五軸數(shù)控機(jī)床的加工精度建模研究*

范晉偉 齊國(guó)超 陶浩浩 賈 鑫 李相智

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京100124)

數(shù)控機(jī)床作為機(jī)械制造行業(yè)中使用面最廣、使用量最大的高新技術(shù)產(chǎn)品，是精密和超精密加工的重要基礎(chǔ)裝備[1]。由于近年來(lái)，制造行業(yè)對(duì)具有復(fù)雜幾何形狀和高尺寸精度的機(jī)械零部件的需求急劇增加，五軸機(jī)床得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用[2]。機(jī)床的加工精度是衡量機(jī)床工作性能的重要指標(biāo),而由關(guān)鍵零部件幾何誤差耦合而成的機(jī)床空間誤差是影響其加工精度的主要原因[3-5]。因此，研究基于關(guān)鍵零部件幾何誤差的數(shù)控機(jī)床精度模型很有意義。

在精度分析方面，人們已經(jīng)開(kāi)展了大量的研究工作，并取得了大量的研究成果，產(chǎn)生出多種不同的空間運(yùn)動(dòng)誤差數(shù)學(xué)模型建模方法，如幾何建模法、誤差矩陣法、二次關(guān)系模型法、機(jī)構(gòu)學(xué)建模法、剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)法和多體系統(tǒng)理論法等[6-8]。Denavit和 Hartenberg等首先利用齊次坐標(biāo)變換的方法建立了多軸數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)模型。隨后 Paul 對(duì)該模型進(jìn)行了改進(jìn)，為通用誤差模型的建立奠定了基礎(chǔ)[9]。2012 年劉志峰等[10]利用多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論建立了精密立式加工中心的精度預(yù)測(cè)模型，通過(guò)對(duì)典型試件的模擬加工實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)床的精度預(yù)測(cè)，為實(shí)現(xiàn)精度分配提供了理論依據(jù)。同年，Zhu 等[11]基于多體系統(tǒng)理論提出一種綜合幾何誤差模型、辨識(shí)和誤差補(bǔ)償?shù)男路椒ǎㄟ^(guò)對(duì)五軸加工中心幾何誤差的辨識(shí)，驗(yàn)證了該方法在提高零部件精度方面的有效性。本文基于多體理論對(duì)機(jī)床整機(jī)進(jìn)行誤差分析，并運(yùn)用齊次坐標(biāo)變換矩陣對(duì)機(jī)床的加工精度進(jìn)行建模，為后續(xù)的精度設(shè)計(jì)工作奠定理論基礎(chǔ)。

1 數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)分析與描述

以某機(jī)床廠的五坐標(biāo)雙墻龍門(mén)數(shù)控機(jī)床為例。如圖1所示，該機(jī)床由工作臺(tái)、X向?qū)к墶⒘锇濉⒒怼軸、A軸和刀具7個(gè)關(guān)鍵零部件構(gòu)成，其中溜板沿著Y軸方向移動(dòng)，滑枕沿著Z軸方向移動(dòng)，A軸和C軸分別繞X軸和Z軸旋轉(zhuǎn)。

基于多體理論，根據(jù)零部件間的裝配關(guān)系，建立如圖2所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖。

2 數(shù)控機(jī)床加工精度模型的建立

根據(jù)數(shù)控機(jī)床的7個(gè)關(guān)鍵零部件，可以將其分為工件分支和刀具分支兩個(gè)部分。為機(jī)床各個(gè)零部件建立自己的右旋笛卡爾坐標(biāo)系Oj-xjyjzj(j=0,1,2,…)，設(shè)工件坐標(biāo)系為Ow-xwywzw，刀具坐標(biāo)系為Ot-xtytzt，機(jī)床坐標(biāo)系(即工作臺(tái)坐標(biāo)系)為O1-x1y1z1。

設(shè)Pt為刀具成形點(diǎn)，Vt為刀具姿態(tài)(我們把固定在刀具上的矢量來(lái)描述刀具在坐標(biāo)系中的姿態(tài))；Pw為刀具的理論刀具路線，Vw為加工工藝確定的刀具姿態(tài)。通過(guò)以上分析可得，Pt與Vt和Pw與Vw在工作臺(tái)坐標(biāo)系O1-x1y1z1中的位置可分別表示為：

·[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se}{rt}

(1)

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se}{τt}

(2)

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se}{rw}

(3)

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se}{τw}

(4)

式中：{rt}和{rw}分別為刀具成形點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系Ot-xtytzt和工件坐標(biāo)系Ow-xwywzw中的位置矩陣表達(dá)式；{τt}和{τw}分別為刀具在刀具坐標(biāo)系Ot-xtytzt和工件坐標(biāo)系Ow-xwywzw中的位姿矩陣表達(dá)式。

在機(jī)床的實(shí)際切削過(guò)程中，刀具成形點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡和刀具位姿都不可避免地會(huì)偏離理想運(yùn)動(dòng)軌跡和姿態(tài)[12]。所以，機(jī)床的加工精度模型可以表示為：

{er}=(erxeryerz0)T={Pw}-{Pt}

刀具成形點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)位置與理想運(yùn)動(dòng)位置誤差；{eτ}為：

{eτ}=(eτxeτyeτz0)T={Vw}-{Vt}

刀具實(shí)際位姿與理想位姿誤差。

3 五軸數(shù)控機(jī)床幾何誤差分析與建模實(shí)例

以某機(jī)床廠的五坐標(biāo)雙墻龍門(mén)數(shù)控機(jī)床為例，基于多體系統(tǒng)理論，分別建立機(jī)床各關(guān)鍵零部件的子坐標(biāo)系，并對(duì)機(jī)床的幾何誤差進(jìn)行分析。利用各關(guān)鍵零部件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和裝配關(guān)系建立坐標(biāo)變換矩陣，從而推導(dǎo)機(jī)床加工精度模型。

3.1 五軸雙墻龍門(mén)數(shù)控機(jī)床幾何誤差分析

影響數(shù)控機(jī)床加工精度的誤差源主要有幾何誤差、熱誤差、載荷誤差和伺服系統(tǒng)誤差等[13]。其中幾何誤差，受環(huán)境因素影響小，易于測(cè)量，且無(wú)論哪種誤差，其最終表現(xiàn)形式都可以用前面敘述的幾何誤差分析運(yùn)動(dòng)建模方法來(lái)表述。因此本文研究的重點(diǎn)是將幾何誤差作為基本誤差源。五軸雙墻龍門(mén)數(shù)控機(jī)床擁有7個(gè)關(guān)鍵運(yùn)動(dòng)部件，各個(gè)關(guān)鍵零部件的誤差可分為靜態(tài)誤差和運(yùn)動(dòng)誤差兩個(gè)部分[14]。

根據(jù)剛體六自由度假設(shè)理論，剛體在三維空間中每個(gè)軸運(yùn)動(dòng)必然會(huì)產(chǎn)生六項(xiàng)誤差(三項(xiàng)線位移誤差、三項(xiàng)角位移誤差)，五個(gè)軸共有30項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差；此外3個(gè)平動(dòng)軸之間兩兩存在3項(xiàng)垂直度誤差，并且A軸與Y軸和Z軸以及C軸與X軸和Y軸之間存在4項(xiàng)垂直度誤差，即7項(xiàng)靜態(tài)誤差。所以，五軸雙墻龍門(mén)數(shù)控機(jī)床的幾何誤差參數(shù)一共37項(xiàng)，如表1所示。

3.2 機(jī)床關(guān)鍵零部件子坐標(biāo)系的建立

在初始條件下各運(yùn)動(dòng)部件的體坐標(biāo)系與其運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系重合，也就是在初始條件下只要確定了某運(yùn)動(dòng)部件的運(yùn)動(dòng)參考系方位也就確定了其體參考坐標(biāo)系的方位。

表1 五軸數(shù)控機(jī)床37項(xiàng)幾何誤差

沿X軸平動(dòng)εx(x)εy(x)εz(x)δx(x)δy(x)δz(x)沿Y軸平動(dòng)εx(y)εy(y)εz(y)δx(y)δy(y)δz(y)沿Z軸平動(dòng)εx(z)εy(z)εz(z)δx(z)δy(z)δz(z)繞C軸轉(zhuǎn)動(dòng)εx(β)εy(β)εz(β)δx(β)δy(β)δz(β)繞A軸轉(zhuǎn)動(dòng)εx(α)εy(α)εz(α)δx(α)δy(α)δz(α)垂直度εxy,εxz,εyz,εcx,εcy,εay,εaz

首先確定各個(gè)子坐標(biāo)系的方向：選取機(jī)床坐標(biāo)系(也就是工作臺(tái)坐標(biāo)系)的方向?yàn)榛鶞?zhǔn)方向，令機(jī)床坐標(biāo)系和X向?qū)к壍倪\(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系與基準(zhǔn)坐標(biāo)系方向一致；令基準(zhǔn)坐標(biāo)系繞其Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)垂直度εxz后的坐標(biāo)系為Y向溜板(B3)的運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系；令Y向溜板(B3)的運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系分別繞其X、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)εzy、εxy后的坐標(biāo)系為Z向滑枕(B4)的運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系；令Z向滑枕(B4)的運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系繞X、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)εyc、εxc后為C軸(B5)的運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系；令床身的運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系分別繞Y、Z軸轉(zhuǎn)過(guò)εyc、εyc后為A軸(B6)的運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系。

其次，確定各個(gè)子坐標(biāo)系之間的位置：B6體與刀具參考坐標(biāo)系均位于A軸旋轉(zhuǎn)中心軸與刀具中心軸交點(diǎn)處(O1)；其它個(gè)體的子坐標(biāo)系均位于機(jī)床坐標(biāo)系原點(diǎn)處。

3.3 特征矩陣

在初始條件下，O1在機(jī)床坐標(biāo)系下坐標(biāo)為(q1xq1yq1z1)T，工件坐標(biāo)系相對(duì)于工作臺(tái)坐標(biāo)系的位置為{Tw}。綜上分析，各關(guān)鍵零部件特征矩陣如下所示：

[S12]p=[S12]pe=E4×4

[S23]p=E4x×4

[S34]p=E4×4

[S45]p=E4×4

3.4 五軸雙墻龍門(mén)數(shù)控機(jī)床加工精度模型的建立

初始條件下，實(shí)際刀具中心在刀具坐標(biāo)系的位置為{rt}=(0 0 -L1)T，L為刀具長(zhǎng)度，實(shí)際刀具位姿在刀具坐標(biāo)系中表達(dá)式為{τt}=(0 0 -1 0)T；在工件坐標(biāo)系下，理論刀具路線為{rw}=(xwywzw1)T，理論刀具位姿{(lán)τw}=(xvyvzv0)T，由此可以得到在工作臺(tái)坐標(biāo)系下，刀具實(shí)際成形點(diǎn)的位置為：

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se]{rt}

=[S12]p·[S12]pe·[S12]s·[S12]se·[S23]p·[S23]pe·

[S23]s·[S23]se·[S34]p·[S34]pe·[S34]s·[S34]se·

[S45]p·[S45]pe·[S45]s·[S45]se·[S56]p·[S56]pe·

[S56]s·[S56]se·[S67]p·[S67]pe·[S67]s·[S67]se·{rt}

(5)

刀具實(shí)際位姿表達(dá)式為：

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se]{τt}

=[S01]p·[S01]pe·[S01]s·[S01]se·[S12]p·[S12]pe

·[S12]s·[S12]se·[S23]p·[S23]pe·[S23]s·[S23]se·

[S34]p·[S34]pe·[S34]s·[S34]se·[S45]p·[S45]pe·

[S45]s·[S45]se·[S56]p·[S56]pe·[S56]s·[S56]se{τt}

(6)

理論刀具路線在工作臺(tái)坐標(biāo)系中的位置為：

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se}{rw}=Tw{rw}

(7)

理論刀具路線在工作臺(tái)坐標(biāo)系中的位姿為：

[SLt(j)Lt-1(j)]s·[SLt(j)Lt-1(j)]se}{τw}=Tw{τw}

(8)

所以，刀具切削點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)位置與理想運(yùn)動(dòng)位置誤差:

{er}=(erxeryerz0)T={Pw}0-{Pt}0

(9)

將變換矩陣代入方程(5)、(7)和(9)中，消去高階無(wú)窮小量，可得：

erx=δx(x)+δx(y)-qwx-xw+x+δx(c)×cos(c)+

δy(c)×sin(c)-ezx×y+qtx×cos(c)

(10)

ery=δy(x)+δy(y)-qwy-yw+y-δx(c)×sin(c)+δy(c)×

cos(c)-q1z×cos(c)

(11)

erz=δz(x)+δz(y)-qwz-zw+z+cos(A)-sin(A)×exc+δz(z)

(12)

刀具實(shí)際位姿與理想位姿誤差:

{eτ}=(eτxeτyeτz0)T={Vw}0-{Vt}0，

(13)

將變換矩陣代入方程(6)、(8)和(13)，經(jīng)整理消去高階無(wú)窮小量，可得：

{eτx}=cos(α)×[-εy(y)-εy(x)-cosγ]-εxz+εyc×sinγ+
εx(γ)×sinγ-εxc×cosγ-εy(z)

(14)

{eτy}=-εx(α)×sin(α)-εx(γ)×sinγ-εy(γ)×sinγ-εx(z)-
εx(γ)×cosγ+cosα×[-εx(z)+εx(γ)×cosγ]

(15)

{eτz}=-cosα-zv+cosγ×[-εy(z)-εy(y)-εy(x)]-εy(α)×cosα+
sinα×{cosγ×[εx(x)+εx(y)+εx(z)-εxz]}+εx(α)×sinα

(16)

從而得到五軸雙墻龍門(mén)機(jī)床的加工精度模型。

3.5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文利用雙頻激光干涉儀和雙球桿儀，并結(jié)合九線法，辨識(shí)出該機(jī)床的37項(xiàng)幾何誤差。在測(cè)量機(jī)床的定位誤差中，為了降低試驗(yàn)的難度，試驗(yàn)時(shí)滑動(dòng)橫梁靜止不動(dòng)，垂直滑枕沿活動(dòng)橫梁導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，且A軸和C軸的轉(zhuǎn)角設(shè)置為0°，在垂直滑枕工作行程范圍內(nèi)取20個(gè)測(cè)量點(diǎn)，通過(guò)試驗(yàn)測(cè)量得到垂直滑枕運(yùn)動(dòng)到測(cè)量點(diǎn)位置處切削點(diǎn)x、y、z三個(gè)方向上的位移誤差以及分別與之對(duì)應(yīng)的37項(xiàng)幾何誤差變量。

表2 幾何誤差傳遞模型性能指標(biāo)

方向誤差名稱最大絕對(duì)誤差/μm誤差均值/μmX向?qū)崪y(cè)誤差26.121.75殘余誤差3.11.9Y向?qū)崪y(cè)誤差24.320.05殘余誤差4.41.95Z向?qū)崪y(cè)誤差12.219.05殘余誤差5.33.2

將測(cè)量的37項(xiàng)幾何誤差變量帶入式(10)、(11)、(12)中，計(jì)算出刀具切削點(diǎn)在X、Y、Z三個(gè)方向的誤差并將其與試驗(yàn)測(cè)量的結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)精度。結(jié)果如圖3～5及表2所示。

其中，殘余誤差=實(shí)測(cè)誤差-模型預(yù)測(cè)誤差。

由表2可知，本文建立的機(jī)床加工精度模型有比較理想的預(yù)測(cè)性能。

4 結(jié)論

(1)通過(guò)對(duì)五軸雙墻龍門(mén)數(shù)控機(jī)床進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，并利用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)該機(jī)床結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述，將機(jī)床簡(jiǎn)化為7個(gè)關(guān)鍵零部件，并對(duì)每個(gè)運(yùn)動(dòng)部件建立子坐標(biāo)系和運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系。

(2)對(duì)五軸雙墻龍門(mén)數(shù)控機(jī)床的幾何誤差進(jìn)行分析，得出機(jī)床37項(xiàng)幾何誤差。

(3)利用多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論推導(dǎo)出機(jī)床各運(yùn)動(dòng)部件之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)變換矩陣，進(jìn)一步推導(dǎo)出機(jī)床的加工精度模型，為今后機(jī)床加工精度的預(yù)測(cè)工作打下基礎(chǔ)。