一類比較隱蔽的數形結合問題

溫和群

(河北省滄州市第一中學 061000)

解法一

根據題意：方程t2+at+b-2=0在t≥2或t≤-2上有解.為了研究問題的方便，我們先來考慮方程在t≥2或t≤-2上無解的情況：

這樣便可以得到動點(a,b)的一個可行域，

利用補集的定義，則方程在t≥2或t≤-2上有解的動點(a,b)的可行域便可求得.

選A.

根據題意：方程t2+at+b-2=0在t≥2或t≤-2是有解.

同時方程可等價變形為b=-ta-t2+2(*)，這樣可將(*)看做是b與a之間建立的一次函數關系式.

令b=y,a=x，則(*)可化為y=-tx-t2+2(t≥2或t≤-2)

則a2+b2=x2+y2，且x2+y2可以看做是動點(x,y)與定點(0,0)兩點連線的距離的平方.

設a2+b2=x2+y2=d2，

因為t≥2或t≤-2，所以t2+1≥5，令t2+1=k(k≥5).

選A.

評價兩種方法：

方法一：比較容易想到，但問題解決過程中計算量非常大，因為實根分布問題對同學們來講始終是一個難點；

方法二：與方法一比較更難想到轉換為關于a,b的一次函數，但是如果想到了，后面問題的解決同學們會感覺到更熟悉.

但是無論是兩種方法中的哪一種，都要用到數形結合的思想方法.

練習若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩個根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則( ).

分析設方程兩個根分別是x1,x2，則有01.

又設f(x)=x2+(1+a)x+1+a+b，

類似的問題還有：

答案：A.

反思很多同學在第一次碰到這類問題時都有感覺：沒有往數形結合的方向想，但是碰到一次后，都要有一定的警惕性，我們分別看一下三個題目所問的問題：

第一個：求a2+b2的最小值；

從所問的問題上都容易聯想到：距離問題、兩點連線的斜率問題，而這些都容易聯想到數形結合思想，這樣我們就有了思考的方向.