概率與統計精選88題

■本刊編輯部

1.某高校在2017年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績,按成績共分五組,得到頻率分布表,如表1所示。

表1

(1)請求出①②位置相應的數字,并補全頻率分布直方圖(如圖1)。

圖1

(2)為了能選出最優秀的學生,高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12人進入第二輪面試,求第3、4、5組中每組各抽取多少人進入第二輪的面試。假定考生“XXX”的筆試成績為178分,但不幸沒入選這100人中,那這樣的篩選方法對該生而言公平嗎?為什么?

(3)在(2)的前提下,學校決定在12人中隨機抽取3人接受“王教授”的面試,設第4組中被抽取參加“王教授”面試的人數為ξ,求ξ的分布列和數學期望。

2.某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額商品后即可抽獎,每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎。

(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;

(2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X,求X的分布列和數學期望。

3.新生兒Apgar評分,即阿氏評分是對新生兒出生后總體狀況的一個評估,主要從呼吸、心率、反射、膚色、肌張力這幾個方面評分,滿10分者為正常新生兒,評分7分以下的新生兒考慮患有輕度窒息,評分在4分以下考慮患有重度窒息,大部分新生兒的評分多在7～10分之間,某市級醫院婦產科對1月份出生的新生兒隨機抽取了16名,表2記錄了他們的評分情況。

表2

(1)現從16名新生兒中隨機抽取3名,求至多有1名評分不低于9分的概率;

(2)以這16名新生兒數據來估計本年度的總體數據,若從本市本年度新生兒中任選3名,記X表示抽到評分不低于9分的新生兒數,求X的分布列及數學期望。

圖2

4.為了研究某學科成績是否與學生性別有關,采用分層抽樣的方法,從高三年級抽取了30名男生和20名女生的該學科成績,得到如圖2所示男生成績的頻率分布直方圖和如圖3所示女生成績的莖葉圖,規定80分以上為優分(含80分)。

圖3

(1)①請根據圖示,將表3所示的2×2列聯表補充完整:

表3

②據此列聯表判斷,能否在犯錯誤概率不超過10%的前提下認為“該學科成績與性別有關”?

(2)將頻率視作概率,從高三年級該學科成績中任意抽取3名學生的成績,求成績為優的人數X的期望和方差。

附:表4和參考公式。

表4

5.學校游園活動有這樣一個項目:甲箱子里裝1個白球、2個黑球,乙箱子里裝1個白球、1個黑球,這些球除顏色外沒有區別。規定:從甲箱子中摸出1個白球記2分,摸出1個黑球記0分;從乙箱子中摸出1個白球記1分,摸出1個黑球記0分。從甲、乙箱子中各摸1個球叫摸球一次(摸后放回),每個人有兩次摸球機會,若兩次摸球的總得分大于等于4分即獲獎。

(1)記摸一次球的得分為X,求隨機變量X的分布列和數學期望;

(2)求一個人獲獎的概率。

6.高三(5)班共有學生40人,將數學月考成績(單位:分)繪制成頻率分布直方圖,如圖4所示。

(1)請根據圖中數據,求出a的值;

(2)從成績在[50,70)內的學生中隨機選3名學生,求這3名學生的成績都在[60,70)內的概率;

(3)為了了解學生本次考試的失分情況,從成績在[50,70)內的學生中隨機選取3人的成績進行分析,用X表示所選學生成績在[60,70)內的人數,求X的分布列和數學期望。

圖4

7.計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站,過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量x(年入流量:一年內上游來水與庫區降水之和。單位:億立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年。將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率,并假設各年的年入流量相互獨立。

(1)求未來4年中,至多1年的年入流量超過120的概率。

(2)水電站希望安裝的發電機盡可能運行,但每年發電機最多可運行臺數受年入流量x的限制,并有如表5所示的關系:

表5

若某臺發電機運行,則該臺年利潤為5000萬元;若某臺發電機未運行,則該臺年虧損800萬,欲使水電站年利潤的均值達到最大,應安裝發電機多少臺?

8.2017年的支付寶“集福”活動從2017年1月18日開始推出后,隨即成為一場全民狂歡,五福相關話題幾乎每天都出現在微博熱搜,據悉,到開獎時,共有1.679億的用戶集齊五福。某調查機構隨機抽取200名集齊五福的支付寶用戶進行調查,這200名用戶集福所獲紅包金額(單位:元)均在(0,5]內,所取樣本數據分組區間為(0,1],(1,2],(2,3],(3,4],(4,5],由此得到如圖5所示的頻率分布直方圖。

(1)求c的值,并求出這200名用戶集福所獲紅包金額在(0,1]內的人數;

(2)求集齊五福的支付寶用戶所獲紅包金額的平均值;

(3)若在這200名用戶中按照分層抽樣在(1,3]中抽取6人,再從6人中挑選2人發表獲得紅包的感想,求至少有1人獲得的紅包金額在(2,3]內的概率。

圖5

參考答案

1.(1)由題意知,5組頻率總和為1,故第3組頻率為0.3,即①處的數字為0.3;總的頻數為100,因此第4組的頻數為20,即②處的數字為20。頻率分布直方圖如圖6所示。

圖6

(2)第3、4、5組共60名學生,現抽取12人,因此第3組抽取的人數為×12=6(人),第4組抽取的人數為×12=4(人),第5組抽取的人數為×12=2(人)。

公平:因為從所有的參加自主招生考試的考生中隨機抽取100人,每個人被抽到的概率是相同的。(只寫“公平”二字,不寫理由,不給分)

(3)ξ的可能取值為0,1,2,3。

故ξ的分布列如表6所示。

表6

2.(1)記事件A1={從甲箱中摸出的1個球是紅球},A2={從乙箱中摸出的1個球是紅球},B1={顧客抽獎1次獲一等獎},B2={顧客抽獎1次獲二等獎},C={顧客抽獎1次能獲獎},由題意知,A1與A2相互獨立,A1A2與A1A2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1A2+A1A2,C=B1+B2。

因故P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,P(B)=P(AA+AA)=21212P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=

(2)顧客抽獎3次為獨立重復試驗,由(1)可知,顧客抽獎1次獲一等獎的概率為

故X的分布列如表7所示。

表7

3.(1)設Ai表示所抽取3名中有i名新生兒評分不低于9分,至多有1名評分不低于9分記為事件A,則P(A)=P(A0)+

(2)由題意知X的可能取值為0,1,2,3。由表格數據知,從本市本年度新生兒中任選1名評分不低于9分的概率為=。

所以X的分布列如表8所示。

表8

所以E(X)==0.75,或E(X)=3×=0.75。

4.(1)①根據圖示,將2×2列聯表補充完整,如表9:②根據公式可得K2的觀測值k=

表9

因為3.125＞2.706,所以能在犯錯誤概率不超過10%的前提下認為該學科成績與性別有關。

(2)由于有較大的把握認為該學科成績與性別有關,因此需要將男女生成績的優分頻率f==0.4視作概率,設從高三年級中任意抽取3名學生的該學科成績中,人數為X,則X服從二項分布B(3,0.4)。

則E(X)=3×0.4=1.2,D(X)=3×0.4×0.6=0.72。

5.(1)X的所有可能取值為0,1,2,3。

所以X的分布列為表10:

表10

故

(2)設事件M:“一個人獲獎”。

事件A:“兩次摸球一次得1分,一次得3分”。

事件B:“兩次摸球每次得2分”。

事件C:“兩次摸球一次得2分,一次得3分”。

事件D:“兩次摸球每次得3分”。

所以P(A)=2P(X=1)·P(X=3)=;P(B)=P(X=2)·P(X=;P(C)=2P(X=2)·P(X;P(D)=P(X=3)·

因為A、B、C、D彼此互斥,且M=A∪B∪C∪D,所以根據互斥事件的概率加法公式得P(M)=P(A)+P(B)+P(C)+

故一個人獲獎的概率為。

6.(1)根據頻率分布直方圖,可得a==0.1-0.07=0.03。所以a=0.03。

(2)學生成績在[50,60)內的共有40×0.05=2(人),在[60,70)內的共有40×0.225=9(人),故成績在[50,70)內的學生有11人。

設“從成績在[50,70)內的學生中隨機選3名,且他們的成績都在[60,70)內”為事件A,則P(A)=。所以選取的3名學生成績都在[60,70)內的概率為。

(3)依題意,X的可能取值是1,2,3。所以X的分布列如表11所示。

表11

故E(X)=7.(1)依題意,p1=P(40＜X＜80)==0.2,p=P(80≤X≤120)==0.7,2=P(X＞120)==0.1。

由二項分布知,在未來4年中至多有一年的年入流量超過120的概率為P=C04(1-

(2)記水電站年總利潤為Y。

①安裝1臺發電機的情形,由于水庫年入流量總大于40,故一臺發電機運行的概率為1,對應的年利潤Y=5000,E(Y)=1×5000=5000。

②安裝2臺發電機的情形,依題意,當40＜x＜80時,一臺發電機運行,此時Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40＜x＜80)=p1=0.2;當X≥80時,兩臺發電機運行,此時Y=5000×2=10000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8。由此得到Y的分布列如表12所示。

表12

所以E(Y)=4200×0.2+1000×0.8=8840。

③安裝3臺發電機的情形,依題意,當40＜x＜80時,一臺發電機運行,此時Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40＜x＜80)=p1=0.2;當80≤X≤120時,兩臺發電機運行,此時Y=5000×2-800=9200,因此P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;當X＞120時,兩臺發電機運行,此時Y=5000×3=15000,因此P(Y=15000)=P(X＞120)=p3=0.1。由此得到Y的分布列如表13所示。

表13

所以E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620。

綜上,欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應安裝發電機2臺。

8.(1)依題意,由于小矩形的面積之和為1,則c+0.20+0.10+0.05+0.05=1,解得c=0.6。故這200名用戶集福所獲紅包金額在(0,1]內的人數為200×0.6=120(人)。

(2)集齊五福的支付寶用戶所獲紅包金額的平均值為0.5×0.6+1.5×0.2+2.5×0.1+3.5×0.05+4.5×0.05=1.25(元)。

(3)依題意,(1,2]內抽4人,記為1,2,3,4,(2,3]內抽2人,記為a,b,則所有的可能性為(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b),其中滿足條件的為(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b)。

故所求概率P==。