見微知著
—— 一道不等式證明題引發的思考

文 瑾

(新疆石河子121團第一中學 832066)

一、經歷“感知——感悟”

數學解題不可能一蹴而就的，必須要經過自己的嘗試，發現，體會，領悟的過程.高三數學一節不等式選講習題課上，筆者拋出一道題.

題目(2017年高考全國Ⅱ卷第23題)已知：a>0,b>0,a3+b3=2，求證：

(1)(a+b)(a5+b5)≥4；

(2)a+b≤2.

師：不等式證明問題，我們已經講過多遍解題的思路和常用方法，這道題哪位同學做出來了？

生1：我一看這類證明題，就不會做，壓根就沒有想法.

生2：老師，這道題我直接證明，寫到(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+ba5+b6，沒有公因式可提取，卡住了.

生3：我也是，次數太高，第一次見這類證明題，不知該從哪寫.

師：配方試試，看有沒有突破.(當大部分學生還在忙于配方時，有一個學生(生4)舉手說，老師，我證明出來了.)

師：(裝作很驚訝的樣子)：太棒了！你是怎么想的呢？請把你證明的過程與小伙伴分享.

生4：要證(a+b)(a5+b5)≥4，只需證(a+b)(a5+b5)≥(a3+b3)2，展開得a6+ab5+ba5+b6≥a6+2a3b3+b6,只需證ab5+ba5≥2a3b3，只需證a4+b4≥2a2b2，只需證b4+a4-2a2b2≥0，只需證(b2-a2)2≥0.∵a>0,b>0,∴(b2-a2)≥0顯然成立，即(a+b)(a5+b5)≥4.

師：生4思路清晰，合情合理.你是怎么想到(a+b)(a5+b5)≥(a3+b3)2?

生4：我是一眼看出來的！∵a3+b3=2,∴4=(a3+b3)2，把高次轉化為低次就出來了.

生1：太贊了，這題我竟然聽懂了，從后往前推.

生2：老師，我也做出來了，用配方法，先把a6+b6寫成(a3+b3)2-2a3b3，再與已知條件湊在一起，就可得到，過程如下：

證明：(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+ba5+b6

=(a3+b3)2-2a3b3+ab5+ba5

=(a3+b3)2+ab(b4+a4-2a2b2)

=(a3+b3)2+ab(b2-a2)2.

∵a>0,b>0,a3+b3=2,∴(a3+b3)2+ab(b2-a2)2=4+ab(b2-a2)2≥4,即(a+b)(a5+b5)≥4.

生3：我怎么沒想到？解題需要靈感，看來我是對這道題沒有feel(感覺).

師：生4采用分析法證明，從要證的不等式著手，逐步推求使它成立的條件，直至推得正確的不等式，執果索因的方法證明非常妙.生2，迎難而上，采用綜合法，挑戰不可能，從已知條件出發逐步推理論證直至結論，由因導果證明勇氣可嘉.

生5：老師，我又有新發現，在學選修4-5第三講，例1已知a,b∈R，證明(a2+b2)(a4+b4)≥(a3+b3)2，您講過如果不等式的形式與柯西不等式的一致性，就可以避免繁雜的計算.我模仿做了一下：根據柯西不等式，有

師：證明不等式，能聯系到經典不等式，既拓展了證明思路，又可以簡化運算，生5的方法經濟又實惠，瞬間秒殺此題第1問，妙解.

二、經歷“初次反思”

這道高考題對思維能力的考查上升到前所未有的新高度.對這道不等式題的證明，一題多解，5種方法的思維高度各不相同，筆者突然頓悟到教師教的重點和學生學的關鍵點在于是否具備“學解”的能力.“學解”就是學會思路的尋找，通過解題來“學會”解題的方法，達到會一題而通一類、帶一串的效果.

三、經歷“再次反思”

課后，筆者仔細回味，今天課上講的這道高考題，學生初次交鋒大多數是一頭霧水，遇到障礙，經過有數學直覺同學的啟發：從尋找證明此題需要哪些條件？還缺少什么？能否從現有的條件中發現什么？如何運用已經學過的相關公式和方法？為什么這樣做？說出自己做題的來龍去脈等.最后，學生齊心協力探尋解決問題的方法，共發現五種解法解決這道題，逐步理清了解決這類問題的思路，識別了廬山正面目.

筆者意識到，這節課存有缺憾，僅完成了知識目標的任務，當學生面對此類型題，依舊會遺憾的失分.因為學生中大多數停留在模仿，對證明不等式的方法(比較法、綜合法、分析法、反證法等)的本質是什么？每種方法的優缺點，哪時候用這種方法？如何用此法？大多數思維是模糊的不清晰的.追其根源，當學生碰壁時，往往別人的想法代替了自己的解法，自己沒有及時對解題過程獨立發現——體會——反思，當獨自面對問題時，欠缺“學解”能力的儲備，自然不能迅速識別、敏銳的作出判斷.