概率相關知識的發展認識

王 俊

教材里“認識概率”這一章介紹了概率的兩種計算方法：一是用列舉法來求概率；二是用頻率來估計概率.這其實就是數學史上概率的古典定義和統計定義.

一、概率的古典定義

古典定義中的“古典”表明了這種定義起源的古老.它源于賭博、博弈等多種多樣的形式，但是它的前提是“公平”，即“機會均等”，而這正是古典定義適用的重要條件：同等可能.16世紀意大利數學家卡爾丹（1501—1576）所說的“誠實的骰子”就道明了這一點.在之后約三百年的時間里，帕斯卡、費馬、伯努利等數學家都在古典概率的計算、公式推導和擴大應用等方面做了重要的工作.直到1812年，法國數學家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理論》中給出了概率的古典定義：事件A的概率等于一次試驗中有利于事件A的可能結果數與該事件中所有可能結果數之比.古典定義通過簡單明了的方式定義了事件的概率，并給出了簡單可行的算法.

二、概率的統計定義

概率的古典定義雖然簡單直觀，但是適用范圍有限.正如伯努利所說：“這種方法僅適用于極罕見的現象.”因此，他通過觀察來確定結果數目的比例，并且認為“即使是沒受過教育和訓練的人，憑天生的直覺，也會清楚地知道，觀測的次數越多，發生錯誤的風險就越小”.雖然原理簡單，但是其科學證明并不簡單，在古典概型下，伯努利證實了這一點，即“當試驗次數愈來愈大時，頻率接近概率”.

事實上，這不僅僅對于古典概型適用，人們確信“從現實中觀察的頻率穩定性”是一個普遍規律.1919年，德國數學家馮·米塞斯（1883—1953）在《概率論基礎研究》一書中提出了概率的統計定義：在做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，某個事件出現的頻率總是在一個固定數值的附近擺動，顯示出一定的穩定性.他把這個固定的數值定義為這一個事件的概率.雖然統計定義不能像古典定義那樣確切地算出概率，但是卻給出了一個估計概率的方法.而且，它不再需要“等可能”的條件，因此，從應用的角度來講，它的適用范圍更廣.

三、有趣的概率問題

概率是數學學習里實用性很強的內容.不論是今天的趣味數學題里的基礎題目還是大學里的統計學，都會用到概率的內容.下面有一道趣味數學題，大家不妨來試一試！

兩個人出相同的錢玩擲雙骰子的游戲，約定誰先擲出5次“雙6”誰就獲得所有的錢.經過一段時間的游戲，甲擲出了4次“雙6”，乙擲出了3次“雙6”，但是此時甲、乙兩人不想再繼續這個游戲，請問錢應該怎么分配才公平？

顯然，通過以上趣味實例，我們可以發現古典概率應用范圍較為廣泛，但在計算中，有些情況不容易將其全面考慮，會出現多算、漏算的錯誤.總之，采用什么方法進行解題，取決于實際的題目背景，然后再巧妙靈活地運用合適的方法.