簡諧運動合成的討論

金 鋒 丁亞明 朱亞敏 黎振遠

(天津天獅學院 300011)

振動是一種周期性的運動，簡諧運動是最簡單、最基本的振動.復雜的振動可以分解為簡諧運動的疊加，研究兩個簡諧運動的疊加有重要意義.兩個簡諧運動的合成主要有同方向同頻率、同方向不同頻率、相互垂直同頻率和相互垂直不同頻率等幾種情況.兩個同方向同頻率簡諧運動的合成，仍然是一個簡諧運動；兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成，在頻率差與原有頻率相比非常小時形成拍；兩個相互垂直同頻率簡諧運動的合成，軌跡方程是一個橢圓，也可以退化為圓或者直線；兩個相互垂直不同頻率簡諧運動的合成，形成李薩如圖形.本文主要研究兩個相互垂直同頻率簡諧運動的合成，用三角函數的化簡和反三角函數的方法的推導合成后運動方程.

一、同方向同頻率兩個簡諧運動的合成

在同方向同頻率兩個簡諧運動的合成時，合運動是一個新的簡諧運動.合運動的角頻率與原有簡諧運動相同，合運動的振幅和初相由兩個原有簡諧運動的振幅和初相位決定.

兩個同方向同頻率的簡諧運動，它們的簡諧運動方程分別為：

合運動可以用旋轉矢量的方法求出，如圖1.

它的簡諧運動方程為：

x=Acos(ωt+φ)

振幅：

二、同方向不同頻率兩個簡諧運動的合成

有兩個同方向不同頻率的簡諧運動，它們的簡諧運動方程分別為：

根據三角函數的和差化積，合運動的軌跡方程為：

x=x1+x2

三、相互垂直同頻率兩個簡諧運動的合成

有兩個相互垂直的同頻率簡諧運動，它們的簡諧運動方程分別為：

消去時間t，可得合運動的軌跡方程為：

1.利用三角函數的化簡推導橢圓方程

根據三角形的和差關系，整理(1)和(2)

(4)乘以cosφ2，(5)乘以cosφ1后得：

(8)兩邊平方得：

(4)乘以sinφ2，(5)乘以sinφ1后得：

(10)和(11)做差得：

(12)兩邊平方得：

=cos2ωt·sin2(φ2-φ1) (13)

(9)和(13)兩式兩邊分別求和，整理后得：

上式為相互垂直同頻率兩個簡諧運動合成的軌跡方程，即：橢圓方程.

2.利用反三角函數推導橢圓方程

為了計算方便，建立兩個直角三角形，如圖2 ，有

根據(17)和(18)的關系，(15)與(16)兩邊做差，整理后得：

θ2-θ1=φ2-φ1(19)

對(19)兩邊取正弦，得：

sin(θ2-θ1)=sin(φ2-φ1) (20)

對(20)兩邊平方，得：

sin2(θ2-θ1)=sin2(φ2-φ1) (21)

根據三角函數的性質，整理(21)后得：

sin2θ2·cos2θ1-2sinθ2·cosθ1·cosθ2·sinθ1+cos2θ2·sin2θ1=sin2(φ2-φ1) (22)

把(17)和(18)代入(22)左面，整理后得：

上式與(22)式聯立，即

四、相互垂直不同頻率兩個簡諧運動的合成

兩個相互垂直不同頻率的簡諧運動合成，兩個原有頻率為整數比時，形成李薩如圖性；當兩個原有頻率之比為無理數時，將發生同步鎖模現象.

兩個簡諧運動的合成是非常復雜的過程，合成過程主要包括振動方向的平行與垂直；頻率相等與不相等等幾種情況，本文從振動方向和頻率的異同出發，得出合運動的運動方程，主要介紹了相互垂直同頻率兩個簡諧運動合成軌跡的推導過程，分別用三角函數的化簡和反三角函數等方法均得出合運動的軌跡方程，即橢圓方程.