見(jiàn)微知著
—— 一道不等式證明題引發(fā)的思考

文 瑾

(新疆石河子121團(tuán)第一中學(xué) 832066)

一、經(jīng)歷“感知——感悟”

數(shù)學(xué)解題不可能一蹴而就的，必須要經(jīng)過(guò)自己的嘗試，發(fā)現(xiàn)，體會(huì)，領(lǐng)悟的過(guò)程.高三數(shù)學(xué)一節(jié)不等式選講習(xí)題課上，筆者拋出一道題.

題目(2017年高考全國(guó)Ⅱ卷第23題)已知：a>0,b>0,a3+b3=2，求證：

(1)(a+b)(a5+b5)≥4；

(2)a+b≤2.

師：不等式證明問(wèn)題，我們已經(jīng)講過(guò)多遍解題的思路和常用方法，這道題哪位同學(xué)做出來(lái)了？

生1：我一看這類證明題，就不會(huì)做，壓根就沒(méi)有想法.

生2：老師，這道題我直接證明，寫(xiě)到(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+ba5+b6，沒(méi)有公因式可提取，卡住了.

生3：我也是，次數(shù)太高，第一次見(jiàn)這類證明題，不知該從哪寫(xiě).

師：配方試試，看有沒(méi)有突破.(當(dāng)大部分學(xué)生還在忙于配方時(shí)，有一個(gè)學(xué)生(生4)舉手說(shuō)，老師，我證明出來(lái)了.)

師：(裝作很驚訝的樣子)：太棒了！你是怎么想的呢？請(qǐng)把你證明的過(guò)程與小伙伴分享.

生4：要證(a+b)(a5+b5)≥4，只需證(a+b)(a5+b5)≥(a3+b3)2，展開(kāi)得a6+ab5+ba5+b6≥a6+2a3b3+b6,只需證ab5+ba5≥2a3b3，只需證a4+b4≥2a2b2，只需證b4+a4-2a2b2≥0，只需證(b2-a2)2≥0.∵a>0,b>0,∴(b2-a2)≥0顯然成立，即(a+b)(a5+b5)≥4.

師：生4思路清晰，合情合理.你是怎么想到(a+b)(a5+b5)≥(a3+b3)2?

生4：我是一眼看出來(lái)的！∵a3+b3=2,∴4=(a3+b3)2，把高次轉(zhuǎn)化為低次就出來(lái)了.

生1：太贊了，這題我竟然聽(tīng)懂了，從后往前推.

生2：老師，我也做出來(lái)了，用配方法，先把a(bǔ)6+b6寫(xiě)成(a3+b3)2-2a3b3，再與已知條件湊在一起，就可得到，過(guò)程如下：

證明：(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+ba5+b6

=(a3+b3)2-2a3b3+ab5+ba5

=(a3+b3)2+ab(b4+a4-2a2b2)

=(a3+b3)2+ab(b2-a2)2.

∵a>0,b>0,a3+b3=2,∴(a3+b3)2+ab(b2-a2)2=4+ab(b2-a2)2≥4,即(a+b)(a5+b5)≥4.

生3：我怎么沒(méi)想到？解題需要靈感，看來(lái)我是對(duì)這道題沒(méi)有feel(感覺(jué)).

師：生4采用分析法證明，從要證的不等式著手，逐步推求使它成立的條件，直至推得正確的不等式，執(zhí)果索因的方法證明非常妙.生2，迎難而上，采用綜合法，挑戰(zhàn)不可能，從已知條件出發(fā)逐步推理論證直至結(jié)論，由因?qū)ЧC明勇氣可嘉.

生5：老師，我又有新發(fā)現(xiàn)，在學(xué)選修4-5第三講，例1已知a,b∈R，證明(a2+b2)(a4+b4)≥(a3+b3)2，您講過(guò)如果不等式的形式與柯西不等式的一致性，就可以避免繁雜的計(jì)算.我模仿做了一下：根據(jù)柯西不等式，有

師：證明不等式，能聯(lián)系到經(jīng)典不等式，既拓展了證明思路，又可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，生5的方法經(jīng)濟(jì)又實(shí)惠，瞬間秒殺此題第1問(wèn)，妙解.

二、經(jīng)歷“初次反思”

這道高考題對(duì)思維能力的考查上升到前所未有的新高度.對(duì)這道不等式題的證明，一題多解，5種方法的思維高度各不相同，筆者突然頓悟到教師教的重點(diǎn)和學(xué)生學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)在于是否具備“學(xué)解”的能力.“學(xué)解”就是學(xué)會(huì)思路的尋找，通過(guò)解題來(lái)“學(xué)會(huì)”解題的方法，達(dá)到會(huì)一題而通一類、帶一串的效果.

三、經(jīng)歷“再次反思”

課后，筆者仔細(xì)回味，今天課上講的這道高考題，學(xué)生初次交鋒大多數(shù)是一頭霧水，遇到障礙，經(jīng)過(guò)有數(shù)學(xué)直覺(jué)同學(xué)的啟發(fā)：從尋找證明此題需要哪些條件？還缺少什么？能否從現(xiàn)有的條件中發(fā)現(xiàn)什么？如何運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過(guò)的相關(guān)公式和方法？為什么這樣做？說(shuō)出自己做題的來(lái)龍去脈等.最后，學(xué)生齊心協(xié)力探尋解決問(wèn)題的方法，共發(fā)現(xiàn)五種解法解決這道題，逐步理清了解決這類問(wèn)題的思路，識(shí)別了廬山正面目.

筆者意識(shí)到，這節(jié)課存有缺憾，僅完成了知識(shí)目標(biāo)的任務(wù)，當(dāng)學(xué)生面對(duì)此類型題，依舊會(huì)遺憾的失分.因?yàn)閷W(xué)生中大多數(shù)停留在模仿，對(duì)證明不等式的方法(比較法、綜合法、分析法、反證法等)的本質(zhì)是什么？每種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，哪時(shí)候用這種方法？如何用此法？大多數(shù)思維是模糊的不清晰的.追其根源，當(dāng)學(xué)生碰壁時(shí)，往往別人的想法代替了自己的解法，自己沒(méi)有及時(shí)對(duì)解題過(guò)程獨(dú)立發(fā)現(xiàn)——體會(huì)——反思，當(dāng)獨(dú)自面對(duì)問(wèn)題時(shí)，欠缺“學(xué)解”能力的儲(chǔ)備，自然不能迅速識(shí)別、敏銳的作出判斷.