仿真采用的舵機系統模型參數與實際伺服系統一致，具體如下：搖臂長度R=65mm，連桿長l=80mm，絲杠導程Ph=20mm，電動機額定轉速NR=1 600rpm，搖臂輸出回轉角最大范圍為(-30°,30°)。

若傳動機構中采用普通齒輪減速，且減速比i=2.8，當輸出搖臂回轉角在期望輸出范圍內時，此時傳動絲杠的位移變化量Δl。如圖3中實線所示，可知因受非線性因素的影響，絲杠隨搖臂回轉角的變化與理想的線性擬合存在帶狀的偏差，與上節分析一致，式（3）中由于傳動機構中三角函數的引入給系統模型帶來了非線性。

圖3 絲杠位移隨搖臂轉角變化關系Fig.3 Displacement of screw vs rocker arm angle

圖4與圖5分別表明了非線性環節對電機端輸出機械角與轉速產生的影響。其中，為保證輸出回轉角滿足要求，圖4中機械角發生了不規整的周期變化及幅值差異。而從圖5中可以看出，實際輸出的電機轉速在額定轉速附近變化。然而，在實際精密的伺服系統中，作為動力驅動，電機在接受控制器指令后，會準確地發生旋轉。因此，為了補償裝置中的非線性環節，利用上節的運動學分析設計相關參數。若采用行星齒輪、諧波減速轉置或螺母可調節的多齒輪結果的減速裝置，在電動機額定轉速下，可通過調節傳動機構中的減速比來減小系統的非線性影響，實現系統搖臂輸出角度在期望值的容差范圍內。針對本文的舵機系統，圖6給出了減速比隨搖臂回轉角的變化趨勢。

圖4 舵機周期運動機械角與搖臂轉角關系Fig.4 Periodic motion of electric actuator vs rocker arm angle

圖5 舵機輸出轉速與搖臂轉角關系Fig.5 Output speed of electric actuator vs rocker arm angle

圖6 減速比參數設計與搖臂轉角關系Fig.6 Parameter design of reduction ratio vs rocker arm angle

6 結論

本文通過對絲杠傳動的電動舵機伺服系統進行建模分析，對其中傳動機構的非線性環節，從位置、速度兩個方面進行了正逆運動學解算，利用推導的運動學方程對伺服系統中的傳動過程進行了分析，并在系統的數值仿真中，驗證了模型分析的正確性。在此基礎上，提出了一種通過傳動機構參數設計的方法補償伺服系統中的非線性環節，該方法從理論上能夠準確地補償系統中的非線性影響，而且思路明確、簡單易行，為提高系統的控制精度與降低系統跟蹤誤差提供了參考，具有一定的理論和工程價值。