分段函數(shù)大解密

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

分段函數(shù)是高考的一個(gè)重要的知識點(diǎn)，一般是一個(gè)選擇題.對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，稱為分段函數(shù).不能認(rèn)為它是幾個(gè)函數(shù)，它只是一個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，它由各段上的解析式(對應(yīng)法則)用符號“{”合并成一個(gè)整體. 下面通過例題進(jìn)行解析，以期達(dá)到拋磚引玉的作用.

一、求分段函數(shù)的定義域與值域

解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≥1}∪{x|x<1}=R，因?yàn)閥=log1/2x在(0，+∞)上是減函數(shù)，所以當(dāng)x≥1時(shí)，log1/2x≤log1/21，即y=log1/2x≤0; 當(dāng)x<1時(shí)，0<2x<21, 即0<2x<2.取并集得f(x)的值域?yàn)?-∞，2).故應(yīng)分別填(-∞,+∞)，(-∞，2).

點(diǎn)評本題考查了分段函數(shù)的定義域和值域求法. 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，求分段函數(shù)的值域是將每一段上的函數(shù)分別求出值域，再取其并集即可.

二、畫分段函數(shù)的圖象

例2 畫出函數(shù)f(x)=x2-2|x|+1的圖象.

點(diǎn)評對含有絕對值的函數(shù)要作其圖象，首先根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數(shù)化為分段函數(shù)來畫圖象.畫分段函數(shù)圖象的關(guān)鍵是根據(jù)定義域的不同部分分別由表達(dá)式畫出其圖象，分段函數(shù)有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成,但要注意定義域分界點(diǎn)處的函數(shù)取值情況決定著圖象在分界點(diǎn)(關(guān)鍵點(diǎn))處的斷開或連接，斷開時(shí)要分清斷開點(diǎn)處誰虛誰實(shí).

三、求分段函數(shù)的值

點(diǎn)評本題考查了分段函數(shù)的求值、函數(shù)的周期性與奇偶性.根據(jù)函數(shù)的周期性與奇偶性轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的求值問題，其關(guān)鍵是“分段歸類”，即根據(jù)自變量取值范圍不同，選取相應(yīng)的表達(dá)式求解.

四、求分段函數(shù)中自變量的值

A.-4或-2 B.-4或2 C.-2或4 D.-2或2

解析由題意知當(dāng)a≤0時(shí)，f(a)=-a=4,此時(shí)解得a=-4.當(dāng)a>0時(shí)，f(a)=a2=4,此時(shí)解得a=2.所以a=2或a=-4.

故選B.

點(diǎn)評若給出函數(shù)值求自變量，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但注意要檢驗(yàn)求得的值是否在相應(yīng)的自變量取值范圍內(nèi).

五、求分段函數(shù)的最值

解析當(dāng)x≤0時(shí)，y=2x+3≤3;當(dāng)01時(shí)，y=-x+5<4.綜上所述，函數(shù)f(x)的最大值為4.

故應(yīng)填4.

點(diǎn)評本題考查了分段函數(shù)最值問題, 分段函數(shù)在相應(yīng)自變量取值區(qū)間上的最值中最大者，是整個(gè)分段函數(shù)的最大值，最小者是整個(gè)分段函數(shù)的最小值.當(dāng)然本題也可以畫出分段函數(shù)的圖象來求解.

六、根據(jù)分段函數(shù)解不等式

點(diǎn)評本題考查了分段函數(shù)、不等式組的解法. 根據(jù)分段函數(shù)解不等式關(guān)鍵是確定自變量的取值屬于哪個(gè)區(qū)間段，再選相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系建立不等式，離開定義域討論問題是產(chǎn)生錯(cuò)誤的重要原因.

七、判斷分段函數(shù)的奇偶性

解析(1)當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-f(x).

(2)當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3=-(-x2+2x-3)=-f(x).

可知對x≠0時(shí)，都有f(-x)=-f(x).

綜上所述可知f(x)為奇函數(shù).

點(diǎn)評對于分段函數(shù)的奇偶性的判斷，須特別注意x與-x所滿足的對應(yīng)關(guān)系.分段函數(shù)的奇偶性的判斷有時(shí)也可以通過函數(shù)的圖象的對稱性來判斷.

八、求分段函數(shù)的解析式

點(diǎn)評求與分段函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)依據(jù)自變量的取值范圍，選擇相應(yīng)的解析式.

九、分段函數(shù)的應(yīng)用

例9 某汽車以52km/h的速度從A地運(yùn)行到260km處的B地，在B地停留1.5h后，再以65km/h的速度返回A地.試將汽車離開A地后行駛的路程s表示為時(shí)間t的函數(shù).

解析因?yàn)?60÷52=5(h)，260÷65=4(h)，所以，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，s=52t；當(dāng)5

點(diǎn)評由實(shí)際問題決定的分段函數(shù)，要寫出它的解析式，就是要根據(jù)實(shí)際問題需要分成幾類，就分成幾段;特別注意除了考慮函數(shù)解析式自身的限制條件外，還應(yīng)注意實(shí)際問題對自變量取值范圍的限制.