基于本原問題的數學題組設計

高建成

摘 要：題組教學可以通過不同條件、不同層次、不同背景、不同結構的變化，形成學生認知的稠密區，促使學生有效地加深對某一數學知識與方法的認識和理解.教師在題組設計中應關注題組變化中不變的本原，在題組變化中發現變化的規律，從而促進學生數學的思考與內化，提升解決問題的能力.

關鍵詞：本原問題；題組設計；規律

本原問題從學科教學的角度可理解為，哪些問題反映了該學習主題中最為原始、樸素、本質的觀念、思想和方法.一般地，以本原問題為藍本并加以變化、組合形成的系列問題稱為題組[1].通過例、習題組合、變式，讓學生在題組變化中找到不變的本原、在題組變化中發現變化的規律，從而促進學生數學的思考與內化，提升解決問題的能力.基于此，從課堂教學實踐來看，很多一線教師在嘗試進行題組教學，但他們對為什么進行題組設計，題組設計中組合些什么以及如何結合具體教學內容構造題組等問題并不清楚，本文將就這些問題進行探討.

一、為什么進行題組設計？

德國M.瓦根舍因和克拉夫基等范例教學論者認為，要克服傳統教學的弊端，就要重構教學內容，選擇學科材料中最典型的材料，形成認識的稠密區.顯然，在數學知識的稠密區里，數學的核心知識、方法、思想迅速匯集、交融，學生通過對這個稠密區的探究、發現、思考，逐漸形成一個整體的認識結構，達到把握數學本質的目的.也就是說學生通過數學題組學習，來掌握一般的數學原理和方法，掌握同一類知識的規律，舉一反三，獲得獨立思考、獨立解決問題的數學方法.

題組教學就是要基于本原問題，服務于教學目標，組合而形成一個認識的稠密區.教材中可供進行題組教學的材料是多種多樣的，對于同一內容，可以進行各式各樣的變化，題組的設計總是圍繞一個中心，有目的地進行，而這一中心和目的或是理解某一概念，或是用來解釋某一法則，證明某一性質，領悟某種思維方法等.

例如，在學習平方差公式[a+ba-b][=a2-b2]時，基于鞏固熟練的目的可設計題組一：[x+yx-y=_____]，[2a+3][2a-3][=_____]；基于揭示公式的結構特征的目的，可設計題組二：在下列空格橫線上填上適當的數或字母，使其可以用平方差公式計算，并寫出計算結果：[a-b-a+__=_______]，[-a-b-a+__=_______]；基于思想方法的目的可設計題組三：[a+b+c][a+b-c][=_____]，[a+b+ca-b-c=_____]；基于運用的目的，可設計題組四：[99×101=_____]，[998×1002=____]，一塊邊長為a的正方形土地，將一組對邊減少b，一組對邊增加b（b

對于不同的內容，組合的形式和目的也常常不同，例如，方程、不等式、函數是一個彼此聯系、可以相互轉化的整體，為提高學生對此的認識，在教學中，可通過解法變式、組合進行溝通.

二、題組設計中組合什么？

課堂教學實踐中的問題設計，有時不能深刻分析哪些是本質特征，哪些是非本質特征，哪些是教學重點，哪些是教學難點，僅僅根據已有的教學經驗作問題的組合，往往使得“組合什么”“不組合什么”具有很強的隨意性，表現為隨意變換問題的條件、結論等.

從一般意義上說，組合是相對于某種范式（即數學教材中具體的數學思維成果，含基本知識、知識結構、典型問題、思維模式等）的變化形式，就是不斷變更問題的情境或改變思維的角度.組合的內涵似乎透露這樣的理念：無論是對事物的認識還是概念的獲得都涉及一個“變”字——“無關特征或非本質特征的變化”.

例如，用十字相乘法因式分解[x2+4x+3]，其中字母x，數字4，3都是該問題的非本質屬性，可以隨意進行變化，但這些對問題的本質影響不大.這一問題的本質屬性是式子的結構特征：式子都可以表達為[x2+a+bx+ab].對問題進行組合變化，常常就是對某一屬性加以變化，如對字母x加以變化，題組可設計為：[n2+4n+3]，[a+b2+][4a+b+3]等；若對數字1，4，3加以考慮，題組可設計為[2x2+x-3]，[3x2+11x-4]等；為增加難度，兩者也可同時組合.還可以從問題的呈現形式上加以考慮，如改為開放性問題，為二次三項式[x2+4x+___]補上常數項（整數），使其可以用十字相乘法因式分解，這就開始涉及式子的結構特征問題了，當然還可進一步發展，在式子[x2+4x+___]空格處填上適當的數，使其可以在實數范圍內因式分解.

由此看來，對問題進行組合，首先要能深刻分析問題的“屬性”，并在此基礎上結合教學的重點、難點，確立“組合點”.但我們必須意識到“不變量”與“不變性”才是組合的本質特征.

三、怎樣進行題組設計？

荷蘭數學教育家費賴登塔爾的再創造學習理論認為，數學學習是學生本人把要學的東西去發現或再創造出來.用再創造的方法去進行教學，而創造來源于問題的提出.教師在根據學生認知的心理水平和原有的知識經驗基礎上，把習題內容創造性地加工，給學生構造、組合一個思維探索的空間，幫助學生去進行再創造.所以，問題的組合應該符合下面要求.

首先，學生在已有的認知結構中有解決習題的知識基礎.（能學）

其次，習題中呈現的問題以已有的認知，有內涵與外延關系、上位與下位的關系、層次的邏輯關系，從而使得知識更加擴充、深入，更具代表性.（該學）

最后，讓學生與生活、熱點問題、數學的通性問題去聯系，從而產生新的問題，對知識進一步的掌握、理解.（想學）

基于以上認識，對如何構造數學題組很有啟發：

（1）數學題組是針對本原問題而言的，由此可見，首先要確定合適的本原問題.

（2）對問題系統進行分析，確定核心要素.對問題結構進行分析，確定組合的層次.

（3）對問題進行再創造.如改變例題、習題的條件或結論，如改變數字、改變符號；或將問題通過特殊化、一般化等方式加以推廣或拓展等；或交換（部分）條件與（部分）結論；或改變題目的背景，改變問題的題型（變封閉題型為開放題型）等.

例如，針對二次函數這一本原問題，在許多方面有著廣泛的運用，為提高學生對這部分內容的認識水平和遷移能力，可通過下列組合設計問題.

本原問題：求二次函數[y=-x2+8x-10]的頂點坐標.

這是一道基本也是典型的二次函數問題.結合問題屬性和呈現方式可進行一系列變式.

改變問法，可得：

問題1：求二次函數[y=-x2+8x-10]的最大值.

改變拋物線解析式，即拋物線不是“標準式”，而是“非標準式”那又會怎樣？

問題2：求二次函數[y=-x2+8x]的頂點坐標.

改變問題的隱含條件，即自變量x的取值范圍不是實數，而是實數的子集又會怎樣？

問題3：求二次函數[y=-x2+8x]的最大值（[3≤x≤5]）.

改變問題的背景，可得：

問題4：一個矩形的周長為16，求該矩形面積的最大值.

改變問題的解法，可得：

問題5：你能用與上述解法不同的方法解答上述問題嗎？

如果問題的條件不是以直接方式給出，而是以另一方式呈現又會怎樣？

問題6：一個周長為定長的矩形ABCD，已知當AB=2或AB=4時，矩形的面積相等.由此你能確定該矩形的周長嗎？你能確定矩形面積的最大值嗎？如果可以，請直接寫出結果.

交換條件和結論，可得：

問題7：若二次函數的頂點坐標為（4，6），寫出符合條件的一個二次函數解析式.

如果自變量不是連續變量，而是離散變量，那又怎樣？

問題8：已知關于正整數n的二次函數[y=n2+an]（a為實常數），當且僅當n=5時，y有最小值，則實數a的取值范圍是_____.

如果是含參數問題，變化之中又有哪些不變性呢？

問題9：設函數y=（x-1）[（k-1）x+（k-3）]（k是常數）.①請你在同一直角坐標系中畫出當k取0，1和2時的函數圖象；②根據圖象，寫出你發現的一條結論.

通過這一題組的設計，可以讓學生感受到這類問題的本質.同時，學生通過問題跟進式的探究學習，可以為課堂節省很多時間，使得探究不再是難事，進一步提高課堂效率.讓學生參與問題的編擬，體驗發現問題、提出問題及解決問題的過程，理解這類問題的實質，從而進行“再創造”.

教師能夠找到一個本原問題進行巧妙引導，不斷地進行問題組合，把學生的思路引向問題的拓展點，并在拓展點處設問，挖掘思維的深度，這樣學生思維的條理性和創造性就得以有效培養.

參考文獻：

[1]陳鋒，薛鶯.例談中考復習課的題組教學[J].中學數學教學參考（中旬），2017（6）：51.