分段函數大解密

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

分段函數是高考的一個重要的知識點，一般是一個選擇題.對于自變量x的不同取值區間，有著不同的對應關系的函數，稱為分段函數.不能認為它是幾個函數，它只是一個函數的表達式，它由各段上的解析式(對應法則)用符號“{”合并成一個整體. 下面通過例題進行解析，以期達到拋磚引玉的作用.

一、求分段函數的定義域與值域

解析函數f(x)的定義域為{x|x≥1}∪{x|x<1}=R，因為y=log1/2x在(0，+∞)上是減函數，所以當x≥1時，log1/2x≤log1/21，即y=log1/2x≤0; 當x<1時，0<2x<21, 即0<2x<2.取并集得f(x)的值域為(-∞，2).故應分別填(-∞,+∞)，(-∞，2).

點評本題考查了分段函數的定義域和值域求法. 分段函數的定義域是各段定義域的并集，求分段函數的值域是將每一段上的函數分別求出值域，再取其并集即可.

二、畫分段函數的圖象

例2 畫出函數f(x)=x2-2|x|+1的圖象.

點評對含有絕對值的函數要作其圖象，首先根據絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數化為分段函數來畫圖象.畫分段函數圖象的關鍵是根據定義域的不同部分分別由表達式畫出其圖象，分段函數有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成,但要注意定義域分界點處的函數取值情況決定著圖象在分界點(關鍵點)處的斷開或連接，斷開時要分清斷開點處誰虛誰實.

三、求分段函數的值

點評本題考查了分段函數的求值、函數的周期性與奇偶性.根據函數的周期性與奇偶性轉化為分段函數的求值問題，其關鍵是“分段歸類”，即根據自變量取值范圍不同，選取相應的表達式求解.

四、求分段函數中自變量的值

A.-4或-2 B.-4或2 C.-2或4 D.-2或2

解析由題意知當a≤0時，f(a)=-a=4,此時解得a=-4.當a>0時，f(a)=a2=4,此時解得a=2.所以a=2或a=-4.

故選B.

點評若給出函數值求自變量，應根據每一段的解析式分別求解，但注意要檢驗求得的值是否在相應的自變量取值范圍內.

五、求分段函數的最值

解析當x≤0時，y=2x+3≤3;當01時，y=-x+5<4.綜上所述，函數f(x)的最大值為4.

故應填4.

點評本題考查了分段函數最值問題, 分段函數在相應自變量取值區間上的最值中最大者，是整個分段函數的最大值，最小者是整個分段函數的最小值.當然本題也可以畫出分段函數的圖象來求解.

六、根據分段函數解不等式

點評本題考查了分段函數、不等式組的解法. 根據分段函數解不等式關鍵是確定自變量的取值屬于哪個區間段，再選相應的對應關系建立不等式，離開定義域討論問題是產生錯誤的重要原因.

七、判斷分段函數的奇偶性

解析(1)當x<0時，-x>0，f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-f(x).

(2)當x>0時，-x<0，f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3=-(-x2+2x-3)=-f(x).

可知對x≠0時，都有f(-x)=-f(x).

綜上所述可知f(x)為奇函數.

點評對于分段函數的奇偶性的判斷，須特別注意x與-x所滿足的對應關系.分段函數的奇偶性的判斷有時也可以通過函數的圖象的對稱性來判斷.

八、求分段函數的解析式

點評求與分段函數有關的問題時，應依據自變量的取值范圍，選擇相應的解析式.

九、分段函數的應用

例9 某汽車以52km/h的速度從A地運行到260km處的B地，在B地停留1.5h后，再以65km/h的速度返回A地.試將汽車離開A地后行駛的路程s表示為時間t的函數.

解析因為260÷52=5(h)，260÷65=4(h)，所以，當0≤t≤5時，s=52t；當5

點評由實際問題決定的分段函數，要寫出它的解析式，就是要根據實際問題需要分成幾類，就分成幾段;特別注意除了考慮函數解析式自身的限制條件外，還應注意實際問題對自變量取值范圍的限制.