大量粒子群體行為的解題策略

陶漢斌

(浙江金華第一中學 321015)

在新高考的進程中，浙江省已進行了五次選考物理的考試.在這些選考物理試題中經常出現“大量粒子”的運動問題，常考常新，精彩紛呈.如果從知識的角度剖析，面對大量粒子的群體行為，我們要善于選取恰當的“臨界”粒子(釘子戶)，利用“臨界”粒子進行分析使問題變得簡潔明了、生動形象.

例題(2017．11浙江選考試題)如圖1所示，x軸上方存在垂直紙面向外的勻強磁場，坐標原點處有一正離子源，單位時間在xOy平面內發射n0個速率均為v的離子，分布在y軸兩側各為θ的范圍內.在x軸上放置長度為L的離子收集板，其右端點距坐標原點的距離為2L，當磁感應強度為B0時，沿y軸正方向入射的離子，恰好打在收集板的右端點.整個裝置處于真空中，不計重力，不考慮離子間的碰撞，忽略離子間相互作用.

(2)若發射的離子被收集板全部收集，求θ的最大值是多少；

(3)假設離子到達x軸時沿x軸均勻分布.當θ=37°，磁感應強度在B0≤B≤3B0的區間取不同值時，求單位時間內收集板收集到的離子數n與磁感應強度B之間的關系.(不計離子在磁場中運動的時間)

解析正離子源射出的離子速率是相同的，因此它們在磁場中都做相同半徑的勻速圓周運動，只是轉過的圓心角不同，也就是經歷的圓弧長度不同.那么分布在y軸兩側各為θ的范圍內大量粒子，哪個是臨界粒子呢？我們知道圓周中最長的弦長是直徑，因此沿y軸正方向射入的粒子是打到收集板上最遠的臨界粒子，而沿y軸兩側以θ角射入的兩個離子也是臨界粒子，因為這兩個離子的弦長是最短的，是打到收集板上最近的臨界粒子，其中一個是優弧，另一個是劣弧.具體解答如下：

(1)對帶電粒子的圓周運動

而沿y軸正方向入射粒子軌跡為半圓R=L

(2)與y軸正方向夾角相同的向左和向右2個粒子，達到x軸時位置相同，當粒子恰好達到收集板最左端時，θ達到最大，粒子軌跡如圖2所示

由圖中幾何關系得2Rcosθm=L=R

因此可得θmax=60°

(3)沿y軸正方向入射的臨界粒子，打在x軸上距離原點最遠的距離為2R

沿與y軸正方向馬θ=37°入射的臨界粒子，打在x軸上距離原點最近距離為

2Rcosθ=1.6R

也就是說粒子打在x軸上的區間為1.6R～2R，而在x軸上吸收板的區間為L～2L，如圖3所示.若全部收集到離子時的最小半徑為R1，則有

當B0≤B≤1.6B0時收集板上收集到的離子數n1=n0

若恰好收集不到離子時的半徑為R2，則有

2R2=L

當2B0

當1.6B0

點評策略本題中的臨界粒子為沿y軸射入的粒子和沿與y軸成θ角的粒子，在解題的過程中只要盯住這兩個臨界粒子，就能將該題順利解決.

近二年在浙江省的選考試題中經常出現“大量粒子”的運動問題，面對粒子源射出的大量粒子，我們如何切入問題進行解題呢？大量粒子的運動有個性與共性問題，這些粒子什么是相同的，什么是不同的，同學們要善于選取“臨界”粒子，即通常我們所說的“釘子戶”，“釘子戶”搞定了，那一切問題也就解決了.利用“臨界”粒子進行分析可使問題變得簡潔明了、形象生動，使原本非常復雜的問題變得直觀簡潔.