照片縮放：縮小教的痕跡放大學的作為
——“圖形的放大與縮小”任務驅動式教學實錄

一、教學內容

“蘇教版”教科書第十二冊P33、34頁以及練習六的1、2題。

二、教學目標

1.了解圖形的放大與縮小的意義；能在方格紙上按一定的比畫出放大與縮小的圖形；通過圖形的放大與縮小體會圖形的相似。

2.通過觀察、理解、動手操作等數學活動來體驗圖形放大與縮小的方法，培養學生的空間觀念和動手操作能力。

3.借助任務驅動，進一步體會數學與生活的聯系，激發和維持學生學習數學的興趣和求知欲，并在學習過程中感受成功的喜悅。

三、教學重點難點

1.教學重點是理解圖形的放大與縮小。

2.教學難點是利用方格紙將簡單圖形按指定的比放大或縮小。

四、教學過程

1.在輕松聊天中出示任務

師：能向老師介紹下你自己，并說說你的興趣愛好是什么嗎？（生自由發言）

師：你們猜猜老師空閑時喜歡做什么呢？

師：顧老師特別喜歡拍照，因為我覺得拍照能記錄我們每一天的精彩。這不，顧老師給我家寶寶從小到大拍了不少有趣的照片，想看嗎？一起來看一看。

師：老師今天不僅帶了電子照，還帶來了一些打印在相冊上的照片，你們看，有這種大尺寸的照片，這種小尺寸的照片，這種更小一點尺寸的照片，還有更小更小尺寸的照片。

師：電子照片看著大小都差不多，打印出來卻有的那么大，有的那么小。那么，因為尺寸不同，相片里面的人物有沒有變形呢？

生：沒有變形。

師：那如何制作出大小合適的照片或圖片呢？這就是我們今天要解決的任務。（板貼任務：制作出大小合適的照片或圖片）

任務：制作出大小合適的照片或圖片

【評析】數學和生活總是息息相關的，以輕松的聊天切入，從生活情境中自然聊出“任務”。這種來自生活的“任務”，出示時機的生活性、任務內容的生活性，使學生感到學習就是生活，生活就是學習。

2.在溫馨情境中轉化任務

師：今年2018年的大雪，顧老師又給我們家寶寶在雪地里拍了不少玩雪的照片，選了一張我喜歡的，想把它打印出來，配個好看的相框，掛在我們家的墻上。這不，相框已經選好了，就差把照片打印出來了。

師：如果就這樣把照片貼在相框里，合適嗎？

生：不合適。

師：為什么？

生：照片太小了。

師：那怎么辦呢？

生：把照片放大。

師：顧老師也想到了放大，這不，放大出來了四張不同的照片。看完以后，能幫忙選擇一張合適的照片嗎？

生：我選擇照片B。

師：為什么選擇B，說說你的理由。

生：因為照片A和D雖然放大了，但是里面的人物變形了。照片C變斜了。照片B變大了，而且沒變形。

師：大家都同意嗎？

生：同意。

師：今天，我們就從數學的角度再來看一看，為什么這樣放大，里面的人物不變形？

【評析】給相框配照片，大小可變，但照片里面的人物必須不變形。這個情境揭開生活化的面紗，“任務”逐漸顯露數學味，用數學奧秘直接驅動學生的好奇心與探究欲。

3.在奧秘探究中啟動任務

（1）自主探究圖形放大的變化規律。

師：為了便于研究，我們只把這兩張照片放在方格紙上（如左圖）。這是兩張長方形照片，隱去里面的圖像（如右圖）。

師：誰來數一數，這兩個長方形的長和寬各是幾格呢？

生1：原圖長是5格，寬是4格；放大后的長方形長是10格，寬是8格。

師：有了這兩組數據，老師想請同學們四人一組，討論一下，放大后的長方形與原圖有怎樣的關系？

學生四人一組討論交流。

生1：放大后的長方形的長是原圖長的2倍，放大后的長方形的寬也是原圖寬的2倍。

師：是啊，放大后的長方形的長是原圖長的2倍，放大后的長方形的寬也是原圖寬的2倍。也就是放大后長方形的每條邊都是原圖對應邊長的2倍。

師：如果用比來說，誰愿意來說說看？

生2：原圖的長與放大后長方形的長是1:2，寬也是1:2。

師：看清楚老師的問題。誰是前項，誰是后項呢？

生2：放大后的長方形的長與原圖長的比是2:1，放大后的長方形的寬與原圖寬的比也是2:1。

師：像這樣把長方形的每條邊放大到原來的（）倍，放大后的長方形與原來長方形對應邊長的比是（）:（），也就是把原來的長方形按2:1的比放大。

師：這里的2:1表示哪兩個數量的比？

生3：放大后的長方形的長與原圖長的比是2:1，放大后的長方形的寬與原圖寬的比也是2:1。

師：也就是放大后圖形與原圖對應邊長的比是2:1。

師：所以，按2:1放大表示什么？

生1：把長方形的每條邊放大到原來的2倍。

生2：放大后的長方形與原來長方形對應邊長的比是2:1。

師：我們回到剛剛的相框，看一看，把這張照片按2:1放大貼在這個相框里，大小合適了嗎？

生1：不合適。

師：怎么了？

生1：還是太小了。

師：估計一下，按怎樣的比放大合適？

生1：按3:1的比放大。

生2：按4:1的比放大。

師：（圈出前項2）按2:1的比放大還是太小，還可以按3:1，4:1，5:1的比來放大。

師：那在這里，到底是按怎樣的比放大合適呢?老師還量了一下這個照片與相框的長和寬（出示數據：相框長15cm，寬12cm；原圖長5cm，寬4cm），現在能確定答案了嗎？怎么想？

生1：按3:1的比放大。

師：回到方格紙上，原圖的長和寬分別是5格和4格。哪位同學能告訴老師，按3:1放大后，它的長和寬分別是幾格？

生1：按3:1放大后，長是15格，寬是12格。

師：怎么來的？

生1：5乘3等于15，4乘3等于12。

師：所以，這里的按3:1放大表示什么？

生1：按3:1放大表示放大后圖形與原圖對應邊長的比是3:1。

師：按4:1放大呢？按5:1放大呢？

生自由說。

師：現在，我們再來看一下，這是原圖，這是按2:1放大后的圖形，這是按3:1放大后的圖形。接下來，請同學們想一想，如果把這個長方形看作原圖，把它放大到這個長方形，化成最簡比還是按幾:1的比放大嗎？（圈出后項1）那又是按怎樣的比放大的呢？

生2：按3:2放大。

師：怎么想？

生2：放大后的長方形與原圖長的比是15:10，化簡后就是3:2。

師：看來，同學們基本掌握了圖形的放大。

師：請同學們認真觀察，圖形放大使用的比，他們有什么特點？（放大使用的比，前項比后項大，比值大于1）

（2）類推圖形縮小的含義。

師：（指著課題“圖形的放大”中的“放大”一詞）圖形有放大，就有……（縮小）

師：那圖形縮小使用的比又會有什么特點呢？猜一猜。

師：接下來，請同學們自己來探究圖形的縮小。下面圖形中，你看到圖形的縮小了嗎？請同學們任意選擇兩個圖形，同桌互說，你找到了按怎樣的比把圖形縮小。

生2：從黃色的長方形到紅色的長方形，是按1:3縮小的。

師：你是怎么想的？

生2：放大后的長方形與原圖長的比是5:15，所以是1:3。

師：現在還是放大后嗎？

生2：縮小后的長方形與原圖長的比是5:15，所以是1:3。

師：按1:3縮小又表示哪兩個數量的比呢？

生2：縮小后圖形與原圖對應邊長的比。

師：那按1:3縮小，縮小后圖形的邊長是原圖對應邊長的幾分之幾？

生3：按1:3縮小，縮小后長方形的長是原圖長的三分之一。

師：寬呢？

生3：縮小后長方形的寬也是原圖寬的三分之一。

同上，交流反饋：按1:2縮小；按2:3縮小。

（3）區別圖形放大與縮小。

師：把一個圖形按一定的比放大，就是把對應邊長放大到原來的幾倍，放大使用的比……（前項比后項大，比值大于1）；把一個圖形按一定的比縮小，就是把對應邊長縮小到原來的幾分之幾，縮小使用的比……（前項比后項小，比值小于1）

師：我們找到了將圖形放大和縮小的比的不同點。我們接著來看，其實，不管是把圖形放大還是縮小的比，他們都表示哪兩個量的比？

生3：都是變化后圖形與原圖對應邊長的比。

師：通過剛才的學習，我們認識了按一定的比放大或縮小圖形。

（揭題：圖形的放大與縮小）

【評析】自主探究放大的變化規律，類推圖形縮小的含義，這樣的探究過程立足學生的立場，放大“學”的作為，縮小“教”的痕跡。從按2:1放大，聯想到按不同的比來放大，由放大聯想到縮小，發現圖形放大使用的比的特點聯想到圖形縮小使用的比的特點，任務的探究過程就這樣不斷推向更深處。

4.在深化練習中鞏固任務

師：（圈“圖形”一詞）剛才我們是借助長方形來開展探究的，那你覺得這個圖形，除了可以是長方形，還可以是？（正方形、三角形、平行四邊形等）

師：接下來，我們利用剛才探究的這些知識來解決一些實際問題。

任務1：畫一畫（圖形的放大）

師：這個括號里應該填什么呢？

生：放大。

師：為什么？

生：前項是2，后項是1，前項比后項大。

師：按2:1放大表示什么？

生：把圖形的每條邊放大到原來的2倍。

同學們獨立完成，交流反饋。

師：你是怎么把直角三角形按2:1放大的？

生：我先畫了兩條直角邊，一條是4，一條是6，就畫好了。

師：其實，我們還可以直接在原圖上畫圖。

師：可是老師這里有疑問了。我們剛才說了，圖形的放大與縮小要把每條邊都放大或縮小。那么，這條斜邊，它到底有沒有放大到原來的2倍呢？

生：原來的斜邊斜著有6格，現在的斜邊有兩個6格。

師：還有沒有別的辦法來驗證呢？

生：用尺量。

學生用尺量，驗證。

師：看來同學們的這種畫法是正確的。只要畫出直角三角形放大或縮小后的兩條直角邊，然后連接兩點形成斜邊就可以了。

任務2：說一說（圖形的縮小）

師：這里有一個底是12格，高是6格的直角三角形，你能說一說可以按（）:（）的比縮小這個三角形，縮小后的直角三角形的底和高各是幾格呢？（學生任意說）

生：可以按1:2的比縮小，縮小后的直角三角形的底是6格，高是3格。

同上，再說按1:3、1:6的比縮小。

師：請大家觀察一下這四個三角形，他們有什么不同點？

生：長度變了，面積變了。

師：也就是大小變了。

（相機板貼：大小變了）

師：那他們有什么相同點？

生：他們都是按一定的比放大或縮小得來的。

師：還有什么相同點？

生：他們的角度一樣。

（PPT動畫演示三個直角三角形中一個銳角重合的過程）

師：根據三角形內角和180°，可以知道另一個銳角度數也一樣。

師：圖形各邊按一定的比放大或者縮小，各內角的度數也不變，我們就可以說這些圖形的形狀不變。（相機板貼：形狀不變）其實，這個知識，等同學們上了初中以后就會學到，叫作相似變換。

師（結合動畫演示）：學到這里，其實我們將圖形的變換大致歸為三類：一類是形狀大小都改變的圖形變換；一類是形狀不變、大小變了的圖形變換，就是我們今天學習的圖形的放大與縮小，到了初中也叫相似變換；還有一類就是以前我們已經學習的圖形的平移、旋轉，對稱，像這種形狀大小都不變的變換，到了初中，我們可以統稱為全等變換。

師（指著課題“圖形的放大和縮小”中的“圖形”一詞）：今天，我們學會了把正方形，長方形，三角形這幾個圖形放大或者縮小。是不是只能把這些圖形放大或者縮小？

生1：不是，還可以是平行四邊形、梯形。

生2：我覺得可以是任何圖形。

師：好，把下面的這些圖形按相同的比放大或縮小，這是老師留給你們的任務，下課以后，請同學們試一試。

【評析】知識具有生長性，從已有知識中衍生，向以后學習伸展。圖形按一定的比放大或縮小是初中學習相似變換的基礎。這樣的練習，讓任務在鞏固中深化。

5.在回看展望中完成任務

師：最后，回到我們的課開始提出的任務，其實想要制作出大小合適的照片或圖片并且不變形，我們只要……

生3：按一定的比將圖形放大或縮小就可以了。

師：其實，這節課我們學會的只是數學意義上的“圖形的放大與縮小”，其實生活中也有很多放大、縮小的現象與應用。比如在深圳的世界之窗，就有許多建筑是將世界各地的名勝按一定的比縮小后進行建造的（如圖1）。還有地球模型、沙盤模型、汽車模型等的制造，放大鏡、望遠鏡、顯微鏡、眼鏡等的應用（如圖2）。正是這些技術的應用，才使得我們的世界變得繽紛多彩，才使得我們在2018年《熊出沒·變形記》中借著“縮小機”來了一趟“微觀世界”冒險之旅（如圖 3）。

圖1

圖2

圖3

【評析】制作出大小合適的照片或圖片，是在生活情境中提出的任務，它背后的數學任務就是探究怎樣使圖形放大或縮小，大小變化，形狀不變。這個任務，在學生已有知識和經驗中能找到“熟悉感”，讓他們感覺有點會，但又說不清道不明，不足以徹底解決。任務既是教學的起點，引導著學生的學習行為，也是教學的終點，讓學生豁然開朗并獲得富有成果的體驗。