一類直線與圓問(wèn)題及其解法的探析

李雅萍

(江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué) 215156)

直線與圓的方程是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，它不僅涉及幾何知識(shí)，也涉及代數(shù)知識(shí)，綜合性較強(qiáng).下面先從蘇教版必修二課本的一道習(xí)題說(shuō)起.

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

例1 已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

二、解法探究

本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，分析題目會(huì)發(fā)現(xiàn)，“以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)”這句話，從不同的角度和切入點(diǎn)，可以有不一樣的解法.設(shè)以AB為直徑的圓為圓D，則AB有著三個(gè)身份：AB在直線l上，AB是圓C的弦，AB是圓D的直徑.

綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為y=x+1或y=x-4.

解出b=1或b=-4后，還要記得檢驗(yàn)直線l與圓C相交，這是很多同學(xué)解題時(shí)都容易忽略的.

聯(lián)立直線與圓的方程，消去y，得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0②.

角度三從圓系方程出發(fā)，用點(diǎn)在曲線上、曲線與方程的關(guān)系來(lái)解題.由AB的身份一和身份二，除了聯(lián)立方程組，還可以用圓系方程來(lái)解答.若直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，則過(guò)兩公共點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).具體解題過(guò)程如下.

綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為y=x+1或y=x-4.

不過(guò)，不少同學(xué)用解法三求解這道題時(shí)，大多中途受阻，一個(gè)重要的原因就是“AB為直徑”未能轉(zhuǎn)化成“圓心D在直線l上”這一隱含條件.

以上可見(jiàn)，遵循所歸納的思路原理，沿著任何一種思維路徑都可解決問(wèn)題.

三、反思感悟

三個(gè)角度的解法中，“以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)”分別與垂徑定理、勾股定理、數(shù)量積、韋達(dá)定理、點(diǎn)在直線上這些知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，用了等量代換、設(shè)而不求、聯(lián)立方程組、待定系數(shù)法等方法.

羅增儒教授將學(xué)會(huì)解題分為四個(gè)步驟：記憶模仿、變式練習(xí)、自發(fā)領(lǐng)悟、自覺(jué)分析.模仿是對(duì)基本模式加以認(rèn)識(shí)并積累的過(guò)程；變式是在簡(jiǎn)單模仿的基礎(chǔ)上主動(dòng)實(shí)踐；自發(fā)領(lǐng)悟是內(nèi)化解題知識(shí)；自覺(jué)分析是對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行自覺(jué)反思，使理解進(jìn)入到深層結(jié)構(gòu).對(duì)于一類問(wèn)題的探析，首先是基于記憶模仿與變式訓(xùn)練的“模式識(shí)別”，然后是基于自發(fā)領(lǐng)悟與自覺(jué)分析的“算法設(shè)計(jì)”.數(shù)學(xué)題多似海，變化萬(wàn)千，但許多問(wèn)題及其解法在本質(zhì)上是一樣的.如果我們能有效地抓住問(wèn)題、方法的本質(zhì)，就能實(shí)現(xiàn)舉一反三.