優化圓錐曲線運算的策略

趙象成

(甘肅省武威第八中學 733000)

一、活運定義

圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質特征，運用定義或概念將問題定性分析與定量計算有機結合起來，可使問題解決起來思路清晰，運算簡捷明快.

解設Q(x,y),延長F2Q和直線F1M相交于P，則P(2x-c,2y),且△MPQ≌△MF2Q.

所以|MP|=|MF2|,|PQ|=|F2Q|.

由橢圓的定義得：|F1P|=|MF1|+|MP|=|MF1|+|MF2|=2a.

所以(2x-c+c)2+(2y)2=(2a)2,即x2+y2=a2.

二、借助平幾

解析幾何與平面幾何研究的對象都是幾何問題.區別在于它們研究的手段不同，有些解析幾何問題借助平面幾何可避免煩瑣的運算過程，起到事半功倍的效果.

例2 設拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點，若|AF|=3|BF|,求直線l的方程.

解可知直線l不垂直于x軸.

三、設而不求、整體代換

在處理直線與圓錐曲線相交形成的中點弦、對稱問題時，可以考慮用“點差法”、韋達定理，即整體消元，從而達到“設而不求”減少運算量，優化解題過程.

四、合理引參

恰當地引入參數，可將許多相關的量統一在一個參數下，使各量之間的關系便于尋找，從而找到解題思路，優化問題的結構關系，簡化運算.

(1)求橢圓C的方程；

(1)+(2)×2并結合(3)、(4)得4x+2y=4，所以點Q總在定直線2x+y-2=0上.