基于圖像濾波的MTF檢測方法研究

解 靜，吳建福，胡永富

(1.北京空間機電研究所, 北京 100094； 2.中國空間技術研究院 天基空間目標監視技術核心專業實驗室， 北京 100094)

光學系統可以看作一個空間頻率的濾波器，它的成像特性和像質評價可以用物像之間的頻譜比來表示[1]。利用光學調制傳遞函數(modulation transfer function，MTF)作為重要指標測試鏡頭品質的方法已被廣泛認可，這種方法具有測量可量化、精確客觀等特點[2]。MTF的檢測系統隨著技術的發展也在不斷進步。由于CCD等成像器件的出現及發展使得基于圖像分析的MTF測試方法有了廣泛的應用前景，并使得快速方便地構建一個MTF測試系統成為可能。目前常用的測試MTF的方法有狹縫法、刃邊法、矩形波板法等[2-4]。這些方法均通過直接對圖像進行頻譜分析得到系統的MTF，但一次只能獲得一個方向的MTF，且計算方法對噪聲敏感，為快速有效地測試帶來了困擾。

由于光學成像系統可以作為一個空間頻率的濾波器，故可以從濾波的角度出發來分析成像系統。在圖像復原中，人們常根據圖像的退化模型來估計原圖像。同樣地，假若知道了原始圖像，便可以求出圖像的退化函數，退化函數即所要求的MTF[5]。本文利用圖像復原中經常用到的逆濾波法、維納濾波法以及約束最小二乘方濾波法來計算成像系統的MTF，力圖找到一種有效的二維MTF測試方法，直接得到各個方向的MTF，且能對噪聲進行一定的抑制，從而實現快速的MTF系統測試。

1 測試理論

成像系統可以看作一個線性、位置不變的過程，系統所成像在頻域圖像的退化模型可以由式(1)表示[6]。

G(u,v)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v)

(1)

式中：G(u,v)是所獲得圖像的傅里葉變換；H(u,v)是退化函數，也就是系統PSF的傅里葉變換，H(u,v)的模即所要求得的MTF；N(u,v)是加性噪聲的傅里葉變換。由式(1)可以看出：H(u,v)和F(u,v)地位是等同的，當已知H(u,v)時可以估計出F(u,v)。同理，也可以由F(u,v)求得H(u,v)[6]。在測試光學系統MTF時，若采用規則的目標物成像，F(u,v)可以通過目標物的方程推導求出。

當已知噪聲N(u,v)及退化函數H(u,v)的特性時，復原圖像為

當噪聲的影響很小或者噪聲已經被濾除時，N(u,v)可忽略，此時可以得到逆濾波的方法，復原圖像為

在知道F(u,v)和G(u,v)的情況下，可以反過來得到傳遞函數H(u,v)為

式(4)稱之為直接逆濾波法，是在噪聲影響很小或者噪聲已被濾除的情況下得到的。由于實際測量過程中噪聲的影響經常無法忽略，為此參考在處理存在噪聲的圖像復原問題時常用到的最小均方誤差濾波(即維納濾波)以及約束最小二乘方濾波器。

(5)

式中：Sη(u,v)為噪聲功率譜；Sf(u,v)為未退化圖像功率譜。若F(u,v)已知，可得系統的傳遞函數為

(6)

在維納濾波中用到了功率譜比Sη(u,v)/Sf(u,v)。功率譜比的常數估計一般沒有合適的解[7]，面對該問題人們提出了約束最小二乘方濾波器。這種方法只需噪聲方差與均值的知識。約束最小二乘方濾波法的頻域表示如式(7)所示：

式中：γ是1個參數，需對它調整以滿足需要，γ的求取是通過一個約束方程的限定而得到，具體求解可參見文獻[6]；P(u,v)是函數p(x,y)的傅里葉變換，p(x,y)為拉普拉斯算符。對調H與F可得系統MTF表達式：

(8)

2 試驗及結果分析

試驗中選擇頻域表述簡單的圓孔c(x,y,R)作為目標物，c(x,y,R)表示如下：

圓孔的傅里葉變換形式為

C(u,v)=RJ1(2πRq)/q

(10)

選擇直徑為20 μm的小孔作為目標物，搭建的試驗系統如圖1所示，對相機的中心視場進行測試。試驗中用到的平行光管焦距是200 cm，相機物鏡焦距為50.4 cm，CCD的像素尺寸為4.6 μm×4.6 μm。于是，根據物體在CCD上的理想成像大小可以得到理想像的頻域分布函數F(u,v)。由CCD得到的圖像經過傅里葉變換后得到G(u,v)。測得的圓孔像如圖2所示，三維顯示見圖3。

圖1 實驗裝置示意圖

圖2 測得圓孔像

圖3 圓孔像的三維顯示

對于測試所得圖片分別采用逆濾波法、維納濾波法以及最小二乘方濾波法來計算系統的MTF，并與傳統的狹縫法測得結果進行比較，以判斷這些方法的可靠性。狹縫法是利用狹縫模擬一個維度的脈沖函數，獲得一個方向的MTF值，再通過旋轉靶標獲得另一個方向的MTF。選取線陣CCD進行成像，其像素大小為7 μm。

1) 直接逆濾波法

在直接逆濾波法中不考慮噪聲帶來的影響，由幾何理想成像的關系可以計算得出理想像直徑為5 μm 的圓。根據式(4)得到二維傳遞函數，如圖4所示。圖5顯示了使用逆濾波法和狹縫法時在子午方向的比較。從圖7可以看出：使用狹縫法得到的結果與本文提出的逆濾波方法得到的結果有較好的一致性，證明了算法的正確性。

圖4 逆濾波MTF三維圖像

2) 維納濾波法

圖5顯示直接逆濾波法可以得到比較好的結果，但傳遞函數隨著噪聲的增加將受到較大的影響。嘗試利用圖像恢復的維納濾波法來求MTF。由式(6)可知，除了直接逆濾波法中需要的參數外，還需要知道起規整化作用的噪聲功率譜和圖像功率譜的比值Sη(u,v)/Sf(u,v)。但由于這兩個功率譜難于估計，故在實際計算中常采用常數γ來代替這個比值。在數值上，γ取觀測圖像信噪比的倒數[7]。維納濾波MTF三維圖像處理結果如圖6所示，圖7為使用維納濾波法和狹縫法得到的結果在子午方向的比較。從圖9可以看出，使用狹縫法得到的結果與使用本文提出的維納濾波法得到的結果有較好的一致性。

圖5 逆濾波子午方向MTF圖像

圖6 維納濾波MTF三維圖像

圖7 維納濾波子午方向MTF圖像

3) 約束最小二乘方濾波法

由于在實際計算中需要調制傳遞函數，故由式(9)利用最小二乘法計算得出系統傳遞函數時，除了需要直接逆濾波法所需參量外，還需要未知量γ的值。要求γ是一個必須可以調整的參量以滿足約束條件。通過迭代處理尋找最優的γ值以對噪聲進行抑制處理[7]。約束最小二乘方濾波法處理結果如圖8所示，圖9為使用約束最小二乘方濾波法和狹縫法時在子午方向的比較。從圖中可以看出，使用狹縫法與本文提出的約束最小二乘方濾波法有較好的一致性。

圖8 約束最小二乘方濾波法MTF三維圖像

圖9 約束最小二乘法子午方向MTF圖像

對以上3種方法在子午方向上的結果進行比較，結果如圖10所示，從圖中可以看出：3種方法在噪聲很小的情況下一致性較好，在低頻部分幾乎是相同的，僅在高頻部分有少許不同。為了分析在抑制噪聲方面3種方法的特點與不同，以Zemax中的sc_abin3鏡頭為例，對中心視場點擴散函數進行分析，并在圖片上人為加入噪聲來觀察不同方法對噪聲的作用效果。

圖11顯示了未加噪聲時3種方法和Zemax給出結果的比較。幾種方法的測試結果非常一致。在sc_abin3圖像數據上加入方差為0.000 2的高斯噪聲后，采用3種方法計算MTF，結果如圖12所示。

圖10 照相機物鏡的MTF測試結果對比

圖11 sc_abin3鏡頭的MTF測試結果對比

圖12 引入噪聲后3種方法比較

在處理過程中，由于約束最小二乘法在高頻部分對MTF的修正過大出現反轉現象，故使用約束最小二乘法時截去奈奎斯特頻率外的高頻部分。可以看出，3種濾波法在求MTF時對噪聲的抑制作用是不同的。直接逆濾波法和維納濾波法幾乎得到了一樣的結果，與理論值存在一定誤差；而約束最小二乘法的抑制噪聲效果最好，其結果也最接近未加噪聲前的理論值。然而，上述方法雖然對噪聲具備抑制作用，但獲得的MTF曲線存在抖動，最終需加入適當的平滑擬合處理后，可得到理想的MTF測試結果。

3 結束語

利用圖像處理的思想可以得到一種新的MTF的檢測方法：約束最小二乘方濾波法求取MTF值。與目前常用方法相比，這種方法不僅可以方便地在一次測量中獲得多維度的MTF結果，而且在抑制噪聲上具有良好的效果。值得注意的是，在實際測試中需要形狀規則完美的圓孔才能獲得準確的MTF，而隨著工藝的進步，完美圓孔的獲取已不是問題。另外，可以采取添加中繼鏡頭將較大的圓孔轉換成需要的小圓孔，從而避免小孔亮度低的情況發生。綜合考慮，在計算技術已經高度發達的今天，這種獲得MTF的方法具有一定的參考意義。