“教學環”理念下知識銜接新知課教學模式例說

胡凱林　黃國穩

初中、高中的知識銜接是學生從初中升入高中后一個必經的學習過程，它賦予學生初中所學知識以全新的視角，以此實現學生知識層面的螺旋上升.因此，初中、高中的知識銜接課也可以歸為新知課的一種.圍繞二次函數這個初中、高中共同的學習重點實施初中、高中知識銜接補充教學，具有重要的現實意義.下面我們以二次函數補充教學為例，談談在“教學環”理念下初中、高中知識銜接新知課的課堂操作策略.

一、學情分析與學習目標的確定

二次函數是初中數學的重點學習內容.經過初中階段的學習，學生已經掌握了二次函數的頂點坐標、最值、自變量[y]隨著因變量[x]的變化而變化的規律等知識，并能夠運用以上二次函數知識分析和解決一些相關的基本問題.進入高中階段以后，學習要求發生了質的變化，學生對二次函數的靜態認識須盡快上升到動態理解層面，因為動態理解層面的二次函數知識將成為學生接下來學習其他函數和導數內容的重要基礎，先由初中的二次函數過渡到高中的“三個二次”（二次函數、二次方程和二次不等式），體驗數形結合的思想，培養數學抽象能力，再進一步解決相應的含參問題和恒成立問題.為了幫助學生順利過渡到高中以二次函數為基礎的相關知識學習，在學生學習了集合和函數的概念以及函數的單調性、奇偶性之后，我們給學生安排了這節二次函數知識銜接課，并為這節課確定了如下學習目標：1.從集合映射的角度重新理解二次函數；2.利用高中函數知識重新認識二次函數的單調性和奇偶性；3.延伸對稱軸的性質，并利用二次函數的對稱性分析解決相關問題.

二、“教學環”理念下的新知課教學

在“教學環”理念下，教學從聚焦課堂轉向課前、課后延伸，學生主體將在教師指導下經歷一個個“課前預習→課堂學習→課后練習”的循環往復的過程.我們倡導教師為主導、學生為主體，為了發展學生的自主學習能力，教師要在學生課前預習、課堂學習和課后練習的每一個重要學習環節，都給予學生相應的學習策略指導.

（一）導讀提綱指引下的學生課前預習

在“教學環”理念下，課前預習是每一課新知教學的起始階段.為了避免出現學生課前預習的盲目性和隨意性，教師須精心設計導讀提綱，為學生安排預習任務，激發學生的求知欲和探索欲，引導學生有目的地展開新知的自主學習過程.新知課的課前預習，導讀的起點可以低一些，但落腳點一定要深，要剛好可以切中學生本課學習最急需掌握的主體知識和思維層次.比如本課導讀提綱，我們根據學生初中所學內容和高中已有知識，為學生安排了下面4項導讀任務（見圖1）.

上述4項任務，引導學生一步一步從初中知識語言過渡到高中知識語言，并包含了對學生思維上的延伸、拓展.任務3的設計擔負起本課“起點低、落腳深”的教學重任，將在之后的課堂教學環節被一題多用、反復挖掘.從思維發展特征看，初中生正處于形象思維為主、逐步向經驗型抽象思維過渡的階段，高中生則處于經驗型為主的抽象思維向理論型抽象思維過渡且辯證思維初步形成階段，上述任務對學生思維的拓展包括：從[y]的取值范圍拓展到函數的值域，從具體函數的值域拓展到含參函數分類討論求值域，從二次函數對稱性拓展到一般函數的對稱性.

（二）遵循新知課課堂教學基本模式，以問導學，帶領學生用高中新知順應初中舊知，形成新的認知系統，實現思維層次的螺旋上升

新知課通常包括“情境引入→提問討論→重點講解→應用探究→反思總結→布置作業”6個基本教學環節.因為有了學生的課前預習做鋪墊，學生對本課的學習內容已有初步感知，課堂中，教師只需用三五分鐘時間經歷“情境引入”，檢查反饋學生的課前預習情況，之后便可以進入“提問討論”環節了.教師在該環節采用以問導學策略，重點引導學生從集合映射角度重新理解二次函數的定義.

[提問討論]

師：誰能用自己的語言描述一下什么樣的函數是二次函數，并給出具體的例子？

生1：含有二次項的式子就是二次函數.

師：[x2+2x-1=0]，[y2=x+1]都含有二次項，是不是二次函數呢？

生2：不是.[x2+2x-1=0]是方程，不是函數；而在[y2=x+][1]中，因為一個[x]對應著兩個[y]，所以它也不是二次函數.

生3：形如[y=ax2+bx+c][（a≠0）]的函數叫二次函數，比如[y=x2]就是一個最基本的二次函數.從函數的定義來看，在二次函數中，定義域內每一個[x]都有唯一的一個[y]與之對應.

師：生3從函數的定義出發，解釋了為什么二次函數是一個函數，并給出了正確的舉例，非常好！初中階段我們通過觀察圖象了解了二次函數的自變量[x]和因變量[y]的變化規律，但是這些觀察、了解是相對感性、粗糙的，表述也比較口語化；到了高中，我們學習了函數的單調性、奇偶性，就可以進一步研究如何嚴謹地判定和證明二次函數圖象的性質了.

以上教學環節，教師給出的兩個二次項式子是以問導學的關鍵，便于學生同化和順應高中新知，嘗試用高中所學新知重新認識二次函數的意義，辨析函數與方程的細微差異，進而學會使用高中語言來表達二次函數的定義，提升思維層次.教師在生3之后進行教學小結，順勢引出了下面的“重點講解”內容，過渡非常自然.

[重點講解]

學生在初中階段對具體函數的研究方法雖有一定基礎，但這個基礎是膚淺的。為了加深學生對二次函數的認識，引導學生從初中靜態理解二次函數的頂點、對稱軸和最值，逐漸過渡到高中動態、局部地研究二次函數的變化并從中捕捉變化規律，我們設計了例1、例2兩道例題（如圖2），讓學生在做題的過程中學會運用高中知識探求二次函數圖象的性質，提高認知水平.

從設問來看，例1與導讀提綱中的任務3一脈相承，但任務級別有所提升，重點是讓學生學會運用高中知識去描述現象，用高中的思維方式去證明現象、解決問題.事實上，學生獨立完成此題基本不存在多大困難.為了強化初中到高中的知識過渡，教師特別提問了學生例1中“值域”的概念與初中的“求取值范圍”之間的過渡關系，強化了高中用詞的嚴謹和其中所蘊含的數學思想方法.

例2重點考查學生能否用相關定義來判定和證明二次函數的奇偶性。學生解題非常順利，并從中體悟到一般的二次函數可能不是偶函數，即對稱軸不一定是[y]軸.二次函數對稱軸兩邊函數值與變量的關系究竟是怎樣的呢？這是我們接下來要重點研究的內容.教師要重點引導學生從初中階段對對稱軸的理解擴大到高中階段對二次函數對稱性的理解，知道對稱性表達的常用形式，即知道對稱軸左右兩邊的函數值及其變化規律.研究二次函數的對稱性，可以為研究三角函數及其他函數的對稱性積累知識基礎.

師：在完成導讀提綱任務3的過程中我們知道，[y=][2x2-4x+1]的對稱軸方程為[x=1].那么，在函數[f（x）=][2x2-4x+1]中，[f（-1）]和[f（3）]有何關系呢？

生5：[f（-1）=f（3）].

師：當[f（x1）=f（x2）]時，同學們能否發現[x1]，[x2]與對稱軸的關系？

生5：[x1+x2=2].

師：那么對于任意一個二次函數呢？

生5：[x1，x2]的和都是對稱軸橫坐標的兩倍.

師：若函數關于[x=a]對稱，則[x1+x2=2a]，即[x2=][2a-x1]或[a+x0=a-x0]，由剛才歸納的對稱性我們可以得到[f（x0）=f（2a-x0）]或[f（a+x0）=f（a-x0）].

在初中階段，利用拋物線的對稱軸知識可以解決求二次函數的最大值或最小值問題，學生對對稱軸的理解僅限于記住[x=-b2a]即可.為了延伸學生對對稱軸性質的理解，從二次函數的對稱性出發，我們再次使用了導讀提綱任務3中的函數，設計了上面的導學環節，將起點淺、落腳深的課前導讀意圖貫穿在了課前、課中的整個教學活動當中.

[應用探究]

當學生從高中知識角度進一步理解了二次函數的對稱性質，再應用該性質來解決問題便是水到渠成了.為此我們設計了例題3（如圖3）.

給例3求解，可以直接應用剛才探究得出的結論，于是學生很快給出了答案：由剛才我們學習的知識可以知道，[x1+x2=a]，于是[f（x1+x2）=f（a）=2018].

從高中視角理解對稱軸，二次函數不僅可以在對稱軸上取得最值，而且能體現兩個對稱點橫坐標之間的關系.在對稱軸不確定的情況下，如何求解最值是初中沒有辦法解決的問題，而這種動態變化是高中階段的“家常便飯”.為了提升學生的思維層次，便于學生形成一個循序漸進的知識網絡，教師出示了上述例題3這個含參的二次函數，將具體的二次函數問題上升為含參二次函數問題，這對學生來說是一次思維的飛躍.

師：經過導讀提綱和上面例1的學習，我們己經會求二次函數[f（x）=2x2-4x+1]在[-3≤x≤2]區間內函數的值域了.那我們來看看例4（如圖4）該怎樣解？

生7：函數的開口向上，對稱軸方程為[x=a4]，但[x=][a4]不一定在定義域內.

師：當一個量不確定時，你該怎么辦？

生7：分類討論唄，將每一類都分成確定的情形.

師：你覺得該怎么分類？

生7：因為二次函數總是在對稱軸處取得最小值，所以我的第一類是[x=a4]在定義域[-1，1]內.若[x=a4]不在定義域[-1，1]內又可以分為兩種情況，每一種情況再結合我們上節課學過的單調性規律求出函數的最小值，進而得到關于[a]的方程，把[a]解出來.

師：你分析得非常好.由于對稱軸不確定，你己經開始從動態角度分析和解決問題，這是高中數學很重要的一種思維方法.下面同學們就把結果計算出來吧！

例4的問題源于初中內容，但限定條件增加，求解過程高于初中內容，學生必須運用高中二次函數的新知識去解決這個初中的老問題.經過前面的學習，學生已經認識到：同樣的二次函數問題，到了高中階段必須從更深的層次、更廣的角度，以更嚴密的推理、更靈活的方法去分析和解決.

[反思總結]

該教學環節重點是引導學生按照一定的順序歸納知識，形成能力.首先要認識到同樣的知識在初中、高中有了深淺不同的表現方式，其次要認識到高中階段對抽象思維能力、辯證思維能力的訓練程度在不斷加深.如初中描述函數圖象的變化或函數的性質常用這樣的感性表達：[y]隨[x]的增大（減?。┒龃螅p小），或者函數從左到右上升（下降），等等.到了高中階段，學生的認知和思維水平都有了很大的提高，已經能夠利用在某個區間單調遞增或單調遞減這類嚴謹的數學語言描述二次函數圖象的變化規律，能夠初步運用分類討論思想對二次函數的奇偶性進行討論，能夠從初中關注的對稱軸求最值的簡單應用深化到利用對稱軸兩邊的變量關系解決問題，能夠直接運用分類討論思想動態地解決二次函數的對稱性問題，等等.該環節教學過程略.

該環節包括本課的作業和下一節課的課前任務導讀兩個內容，有承前啟后的作用.在本課中，我們安排了如下課后作業（如圖5）.

上面的第1題、第2題是對本課所學新知的回顧和總結，第3題、第4題則是為下節課學習二次函數根的分布做鋪墊.（題圖為胡凱林老師）

（責編 白聰敏）