應區別函數圖象的兩種軸對稱

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

基金項目：本文系北京市教育學會“十三五”教育科研滾動立項課題“數學文化與高考研究”(課題編號FT2017GD003，課題負責人：甘志國)階段性研究成果.

定理1 若函數f(x)的定義域D關于點(a+b,0)對稱，且f(2a-x)=f(2b+x)在2a-x,2b+x∈D時恒成立，則f(x)的圖象關于直線x=a+b對稱.

證明可設點A(2a-x0,f(2a-x0))是函數f(x)的圖象上任一點，又點A關于直線x=a+b對稱的點是A′(2b+x0,f(2a-x0)).由題設可得點A′即A′(2b+x0,f(2b+x0)).

這就證得了f(x)的圖象上任一點A關于直線x=a+b對稱的點A′也在f(x)的圖象上，所以欲證結論成立.

定理2 在同一平面直角坐標系中，函數y=f(2a-x)與y=f(2b+x)的圖象關于直線x=a-b對稱.

證明設點A(x0,f(2a-x0))是函數y=f(2a-x)的圖象上任一點，可以驗證它關于直線x=a-b的對稱點A′(2a-2b-x0,f(2a-x0))在函數y=f(2b+x)的圖象上：f(2b+(2a-2b-x0))=f(2a-x0)，所以欲證結論成立.

高中生對定理1比較熟悉，而對定理2可能有些陌生，要注意兩者的區別.

下面給出這兩個定理的一種記憶方法：

定理2是針對同兩個函數y=f(2a-x)與y=f(2b+x)而言，其對稱軸的求法是：f(x)的圖象的一條對稱軸是2a-x=2b+x.

推論在同一平面直角坐標系中，有

(1)曲線y=f(x-a)與曲線y=f(a-x)關于直線x=a對稱；

(2)曲線y=f(a+x)與曲線y=f(a-x)關于y軸對稱.

題1 (1997年全國高考文科第7題)設函數y=f(x)定義在實數集上，則函數y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象關于( )

A.直線y=0對稱 B.直線x=0對稱

C.直線y=1對稱 B.直線x=1對稱

解D.由推論(1)立得.

題2 求二次曲線(x-y)(x+y-4)=0的對稱軸.

解本題即求函數y=x與y=4-x的圖象的對稱軸.

在定理2中選f(x)=x,a=2,b=0后，可求得一條對稱軸是x=2.

把題中的二次曲線的解析式中的x,y互換后，得到的二次曲線沒有改變，所以原二次曲線有對稱軸x=2時，也有對稱軸y=2.

因為題中的二次曲線表示兩條相交直線，所以該二次曲線的對稱軸有且僅有兩條(是兩條相交直線形成四個角的角平分線組成的兩條直線)，從而可得所求對稱軸是直線x=2和y=2.