探究不等式的有解問題

李 沐

(河北省實驗學校 050000)

已知不等式有解，求參數(shù)的取值范圍問題，常用方法是轉(zhuǎn)化為最值問題，利用最值建立含參數(shù)的不等式，得到參數(shù)的取值范圍，即依據(jù)“若f(x)>0有解，則[f(x)]max>0；若f(x)<0有解，則[f(x)]min<0”的原理求解．

類型1 若不等式在給定參數(shù)范圍內(nèi)有解且可分離參數(shù)，求x的取值范圍問題

例1 若存在a∈[1，3]，使得關(guān)于x的不等式ax2+(a-2)x-2>0成立，求實數(shù)x的取值范圍．

評注本題是抓住給定參數(shù)a的取值范圍，靈活地變換主元，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)a的一元一次不等式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，求出最大值，成功地為后繼解題提供了便利．

類型2 若不等式在給定參數(shù)范圍內(nèi)有解，但不可分離參數(shù)，求x的取值范圍問題

例2 對實數(shù)a∈[-2，0]，若關(guān)于x的不等式x2+(a-6)x+4-2a+a2>0有解，求實數(shù)x的取值范圍．

解析本題已知a的取值范圍，要求x的取值范圍，又不等式中參數(shù)a是不可以分離出來的，但可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一元二次不等式，即a2+(x-2)a+x2-6x+4>0在a∈[-2，0]時有解．

設(shè)函數(shù)g(a)=a2+(x-2)a+x2-6x+4，則當a∈[-2，0]時，有[g(a)]max>0．

評注若拋物線的開口向上，求閉區(qū)間上的最大值時，通過找到區(qū)間中點，根據(jù)對稱軸的變化分兩段討論就行了．求解本題的關(guān)鍵是變化主元，充分利用給定參數(shù)的取值范圍．

類型3 已知不等式在實數(shù)集上有解，求參數(shù)的取值范圍部問題

例3 已知函數(shù)f(x)=x2，g(x)=x-1，若存在實數(shù)x使f(x)

解析f(x)

故實數(shù)t的取值范圍是(-∞，0)∪(4，+∞)．

評注本題是化為一元二次不等式問題后，利用二次函數(shù)求出最小值，然后建立關(guān)于參數(shù)t的不等式，求出參數(shù)t的取值范圍．

類型4 若已知不等式在給定范圍內(nèi)有解，求參數(shù)的取值范圍問題

例4 設(shè)關(guān)于x的不等式ax2-2x-2>0在區(qū)間[1，2]上有解，求實數(shù)a的取值范圍．

解析因為x∈[1，2]，所以x2>0．

評注本題是在給定區(qū)間上不等式的有解問題，如果直接求最值，則比較煩瑣.我們這時將參數(shù)分離，再構(gòu)造函數(shù)求出最值，再根據(jù)有解原理求解，這樣就簡化解題過程．

通過以上幾例的求解可以幫助同學們把握這類不等式有解問題，同學們也可以與不等式恒成立問題作一下比較，深刻地去理解.