空間幾何精選88題

■本刊編輯部

1.如圖1所示,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為2的正三角形且與底面垂直,底面ABCD是∠ADC=60°的菱形,M為PB的中點(diǎn)。

(1)求PA與底面ABCD所成角的大小;

(2)求證:PA⊥平面CDM;

(3)求二面角D-MC-B的余弦值。

圖1

2.如圖2,已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2BG=2。

(1)證明:AG∥平面BDE;

(2)求二面角E-BD-G的余弦值。

圖2

3.如圖 3,在直角梯形ABCD中,AD ∥BC,∠ADC=90°,AE⊥平面ABCD,EF∥CD,BC=CD=AE=EF=AD=1。

圖3

(1)求證:CE∥平面ABF。

(2)在直線BC上是否存在點(diǎn)M,使二面角E-MD-A的大小為?若存在,求出CM的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

4.如圖4,在多面體ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB,且△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,AE=1,CD與平面ABDE所成角的正弦值為。

圖4

(1)若F是線段CD的中點(diǎn),證明:EF⊥面DBC;

(2)求二面角DEC-B的平面角的余弦值。

5.如圖5,在平行四邊形ABB1A1中,∠ABB1=60°,AB=4,AA1=2,C,C1分別為AB,A1B1的中點(diǎn)。現(xiàn)把平行四邊形AA1C1C沿CC1折起,如圖6所示,連接B1C,B1A,B1A1。

(1)求證:AB1⊥CC1;

(2)若AB1=6,求二面角C-AB1-A1的余弦值。

圖5

圖6

6.如圖7所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD 是梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,PE=2BE。

(1)求證平面EAC⊥平面PBC;

圖7

(2)若二面角P-AC-E的余弦值為,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值。

7.如圖8,在五面體ABCDEF中,AD⊥平面ABEF,BC⊥平面ABEF,AB∥EF,且BC=1,AB=EF=2,AF=BE=2,P,Q分別為AE,BD的中點(diǎn)。

圖8

(1)求證:PQ∥平面BCE;

(2)求二面角A-DF-E的余弦值。

8.如圖9,已知平行四邊形ACDP中,AD⊥AP,AD=AP,延長(zhǎng)PA至B,使得AB=AP=1,連接BC。現(xiàn)沿AD進(jìn)行翻折,使得平面ABCD⊥平面ADP,連接PB、PC,得到如圖10所示的空間圖形,點(diǎn)Q在線段PC上,且=m。

(1)若BQ∥平面ADP,求m的值;

(2)在(1)的條件下,求點(diǎn)Q到平面ABP的距離。

圖9

圖10

參考答案

1.(1)取DC的中點(diǎn)O,由△PDC是正三角形,知PO⊥DC。又平面PDC⊥底面ABCD,則PO⊥平面ABCD于O。連接OA,則OA是PA在底面上的射影,∠PAO就是PA與底面所成角。

因 ∠ADC=60°,由 已 知 △PCD 和△ACD是全等的正三角形,從而求得OA=OP=3,∠PAO=45°。所以PA與底面ABCD所成角的大小為45°。

(2)取AP的中點(diǎn)N,連接MN。

由(1)知,在菱形ABCD中,由于∠ADC=60°,則AO⊥CD。又PO⊥CD,則CD⊥平面APO,即CD⊥PA。又在△PAB中,中位線MNAB,COAB,則MNCO,則四邊形OCMN為平行四邊形,所以MC∥ON。在△APO中,AO=PO,則ON⊥AP,故AP⊥MC。而MC∩CD=C,則PA⊥平面CDM。

(3)由(2)知MC⊥平面PAB,則∠NMB為二面角D-MC-B的平面角。

在Rt△PAB中,易得PA=,PB=

故所求二面角的余弦值為-

2.由平面ABCD⊥平面BCEG,平面ABCD∩平面BCEG=BC,CE⊥BC,CE?平面BCEG,則EC⊥平面ABCD。

圖11

根據(jù)題意建立如圖11所示的空間直角坐標(biāo)系,可得B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,2),A(2,1,0),G(0,2,1)。

(1)設(shè)平面BDE的法向量為m=(x,y,z),因=(0,2,-2),=(2,0,-2),則·m=0,·m=0,即則x==z。y

取平面BDE的一個(gè)法向量為m=(1,1,1),因=(-2,1,1),·m=-2+1+1=0,則⊥m。因AG?平面BDE,則AG∥平面BDE。

(2)設(shè)平面BDG的法向量為n=(x,y,z),二面角E-BD-G的平面角為θ。因?yàn)?(2,-2,0)=(0,0,1),由n·=0,取平面BAG的一個(gè)法向量為n=(1,1,0),則cosθ=。故二面角E-BD-G的余弦值。

3.(1)如圖12,作FG∥EA,AG∥EF,連接EG交AF于點(diǎn)H,連接BH,BG。

因EF∥CD且EF=CD,則AG∥CD,即點(diǎn)G在平面ABCD內(nèi)。由AE⊥平面ABCD知AE⊥AG。

則四邊形AEFG為正方形,四邊形CDAG為平行四邊形,H為EG的中點(diǎn),B為CG的中點(diǎn),BH∥CE,故CE∥面ABF。

圖12

(2)如圖13,以A為原點(diǎn),AG為x軸,AD為y軸,AE為z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz。

則A(0,0,0),G(1,0,0),E(0,0,1),D(0,2,0),設(shè)M(1,y0,0),則=(0,2,-1),=(1,y0-2,0)。

圖13

設(shè)平面EMD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則令y=1,得z=2,x=2-y0,則n=(2-y,1,2)。

又⊥平面AMD,=(0,0,1)為平面AMD 的法向量,則|cos〈n,〉|=,解得。故在直線BC上存在點(diǎn)M,且

4.(1)取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OD,則OC⊥面ABD。故∠CDO即是CD與平面ABDE所成的角。所以?CD=?BD=2。

取ED的中點(diǎn)為M,以O(shè)為原點(diǎn),OC為x軸,OB為y軸,OM為z軸,建立如圖14所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(,0,0),B(0 ,1,0),D(0 ,1,2),E(0 ,-1,1),

圖14

取BC的中點(diǎn)為G,則AG⊥平面BCD。

所以∥,所以EF⊥平面DBC。

(2)由上知BF⊥平面DEC。

又,取平面DEC的一個(gè)法向量n=(,-1,2)。

又=(-,-1,1),=(-,1,0),由此得平面BCE的一個(gè)法向量m=(1,,2)。

則cos〈m,n,所以二面角D-EC-B的平面角的余弦值為。

5.(1)由已知可得,四邊形ACC1A1,BCC1B1均為邊長(zhǎng)為2的菱形,且∠ACC1=∠B1C1C=60°。在圖15中,取CC1的中點(diǎn)為O,連接AO,B1O,AC1,故△ACC1是等邊三角形,所以AO⊥CC1。同理可得,B1O⊥CC1。又因?yàn)锳O∩B1O=O,所以CC1⊥平面AOB1。又因?yàn)锳B1?平面AOB1,所以AB1⊥CC1。

圖15

(2)由已知得,OA=OB1=,AB1=,所以O(shè)A2+OB21=AB21,故OA⊥OB1。如圖16,分別以為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,得C(0,-1,0),B1(,0,0),A(0,0,),A1(0,2,)。

設(shè)平面CAB1的法向量為m=(x1,y1,z1),因?yàn)?(,0,-),=(0,-1,-), 由得令x1=1,得z1=1,y1=-,所以平面CAB1的法向量為m=(1 ,-,1)。

圖16

設(shè)平面AA1B1的法向量為n=(x2,y2,z2),=(,0,-),=(0,2,0),由得令x2=1,得z2=1,y2=0,所以平面AA1B1的法向量為n=(1 ,0,1)。于是 cos〈m,n〉=因?yàn)槎娼荂-AB1-A1的平面角為鈍角,所以二面角C-AB1-A1的余弦值為-

6.(1)因?yàn)镻C⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以AC⊥PC。由條件知AB=2,AD=CD=1,AC=BC=2。因?yàn)锳C2-BC2=AB2,所以AC⊥BC。又BC∩PC=C,所以AC⊥平面PBC。因?yàn)锳C?平面EAC,所以平面EAC⊥平面PEC。

(2)取AB的中點(diǎn)為F,連接CF,則CF⊥AB,以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,如圖17所示,則 C0,0,0( ),A(1 ,1,0),B(1 ,-1,0)。

圖17

設(shè)P0,0,a( )a＞0( ),則E=(1 ,1,0),=(0 ,0,a),=

取m=(1 ,-1,0),則m·=m·=0,所以m為面PAC的法向量。

設(shè)n=x,y,z( )為面EAC的法向量,則n·=n·=0,得令x=a,y=-a,z=-4,則n=(a,-a,-4)。

依題意,有cos〈m,n〉,則a=4。

于是

設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ,則,即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為

7.(1)連接AC,因?yàn)锳B∥EF,EF?面CDFE,AB?面CDFE,所以AB∥平面CDFE,又AB?面ABCD,面ABCD∩面CDEF=CD,所以AB∥CD。

又AD⊥平面ABEF,BC⊥平面ABEF,所以AD∥BC。

所以四邊形ABCD是矩形。

因?yàn)镼為BD的中點(diǎn),所以Q為AC的中點(diǎn)。又在△AEC中,P為AE的中點(diǎn),所以PQ∥EC。

因?yàn)镋C?面BCE,PQ?面BCE,所以PQ∥平面BCE。

(2)如圖 18,取EF的中點(diǎn)M,則AF⊥AM,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AM,AF,AD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),D(0,0,1),M(2,0,0),F(0,2,0)。

圖18

可得=(2,0,0),=(-2,2,0),=(0,2,-1)。

設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z),

故

令x=1,則y=1,z=2。

故n=(1,1,2)是平面DEF的一個(gè)法向量。因?yàn)锳M⊥面ADF,所以為平面ADF的一個(gè)法向量。

所 以 cos〈n,由圖可知所求二面角為銳角,故二面角A-DF-E的余弦值為。

8.(1)設(shè)Q為線段CP上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn),如圖19,過(guò)點(diǎn)Q作QQ'平行CD交DP于點(diǎn)Q'。

因?yàn)镼Q'∥CD,AB∥CD,所以QQ'∥AB,又QQ'=CD,AB=CD,所以ABQQ'為平行四邊形,故BQ∥AQ'。

圖19

又AQ'?平面ADP,BQ?平面ADP,所以BQ∥平面ADP,從而m=3。

(2)由(1)可得BQ∥平面ADP,將△ABP補(bǔ)成一個(gè)矩形ABRP,連接QR,并過(guò)Q點(diǎn)作QM垂直BR,交BR于點(diǎn)M,易得QM為點(diǎn)Q到平面ABP的距離。

由平行性質(zhì)可知QR∥DP,RB∥PA,故∠QRB=45°,從而QM=×sin∠QRB=1。